Bài 7.4.0 diểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn Ovà có AB.
Trang 1SỞ GD & ĐT TRÀ VINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017-2018
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình
1
3 1(2)
x
GIẢI
ĐKXĐ: x>1
Từ (1) y2 x2 2y x 1 ( x 1) 2 (y x 1) 2 x2 y x x 1
*Thế y x x 1vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x 1 (loại)
*Thế yx x 1vào (2), ta được: x 1( x 1 1) 0 x=1 (loại) hoặc x=2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)
Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai
năm dân số xã A là 10404 người Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?
GIẢI
Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)
Số dân sau một năm: 10000(x+1)
Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)
Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1)2 =10404
Hay x2 +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)
Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%
Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1 Tính giá trị
của biểu thức A=
GIẢI
1 x xy yz zx x (x y x z )( )
1 y xy yz zx y (y x y z )( )
2 2
1 z xy yz zx x (z x z y )( )
Do đó: A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx)=2.1=2
Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị lớn nhất
của
c ab a bc b ca
Trang 2Theo điều đề bài ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0 Nên theo BĐT Cô-si, ta có:
2
1 1 (1 )(1 )
2
1 1 (1 )(1 )
2
1 1 (1 )(1 )
1 1 1
3
2
hay
c ab a bc b ca
c ab a bc b ca
Vậy maxP =3
2 tại a = b = c =1
3
Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 2 y2 3 xy 3 x 5 y 15 (*)
GIẢI
(*) 3( 1) 2 5 15 0
[3( 1)] 4.1.(2 5 15) ( 1) 68 0
Để phương trình có nghiệm nguyên thì (y 1) 2 68 m2 (m y 1)(m y 1) 68
Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17
*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30
*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)
Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y=2 Chứng minh:
x y x3 3( 3 y3) 2
GIẢI
Do x, y>0 và x+y=2 nên
(x y ) x y 3 (xy x y ) x y 6xy
Theo BĐT Cô-si ta có:
3 3
2
2xy 2xy 2xy 4 2 8 (x y)
x y
Hay
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3 3 3
2
2
2 ( )
x y
x y
x y
x y x y
Vậy 3 3 3 3
2 x y x( y ) Dấu = xảy ra khi x=y=1
Trang 3Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và
có AB<AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đưởng tròn (O) Vẽ
MH vuông góc với BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB ( H thuôc BC,
K thuộc AC, I thuộc AB) Chứng minh:
BC AC AB
MH MK MI
GIẢI
M I
H
K
C B
A
Ta có: AC AB AK KC AI BI AK KC AI BI (1)
Mà:
ˆ
AK BH MAK MBH MKA MHB MAK MBH
MK MH
AI CH MAI MCH MIA MHC MAI MCH
MI MH
BI CK MBI MCK MIB MKC MBI MCK
MI MK
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra: AC AB BH CH BC
MK MI MH MH MH
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
……… Hết………