Giáo trình: Thủy lực - Chương 3

ục tiêu: Trang bị cho sinh viên những kiến thưc cở sở về thủy lực: thủy tĩnh lực, động học, động lực học. Hiểu rõ các quy luật cân bằng, chuyển động và mối liệ hệ giữa lực và chuyển động

Chương 3

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG 3.1 Những khái niệm chung

3.1.1 Đối tượng và mục đích nghiên cứu của Động lực học chất lỏng

- ĐLH chất lỏng nghiên cứu những quy luật chung về chuyển động của chất lỏng

- ĐLH chất lỏng nghiên cứu chuyển động của chất lỏng mà không xét đến những lực tác dụng, do đó, phương trình động học là chung cho cả chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực

3.1.2 Những yếu tố của chuyển động :

- Môi trường chất lỏng được coi như một môi trường liên tục bao gồm vô số phần

tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động, mỗi phần tử đó được đặc trưng bởi các yếu tố cơ bản của chuyển động bao gồm :

Hình 3 - 1: Những yếu tố chuyển động của chất lỏng

- Áp suất thuỷ động : đối với chất lỏng lý tưởng, áp suất thuỷ động hướng vào mặt chịu lực và theo phương pháp tuyến của mặt đó Đối với chất lỏng thực, áp suất thuỷ động hướng vào mặt chịu lực nhưng không theo phương pháp tuyến vì thành phần τ ≠ 0

- Vận tốc

- Gia tốc

3.1.3 Chuyển động ổn định và không ổn định :

- Chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố của chuyển động không biến đổi không biến đổi theo thời gian

P = p(x,y,z)

U = u(x,y,z)

a = a(x,y,z)

hay

0

=

∂

∂

t

P

; = 0

∂

∂

t

U

; = 0

∂

∂

t a

- Chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian

P = p(x,y,z,t) ; U = u(x,y,z,t) ; a = a(x,y,z,t)

Hay ≠ 0

∂t ; ≠ 0

∂t

3.1.4 Quỹ đạo và đường dòng :

- Quỹ đạo là đường đi của một phần tử chất lỏng trong không gian

- Đường dòng là đường cong đi qua các phần tử chất lỏng có véctơ lưu tốc là những tiếp tuyến của đường ấy

3.1 5 Dòng nguyên tố và dòng chảy :

Hình 3 - 2: Dòng nguyên tố

Hình 3 - 3: Ống dòng

- Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, lấy một đường cong kín giới hạn một diện tích vô cùng bé dω Tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên đường

cong kín đó tạo thành mặt cong có dạng ống gọi là ống dòng

- Khối lượng chất lỏng đi qua ống dòng đó gọi là dòng nguyên tố

- Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động lấy một đường cong kín giới hạn một diện tích ω Trên diện tích ấy có vô số dòng nguyên tố Tập hợp các dòng

nguyên tố ấy gọi là dòng chảy

- Môi trường chuyển động coi như một tập hợp của vô số dòng nguyên tố

3.1.6 Những yếu tố thuỷ lực của dòng chảy :

a Mặt cắt ướt :

(ký hiệu ω, đơn vị (m2)) : là mặt cắt vuông góc với các đường dòng

- M/c ướt có thể là mặt phẳng hoặc cũng có thể là mặt cong (khi các đường dòng không song song)

b Chu vi ướt (ký hiệu χ, đơn vị (m)) :

là chiều dài của phần tiếp xúc giữa chất lỏng và thành rắn trên mặt cắt ướt

c Bán kính thuỷ lực ( ký hiệu R, đơn vị (m))

Là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt và chu vi ướt :

ω

=

d Lưu lượng dòng chảy ( ký hiệu Q, đơn vị (m3/s) hoặc (l/s) )

- Là thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt nào đó trong một đơn vị thời gian

e Lưu tốc trung bình ( ký hiệuv, đơn vị (m/s) hoặc (cm/s) )

- Là tỷ số giữa lưu lượng Q và diện tích mặt cắt ướt ω:

ω

Q

3.2 Phương trình liên tục của dòng chảy ổn định

3.2.1 Phương trình liên tục của dòng nguyên tố chảy ổn định :

Trên một dòng nguyên tố xét2 mặt cắt dω1 và dω2 có lưu tốc u1 và u2

Hình 3 - 4: Dòng nguyên tố đang xét

Lưu lượng qua mặt cắt dω1 : dQ1 = u1.dω1

Lưu lượng qua mặt cắt dω2 : dQ2 = u2.dω2

Sau một khoảng thời gian dt, thể tích chất lỏng đi qua 2 mặt ướt dω1 và dω2 là :

dQ1.dt = u1.dω2.dt

dQ2.dt = u3.dω2.dt

Trong chuyển động ổn định, dòng nguyên tố không thay đổi hình dạng và chất lỏng

không đi vào cũng như đi ra ống dòng, đồng thời chất lỏng không nén được cho nên thể

tích chất lỏng đi qua dω1 bằng thể tích chất lỏng đi qua dω2

hay : u1.dω1.dt = u2.dω2.dt

→ u1.dω1 = u2.dω2 (3-3)

→ dQ1 = dQ2 (3-4)

Vì mặt cắt dω1 và dω2 là chọn tuỳ ý cho nên ta có thể viết : dQ = const

3.2.2 Phương trình liên tục của dòng chảy :

Từ phương trình liên tục của dòng nguyên tố ta có phương trình liên tục của toàn

dòng chảy :

∫

∫u1.dω1 = u2.dω2

→ Q1 = Q2 → Q = const

Trong đó :

- u : vận tốc tức thời

Như vậy trong dòng chảy ổn định, lưu lượng qua các mặt cắt đều bằng nhau Vận tốc trung bình tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt

3.3 Phương trình Becnuly của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định

Phương trình Bécnuly được thành lập dựa trên định luật động năng

Định luật động năng được phát biểu như sau : “Sự biến thiên động năng của một khối lượng nhất định khi nó di động trên một quãng đường bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó trên đoạn đường ấy”

Biểu thức định luật :

∑

=

−m u A i u

m

2

2

2

2

Trong đó :

m : khối lượng của vật

Fi : lực tác dụng vào vật

l i : đoạn đường di chuyển do sự tác dụng lực

Xét một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định, giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1

và 2-2

z

1

1

1'

1'

2

2

2'

2'

P 1

∆ S 1

∆ S2

2

x

0

d ω 1

d

ω 2

a

h

Hình 3 - 5: Đoạn dòng chảy đang xét để thành lập phương trình Becnuli

M/c 1-1 có : P1, u1, dω1, z1

M/c 2-2 có : P2, u2, dω2, z2

Sau khoảng thời gian dt, các phần tử chất lỏng ở 1-1 sẽ di chuyển được một quãng đường ∆l1 = u1.dt; các phần tử chất lỏng ở 2-2 di chuyển được một quãng đường ∆l2 = u2-.dt

Lưu lượng qua 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 là : dQ = u1.dω1 = u1.dω2

Từ định luật động năng ta có :

( 2) 2

2 1

2 2

2

1

2 2

2

u u m u m u

m

−

=

− trong đó :

m = ρ.W = ρ.dQ.dt = dQ dt

γ

→ u −u dQ dt =∑A i

2

2 2

2 1

γ

Các lực tác dụng lên khối chất lỏng gồm có trọng lực G và áp lực thuỷ động P

(*) Công của lực thuỷ động G :

A1 = G.(z1 - z2) = m.g(z1-z2)

dQ dt

g

g

A1 =γ ( 1− 2) =γ( 1 − 2)

(*) Công của áp lực thuỷ động :

A2 = P1.∆S1 - P2.∆S 2

= p1.dω1.u1.dt - p2.dω2.u2.dt

= p1.dQ.dt - p2.dQ.dt

= (p1-p2)dQ.dt

Thay A1 và A2 vào phương trình trên ta có :

dt dQ p p z z dt dQ dt

dQ u u

2 2

2

γ

Chia cả 2 vế cho γ.dQ.dt = G (Tức là cho 1 đơn vị khối lượng)

→

γ γ

2 1 2 1

2 2

2 1

2 2

P P z z g

u g

u

− +

−

=

−

→

g

u P z g

u P z

2 2

2 2 2 2

2 1 1

γ

Vì mặt 1-1 và 2-2 có thể lấy bất kỳ nên ta có thể viết

const g

u P

z+ + =

2

2

Phương trình (3-7) là phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng

chảy ổn định

3.4 Phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định

Đối với chất lỏng thực, do có tính nhớt, khi chuyển động sinh ra ma sát trong cản

trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản đó chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng,

cơ năng đó biến thành nhiệt năng Do vậy cơ năng của chất lỏng thực giảm dần theo dòng

chảy

Vậy đối với chất lỏng thực :

const g

z+ + ≠

2 γ

Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì ta có :

g

u P z g

u P z

2 2

2 2 2 2

2 1 1

γ γ

Gọi hw là phần năng lượng bị tiêu hao khi một đơn vị chất lỏng chảy từ mặt cắt 1-1

đến 2-2, phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực là :

w h g

u P z g

u P

z + + = + + +

2 2

2 2 2 2

2 1 1

hw : tổn thất năng lượngcủa dòng chất lỏng thực chảy ổn định

3.5 ý nghĩa của phương trình Bécnuly

3.5.1 Ý nghĩa năng lượng :

z : vị năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng (Tỷ vị năng)

γ

P

: áp năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng (Tỷ áp năng)

g

u

2

2

: động năng của 1 đơn vị trọng lượng chất lỏng (Tỷ động năng)

const g

u P

z+ + =

2

2

γ → Tổng cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng (tỷ năng)

của dòng nguyên tố

Do vậy ý nghĩa của phương trình Bécnuly của dòng chất lỏng lý tưởng là : trên tất

cả các mặt cắt ướt của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, tỷ năng của chất lỏng là hằng

số Còn đối với dòng nguyên tố chất lỏng thực thì tỷ năng giảm đi dọc theo phương dòng

chảy

3.5.2 Ý nghĩa thuỷ lực

z : độ cao hình học (cột nước vị trí)

γ

P

: Độ cao cột áp (cột nước đo áp)

g

u

2

2

: Độ cao vận tốc (cột nước lưu tốc/ vận tốc)

Hình 3 - 6: Ý nghĩa hình học của phương trình Becnuli

H g

u P

z+ + =

2

2

γ → Tổng cột nước (cột nước động lực)

Vậy ý nghĩa thuỷ lực của phương trình Bécnuly của dòng chất lỏng lý tưởng chảy

ổn định là : trên dòng nguyên tố, tổng 3 cột nước là một hằng số

Vì các só hạng đều có thứ nguyên là độ cao nên ta có thể sử dụng hình vẽ để biểu

diễn sự biến thiên của cột nước dọc theo dòng chảy

Khi z = const (các mặt cắt có cùng độ cao) ta có

g

u P g

u

P

2 2

2 2 2

2

1

γ

γ → suy ra rằng : ở nơi nào lưu tốc nhỏ thì áp lực thuỷ động lớn,

nới nào có lưu tốc lớn thì áp lực thuỷ động nhỏ

3.6 Độ dốc thuỷ lực và độ dốc đo áp

3.6.1 Độ dốc thuỷ lực (J)

- Độ dốc thuỷ lực là tỷ số hạ thấp của đường tổng cột nước tức đường năng đối với

độ dài của đoạn dòng nguyên tố trên đó thực hiện độ hạ thấp

l

h

J = w

Hình 3 - 7: Độ dốc thủy lực

- Trường hợp tổng quát : khi đường cột nước là đường cong thì độ dốc giữa các mặt

cắt là không bằng nhau, khi đó ta phải dùng đạo hàm để biểu diễn :

dl

dh g

u P z dl

d dl

dH

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

−

=

−

=

2

2

- Độ dốc đo áp (hay độ dốc đường thế năng) là tỷ số độ thấp xuống hoặc lên cao của

đường đo áp đối với độ dài của dòng nguyên tố trên đó thực hiện sự hạ thấp hoặc dâng

cao đó

dl

p z d

Jp ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞

±

(3-10)

Hình 3 - 8: Độ dốc đo áp

Đối với dòng chảy đều (lưu tốc và cột nước lưu tốc không đổi) thì J = Jp

3.7 Phương trình Bécnuly cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn định

w h g

v P

z g

v P

z + + = + + +

2

2

2 2 2 2

2 1 1 1 1

α γ

α

Trong đó :

α1 ; α2 : Hệ số Coriolit (hệ số sửa chữa động năng) Trong tính toán thường lấy α1 =

α2 = α

* α = 2 trong trường hợp vận tốc dòng chảy phân bố theo quy luật Parabol (chảy

tầng)

* α = 1,01 - 1,1 : khi vận tốc phân bố theo quy luật Logarit (chảy rối)

* α = 1,05 - 1,1 : đối với dòng chảy trong ống , kênh, máng