sang kien kinh nghiem toan 9

Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ về một phơng pháp chứng minh bài to

A lời nói đầu

Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình

Nguyên nhân của những khó khăn đó là:

1 Nhiều học sinh cha nắm vững các khái niệm cơ bản của các định lý, tính chất của các hình đã học Một số chỉ “học vẹt” mà không vận dụng vào giải các bài tập

2 Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản nhng không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng khác nhau

Do vậy cũng không có điều kiện hớng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình học tập

3 Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều , học sinh ít đợc luyện tập ở lớp cũng nh ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thờng rất lúng túng Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ

về một phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đờng phụ

Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán chứng minh hình học

Nội dung đề tài gồm 4 phần :

Phần I : Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh

Phần II : Suy nghĩ tìm phơng pháp chứng minh

Phần III : Những điều cần chú ý khi chứng minh

Phần iV : Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong toán chứng minh Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chng minh hình học lời giải chi tiết , chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh khắc phục đợc các nguyên nhân đã đề cập ở trên để có khả năng giải các bài toán chứng minh hình học ngày một tốt hơn

Tuy tôi đã cố gắng hết sức sự suy nghĩ và cân nhắc kỹ càng trong khi viết đề tài song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót do năng lực hạn chế Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp và chỉ bảo của quý đồng nghiệp

B Nội dung

I Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh :

Để giải đợc một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì ? Nắm vững lí thuyết đã đủ để đảm bảo cho ta giải đợc một bài toán chứng minh hình

ch-a ? Câu trả lời là : Chch-a Đó mới chỉ là điều kiện cần nhng chch-a đủ cho việc giải một bài toán chứng minh hình học

Chuẩn bị trớc khi chứng minh:

1/ Đọc kỹ đề bài để hiểu hết ý của đề ( gọi là nắm vững đề ) Nên đọc nhiều lần , có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của của các

từ ngữ toán học dùng trong bài

2/ Phân tích sơ bộ giả thiết , kết luận của bài , dựa vào đề bài vẽ hình chính xác vào vở Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và tìm đợc cách chứng minh dễ dàng Vẽ hình tuỳ tiện, không chính xác lại là điều thờng xảy ra đối với những ngời mới chứng minh hình học Vì vậy học hình học

điều cần thiết là phải rèn luyện kỹ năng vẽ hình , không đợc vẽ các hình ở dạng đặc biệt Ví dụ : Cho hai đờng thẳng cắt nhau thì không dợc vẽ chúng vuông góc Cho một tam giác thì không đợc vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều

Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải , dùng kí hiệu đánh dấu các yếu tố bằng nhau( cạnh , góc )

3/ Dựa vào đề bài và vẽ hình , dùng các kí hiệu toán học thay cho các ngôn ngữ toán học thông thờng để tóm tắt thành giả thiết , kết luận của bài ghi bên cạnh hình vẽ

Sau khi đã làm xong ba bớc trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận đọc lại đề bài một lợt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi bắt đầu tìm cách chứng minh

II/ Suy nghĩ để tìm phơng pháp chứng minh:

Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phơng pháp suy xét vấn đề tìm hiểu và suy đoán từng bớc một Phơng pháp chủ yếu để tìm lời giải của một bài toán chứng minh hình học thờng là phơng pháp bắt đầu từ kết luận Ta thừa nhận kết luận , dùng đó làm cơ sở suy xét Giả sử Z là kết luận ta thừa nhận Z Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng , vì từ Y suy ra đợc Z Nếu có Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng , vì từ X suy đợc ra Y Tiếp tục nếu có

X thì lại có một mệnh đề X1 khác cũng đúng vì từ X1 suy dợc ra X Cứ nh vậy suy ngợc cho đến cuối cùng ta đợc một mệnh đề A chẳng hạn phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi

Phơng pháp suy luận trên gọi là phơng pháp phân tích đi lên và có thể tóm tắt nh sau:

Z ← Y← X← X1← ← A

Đây là phơng pháp bằng suy luận có lý ta đi ngợc từ kết luận lên giả thiết Nó không phải là một phơng pháp chứng minh Vì xuất phát từ một mệnh đề cha biết

đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra đợc một mệnh đề đúng thì cha thể có kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát ( Z ) Do vậy sau khi vận dụng

ph-ơng pháp trên để tìm đợc cách chứng minh ( Gọi là tìm đợc chìa khoá giải bài toán ) ta phải trình bày lời giải theo quá trình ngợc lại gọi là phơng pháp tổng hợp Sơ đồ nh sau: A→ → X1→ X → Y → Z

Với A là giả thiết của bài , mệnh đề này luôn luôn đúng Bằng suy luận có lý dựa vào các khái niệm cơ bản , các định lí và các tiên đề đã học ta khẳng định tính

đúng đắn của Z

Phơng pháp chứng minh nh trên gọi là phơng pháp chứng minh trực tiếp

III.Những điều cần chú ý khi chứng minh :

Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính xác Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phơng pháp chứng minh

nh trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phơng pháp tổng hợp là rất quan trọng , Để giúp ngời học làm tốt phần này tôi nêu thêm những điểm cần chú ý khi diễn đạt lời giải bài toán chứng minh nh sau :

1/ Mỗi một câu , một mệnh đề , một hệ thức nào đó đợc nêu ra trong bài

chứng minh của mình đều phải có lý do , có căn cứ xác đáng , không mơ hồ, không qua loa Vì vậy khi trình bày lời giải bài toán chứng minh mặc nhiên hình thành hai phần Phần bên trái là những mệnh đề , những hệ thức toán học thờng nên mở

đầu bằng các từ : “ Xét” ; “ Ta có” ; “Mà” ; “Nên” ; “Suy ra” ; “Rút ra” ; “ Vậy” Phần bên phải là những lí do ghi những cơ sở , những căn cứ để có đợc những mệnh đề , những hệ thức toán học đó Không đợc bỏ qua phần này

2/ Những lí do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là : Giả thiết , những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học , những định lí đã học , cũng có khi lấy từ kết quả câu chứng minh trớc của bài Những điều cha học hay trong phạm vi chơng trình không dạy thì không đợc dùng làm căn cứ Càng không thể tự đặt ra lí

do để làm căn cứ

3/ Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đờng phụ thì bắt đầu vào bài phải nói ngay vẽ đờng phụ nào , vẽ nh thế nào và tên gọi của nó

4/ Gặp những phần chứng minh giống nhau trong một bài ta không cần lặp lại cả quá trình chứng minh đó mà chỉ ghi “ Chứng minh tơng tự”rồi ghi kết quả

chứng minh vào

5/ Dùng kí hiệu đánh đấu trên hình vẽ những yếu tố bằng nhau

6/ Lời lẽ diễn đạt phải ngắn gọn , không thiếu không thừa Trong trờng hợp có thể nên dùng kí hiệu ,dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài chứng minh

đợc rõ ràng mạch lạc và không dài dòng

Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý nh tính cẩn thận , tính chính xác trong vẽ hình Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh đợc những sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt

IV Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong

toán chứng minh:

Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh dợc Vậy vẽ đ-ờng phụ nh thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà ngời học cần phải biết đợc đối với mỗi bài toán cụ thể Không thể có một phơng pháp chung nào cho việc vẽ đờng phụ trong bài toán chứng minh hình học Ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đờng phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài toán Dới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đờng phụ thông qua một bài toán cụ thể

để giúp phần nào cho bạn đọc làm quen

1/Vẽ đờng phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau:

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C Chứng minh

rằng đờng chéo AC<BD

Hớng giải: Bình thờng 2 đờng chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp

ta so sánh Nếu đa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh

Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đờng phụ

Có thể từ B hoặc từ C vẽ đờng thẳng song song với AC hoặc BD

Cũng có

thể ở giữa A và D ta chọn một

điểm E sao cho BE=AC (hoặc

sao cho CE=AB, tuỳ cách

vẽ của bạn) Điều này hoàn

toàn có thể làm đợc bằng

phơng pháp dựng hình

và nh vậy ta đã làm xuất hiện ∆BDE có BE=AC

Việc so sánh AC với BD đợc chuyển thành so sánh BE với BD trong ∆BDE Để so sánh BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong ∆BDE lấy A>D làm trung gian

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, lấy một điểm M tuỳ ý trên CD Vẽ phân giác của

góc BAM cắt cạnh BC tại E Chứng minh: DM+BE=AM

Hớng giải: Từ kết luận cần chứng minh của bài toán, gợi ý cho ta cách vẽ thêm đ-ờng phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đđ-ờng thẳng tạo ra một

đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng BE+BM

A

B

D C

E

Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếp

với MD sao cho DF=BE để có

FD+DM=BE+DM=MF Hoặc đặt

BF liên tiếp với EB sao cho BF=DM

để có BE+BF=BE+DM=EF Với cách

vẽ đờng phụ ở hình trên ta chuyển

từ chứng minh AM=DM+BE

thành chứng minh AM=MF

Còn với cách vẽ đờng phụ ở hình dới ta phải thêm một bớc chứng minh AM=AF sau đó mới chứng minh AF=FE

2 Vẽ thêm đờng phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau:

Ví dụ 3: Cho hình hình hành ABCD, trên AB và BC lấy 2 điểm E,F sao cho AE =

CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kể DH⊥AF và DK⊥CE Chứng minh rằng DH=DK Hớng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất

là chứng minh cho ∆ AFD=∆CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác

này đã có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau Nếu hai tam giác có

hai cạnh đáy bằng nhau và có đờng cao thuộc hai cạnh đáy đó

C

B

E D

A

C

B

E D

F

M A

cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau, Vì vậy nếu ta vẽ đờng chéo

AC và lấy ∆ ACD làm trung gian để so sánh diện tích ∆ CED và

diện tích ∆ AFD Ta thấy ngay diện tích ∆ AFD = diện tích ∆ ACD

(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)

Diện tích ∆ AFD=∆CED (cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD)

Suy ra diện tích ∆ AFD=∆CED hay 1/2 DH.AF=1/2DK.CE Mà AF=CE Suy ra DH=DK

Ví dụ 4: Chứng minh rằng đờng trung bình của một hình thang cân thì nhỏ hơn đờng chéo của nó

Hớng giải :

Gọi hình thang cân ABCD có BC // AD , AB = CD và BC< AD, MN là đờng trung bình của hình thang

Ta phải chứng minh MN < BD nhng giữa MN và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh đợc Nếu từ M kẻ đờng thẳng song song với cạnh bên CD, cắt AD tại e

và dùng DE làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách chứng minh MNDE là hình bình hành và ∆BDE vuông tại E

3/ Vẽ đờng phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh hơn

VD 5 : Cho ∆ABC có AB > AC Vẽ hai đờng cao BE và CD Chứng minh rằng

AB + CD > AC + CE

F

E

D

C B

A

E

N M

D

C B

A

Hớng giải :

ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng khác bằng AB + CD và một đoạn thẳng khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh

Nh-ng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằNh-ng cách chuyển vế AC

và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có AB – AC > BE – CD Nh vậy bài toán

có thể biến đổi thành một bài toán mới tơng đơng ‘ Cho ∆ABC có AB >AC Chứng minh rằng hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu 2 đờng cao tơng ứng thuộc hai cạnh đó”

- Biến đổi đề toán nh vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đờng phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC Đó là CB’ = AB’ – AC.Ta có ∆ ABB’ cân tại A Từ B’ kẻ B’H ⊥ AB và CF ⊥ B’H Đến đây ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng Ta chỉ cần chứng minh cho BE = B’H và CDHF là hình chữ nhật , sẽ suy ra đợc B’F = BE – CD Cuối cùng bài toán đa về việc so sánh BF’ và B’C trong ∆B’FC

4/ Vẽ thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng bằng nhau mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh đợc dễ dàng

Ví dụ 6 : Cho ∆ABC, P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác sao cho góc PAC = góc PBC , và M, N là hình chiếu tơng ứng của P xuống AC và BC Nối M, N với trung điểm D của AB Chứng minh MD = ND

Hớng giải :

H

F

D

C

B’

B

A

Giữa MD và ND cha có mối liên hệ nào giúp ta so sánh Nếu ta xác định thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK, MK, nối DI, NI ta thấy xuất hiện 2 tam giác ∆DMK và ∆DNI Gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng minh cho 2 tam giác đó bằng nhau để rút ra MD = ND

Mà ∆DMK = ∆DNI là điều dễ thấy

Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy

Hớng giải : Tam giác ABC có góc B = 1v , AM = MC =

2

AC

Chứng minh rằng BM

= AC2

Tia ac và tia BM cắt nhau tại M Khai thác tính chất đờng chéo của hình bình hành gợi ý cho ta lấy trên tia BM một đoạn MD = BM

Ta sẽ đợc tứ giác ABCD là hình bình hành Hình bình hành ABCD lại có góc B

= 1v nên là hình chữ nhật Đến đây suy ra BM =

2

AC

là quá dễ dàng ( dựa vào tính chất hình chữ nhật)

5/ Vẽ thêm đờng phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó

N

M D

C B

A

K

D M

C B

A

Ví dụ 8 : Cho ∆ABC và một đờng thẳng xy không cắt tam giác Chứng minh rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đờng thẳng xy bằng 13 tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đờng thẳng đó

Hớng giải : ∆ABC có G là trọng tâm Kẻ AA’ , BB’ ,CC’ và GG’ vuông góc với xy

Ta phải chứng minh GG’ = ( ' ' ')

3

1

CC BB

AA+ + Dựa vào tính chất đờng trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh nào đó của ∆ABC với trọng tâm G thì đờng thẳng nối hai điểm đó

phải đi qua trung điểm cạnh đối diện

Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC Và lấy một điểm E

là trung điểm BG ta sẽ có BE = EG = GN =

3

1

BN Khai thác tính chất này và dựa vào

định lí “ Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau” Ta tiếp tục vẽ các đờng thẳng EE’ và NN’ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA’CC’ ; EE’NN’ ; BB’GG’ Vận dụng tính chất đờng trung bình của hình thang để tính chất đờng trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó biến

đổi dần ta sẽ đợc kết quả cần tìm

* Những điểm cần lu ý khi vẽ đờng phụ :

a) Vẽ đờng phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện Phải nắm thật vững đề bài ,

định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục

đích chứng minh của mình

b) Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản c) Với một bài toán nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau Có khi với cùng một đờng phụ nhng cách vẽ khác nhau nh trong ví dụ 7 nên không lấy MD = BM mà ta lại lấy D là trung điểm AB ( hình

E’

N

C B

A

B’

y x

G’

bên )

chẳng hạn thì không vận dụng tính chất 2 đờng chéo của hình chữ nhật mà phải chứng minh ∆ADM = ∆DBM , hoặc ở ví dụ 2 vẽ đờng phụ theo hai cách ta cũng

có hai cách chứng minh

Thông qua một số ví dụ đã nêu , bạn đọc đợc hiểu phần nào vai trò của việc vẽ đ-ờng phụ trong chứng minh hình học Có nắm vững đợc kiến thức cơ bản một cách chắc chắn , biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện của bài ra mà tìm cách vẽ đờng phụ thích hợp để giải toán Nh vậy vẽ đờng phụ cũng là một kỹ năng trong giải toán hình học

*Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau :

1) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng bằng

đoạn thẳng cho trớc ( VD 2 )

2) Vẽ thêm một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho

tr-ớc

3) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc ( VD 8 )

4) Nối 2 điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc 5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc

6) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc

7) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc

8) Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau

* Một số bài toán tham khảo

Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy một điểm P sao cho góc PAB = góc PCB Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đờng thẳng

PB Chứng minh rằng góc APB = góc DPC

Bài 2: Cho ∆ABC cân tại A Từ trung điểm H của BC kẻ HE ⊥ AC ( E∈AC) Gọi

O là trung điểm của HE Chứng minh AO ⊥ BE

Bài 3 : Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C kẻ các đờng thẳng CE, CF tơng ứng vuông góc với AB, AD

B

A

C