Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập (KL06191)

5 CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC.. Để giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải các lớp bài toán: Bài toán chứng minh, B

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp

đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm

ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của

mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp

đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học – khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này

Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thùy Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập”

là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình

Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thùy Linh

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1 Các khái niệm về phép biến hình 3

1.1 Định nghĩa phép biến hình 3

1.2 Ví dụ 3

2 Phép biến hình đẳng cự 4

2.1.Định nghĩa 4

2.2 Tính chất 4

2.3 Định lý 4

3 Phép đối xứng qua siêu phẳng: 5

3.1 Định nghĩa 5

3.2 Tính chất 5

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7

1 Giải bài toán chứng minh 7

1.1 Bài toán chứng minh 7

1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh 7

1.4 Một số ví dụ 7

2 Giải bài toán tính toán 20

2.1 Bài toán tính toán 20

2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán 20

2.3 Một số ví dụ 22

3 Giải bài toán dựng hình 26

3.1 Bài toán dựng hình 26

3.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán dựng hình 27

3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng 27

3.4 Một số ví dụ 28

4.Giải bài toán quỹ tích 36

4.1 Bài toán quỹ tích 36

4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải bài toán quỹ tích 37

4.3 Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng 37

4.4 Một số ví dụ 37

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG 42

PHẦN III: KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT ở nước ta hiện nay, một số phép biến hình được đưa vào giảng dạy nhưng chỉ áp dụng vào trong mặt phẳng Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình vào hình học không gian nhiều khi sẽ đem lại hiệu quả cao và tránh cho học sinh một

số sai lầm và ngộ nhận khi giải toán theo cách thông thường

Để giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải các lớp bài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bìa toán quỹ tích…và để cho học sinh có thêm hứng thú học tập và sáng tỏ thêm phần nào đó về phép biến hình nên tôi đã chọn đề tài :” Đối xứng qua siêu phẳng và bài tập”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua siêu phẳng

- Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng

- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học không gian bằng phép đối xứng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lí thuyết về phép đối xứng

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép đối xứng trong không gian

- Đề xuất các phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết

- Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ Toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần:

Phần I: Mở đầu:

Phần II: Nội dung:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:

- Chương 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải quyết các bài toán hình học

- Chương 3: Ví dụ minh họa:

Phần III: Kết luận:

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Các khái niệm về phép biến hình

1.1 Định nghĩa phép biến hình

Mỗi song ánh f: En En được gọi là phép biến hình của không gian E n

Như vậy, cho một phép biến hình f:En En là cho một quy tắc

để với bất kì điểm M E n, ta tìm được một điểm M = f(M)' hoàn toàn xác định thỏa mãn 2 điều kiện sau đây:

- Nếu M, N là 2 điểm phân biệt của En thì f(M), f(N) là 2 điểm phân biệt của En

- Với mỗi điểm '

Điểm M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu

- Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định Phép biến hình biến mỗi điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác

O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm cảu đoạn thẳng MM’ được gọi

là phép đối xứng tâm O Điểm O được goi là tâm của phép đối xứng đó

và là điểm bất động duy nhất của phép đối xứng tâm O, kí hiêu ĐO

- Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng Δ E n Phép biến hình biến mỗi điểm M không thuộc  thành M’ sao cho  là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu là Đ∆ Các điểm thuộc  đều là điểm bất động cảu phép Đ∆.

a Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin

b Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc

c Phép biến hình đẳng cự biến 1 siêu cầu của En thành một siêu cầu

có cùng bán kính

2.3 Định lý

Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ và được kí hiệu là Isom(En)

3 Phép đối xứng qua siêu phẳng:

3.1 Định nghĩa

Trong En cho siêu phẳng  Phép biến hình của không gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định nhƣ sau:

a MM’ vuông góc với siêu phẳng 

b MM’ cắt  tại O là trung điểm của nó

Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng , phép đối xứng này kí hiệu

là Đ Siêu phẳng  đƣợc gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng

3.2 Tính chất

a Phép đối xứng qua siêu phẳng là 1 phép biến hình đẳng cự nên

nó có đầy đủ tính chất của phép biến hình đẳng cự

MN=MI+IJ+JNMN =MI +IJ +JN +2MI.JN2 2 2 2

M'N'=M'I+IJ+JN'M'N' =M'I +IJ +JN' +2M'I.JN'2 2 2 2

   

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

1 Giải bài toán chứng minh

1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình học khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích

Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A B với A là giả thiết,

B là kết luận Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận toán học hợp logic trên cơ sở các định lí, định nghĩa, tính chất

1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh

Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận được kết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đường tròn bằng nhau… Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh

1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng

Nếu mệnh đề A B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B A, xét các trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới

1.4 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC đều Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng : Tứ diện S.ABA’ và

’

Tứ diện S.ABA’ và S.BCB’ bằng nhau

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng

B'

A' C'

Gọi các đỉnh của đa giác là A A A0 1 2k 1

Giả sử, đỉnh A0 là điểm bất động trong Đ(d).Khi đó, (d) chính là đường thẳng A0O

Do O là tâm đối xứng của đa giác đều nên O là trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện nhau, biến đỉnh này thành đỉnh kia Trong Đ :A(d) 0 A0 Đ :A(d) k Ak

 Xét phép đối xứng trục là đường trung trực của A A0 1

A A

Trung trực của A A0 1 chính là trục đối xứng của đa giác đều n đỉnh ( n chẵn)

Ta đi xét tương tự với các đường trung trực của các đoạn thẳng còn lại của đa diện dều

Vậy đa diện đều n đỉnh (n chẵn) có n trục đối xứng, trong đó, có

Gọi các đỉnh của đa giác đều là A0A2k (k N*)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều, ta thấy

Ta có :

0 (A O) 0 0

A A

Vậy A0O là trục đối xứng của đa giác đều n cạnh ( n lẻ)

Giả sử, Đ(d) không đi qua điểm bất động nào của đa giác, ta có

(d) 0 1 0 1

Đ :A A A A

(d) đi qua trung điểm của đoạn A0A1

(d) chính là đường trung trực của đoạn A0A1

Do đa giác lẻ cạnh nên đường trung trực của A0A1 sẽ đi qua đỉnh đối diện của cạnh A0A1 (d) đi qua đỉnh Ak của đa giác đều Đ(d) đi qua đỉnh bất biến (mâu thuẫn với giả sử trên)

Vậy đa diện n cạnh (n lẻ) có n

trục đối xứng là trục đi qua 1 đỉnh và

tâm đường tròn ngoại tiếp của đa diện

Ví dụ 3: Cho hình tứ diện đều

ABCD Chứng minh rằng: ABCD có 6

Gọi M là trung điểm của CD.(Hình 1.4)

Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD Khi đó,

Vì (P) là mặt phẳng đối xứng của ABCD nên khi A bất động thì B,

C hoặc D cũng phải là điểm bất động

Giả sử A và B là điểm bất động, khi đó:

(P) đi qua đường thẳng trung trực của đoạn CD

Mà M là trung điểm của CD AM là đường thẳng trung trực của

B B

C D

D C

Phép ĐAMB biến tứ diện đều ABCD thành chính nó

(ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện

+ Tương tự xét với trường hợp A, C là điểm bất động và A, D là điểm bất động.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD

và mặt phẳng đi qua cạnh AD và trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD

Điểm A bất động ta có tương ứng 3 mặt phẳng đối xứng

+ Ta đi xét lần lượt khi B, C, D là điểm bất động mỗi trường hợp

Giả sử, Đ(P) biến A B, khi đó,giao tuyến của (P) với (ABC)

chính là đường trung trực của đoạn AB

Do ABCđều nên đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua

C và vuông góc với AB tại trung điểm của nó (P) chứa điểm C ( hay

C là điểm bất động) Mâu thuẫn với giả thiết

(P) không đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt

phẳng đối xứng của tứ diện ABCD

Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt

chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện (đpcm)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Hình lập phương ABCDA’B’C’B’ có 9

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

của hình lập phương ABCDA’B’C’D’

C'

D' A'

B'

Giả sử, B là điểm bất động Đ :B(P) B

Khi đó, mặt phẳng (P) được xác định bởi 3 điểm A, B, O không

thẳng hàng

Ta đi xét mặt phẳng (ABO) hay chính là mặt phẳng (ABC’D’) đi

qua 2 cạnh đối diện của hình lập phương

Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là mặt phẳng

(ABC’D’) đi qua 2 cạnh đối diện của hình lập phương

Vì hình lập phương có 6 cặp cạnh đối diện là (AB,C’D’); (CD,

A’B’); (AC,A’C’); (BD, B’D’); (A’B,D’C); (AB’, DC’) nên hình lập

Ta thấy: Đ(ABC'D'): ABCDA'B'C'D' ABCDA'B'C'D'

Vậy khi mặt phẳng đối xứng đi qua điểm bất động thì hình lập

phương có 6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng đi qua các cặp cạnh

đối diện của hình lập phương

Trường hợp 2: (P) không đi qua đỉnh nào của hình lập phương

Giả sử (P) cắt cạnh mặt phẳng (ABCD) theo một giao tuyến (d) thì (d) bất động

Thử lại

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm A’B’, C’D’, CD, AB

Khi đó, MN, NP, PQ, QM lần lượt là các trục đối xứng của các hình vuông A’B’C’D’, C’D’DC, ABCD, ABB’A’

Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào của hình lập phương thì hình lập phương có 3 mặt phẳng đối xứng

Kết luận

Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng trong đó có 6 mặt phẳng

mà mỗi mặt đi qua 2 cặp cạnh đối diện song song không cùng nằm trên một mặt của hình lập phương; 3 mặt mà mỗi mặt đi qua trung điểm của 4 cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song

Ví dụ 5: Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng: 3 mặt phẳng

đối xứng của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến

Lời giải:

 Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của yOz

Vì (P) không chứa mặt phẳng xOy

P xOy

 Trên Oy và Oz lấy 2 điểm B và C sao cho OB = OC

Ta có: Đ : B C BC P tại trung điểm của BC (1)

 Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = OB

Gọi (Q) là mặt phẳng đối xứng của xOy

Vì (Q) không chứa mặt phẳng yOz Q yOz

Ta có Đ : AQ B AB Q tại trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) (P) và (Q) cắt mặt phẳng theo giao tuyến là các đường trung trực của các cạnh ABC

Giao tuyến (d) của (P) và (Q) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC và vuông góc (ABC)

Ví dụ 6: Cho ABC không vuông, trực tâm H Chứng minh rằng:

a Các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB lần lượt là H1, H2, H3 nằm trên đường tròn (ABC)

b Các đường tròn (HBC); (HCA); (HAB) đều bằng (ABC) và tâm của 3 đường tròn này là đỉnh của một tam giác bằng ABC

Lại có : PHN BHC (hai góc đối đỉnh) (2)

Mà theo tính chất bảo toàn góc

BHC BH C1

1

BHC BH C mà BH C1 ABC BHC ABC (*) Tương tự, ta có Đ : AHBBC AH B1

2 Giải bài toán tính toán

2.1 Bài toán tính toán

Trong hình học ta thường bắt gặp một số bài toán tính toán như : tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu

vi, diện tích cảu các hình học Để giải bài toán tính toán thông thường ta thường sử dụng các bước sau :

1 Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết

2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán

3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập

2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán

Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau…Từ đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm được nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lượng cần tính toán

+ Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng :

Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm N x ;y ;z0 0 0 Khi đó, điểm N’ đối xứng với N qua mặt phẳng (P) có toạ độ được xác định như sau :

 Gọi (d) là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (P)

Phương trình đường thẳng (d) là:

0 0 0

N N' H

N N' H

x xx

2

y yy

2

z zz

2

N' H N N' H N N' H N

A B C

2.3 Một số ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm ảnh của đường thẳng (d) có phương trình

o o o

Ta có N a,b,c d ON là vectơ chỉ phương của (d)

Ta gọi N’ là điểm đối xứng của N qua mặt phẳng (Oxy)

' o

Đ : d d

(d’’) có vectơ chỉ phương n a; b;c và đi qua điểm P x ; y ;zo o o

Phương trình đường thẳng (d’’) có dạng :

'' o

'' o '' o

Đ : d d

(d’’’) có vectơ chỉ phương n a;b;c và đi qua điểm G x , y ,zo o o

Phương trình đường thẳng (d’’’) có dạng

''' o ''' o ''' o

x x at

y y bt

z z ct

(t’’’ là tham số)

Ví dụ 2 : Tìm ảnh của các mặt phẳng tọa độ trong phép đối xứng

qua (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với A.B.C ≠ 0