Gọi H và E lần lợt là hình chiếu của A và B lên đờng thẳng d Chứng minh: SABEH = SABCD Trường THCS Quang Trung Năm học 2008-2009 Đỏp ỏn khảo sỏt mụn Toỏn Lớp VIII... 2® Cho hình thang
Trang 1Trường THCS Quang Trung
Năm học 2008-2009
Kỳ thi khảo sỏt đội tuyển Học sinh
giỏi
Đề bài mụn Toỏn
Lớp 8
Thời gian làm bài 120 phỳt Ngày thi 6 thỏng 4 năm 2009
Đề bài :
C
âu 1 (5điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 22 5
20
x
x x
b Tìm x Z ; y Z sao cho :
xy +2009y + 6x + 12051 = 0
Câu2 ( 4điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = ( x + 1 )2 + ( x - 3 )2
b) Chứng minh đẳng thức :
(a b b)(a c c)
+
) )(
(b c b a
a c
+(c a a)(c b b)
=
b
a
2 +
c
b
2 +
a
c
2
Câu 3 (5điểm)
a) Giải phơng trình
6 5
1
2
x
12 7
1
2
x
20 9
1
2
x
40 3
b) Chứng minh rằng : ( a + b + c ) (a1 + b1 + 1c ) 9 ( với a;b;c > 0 )
Câu4 ( 4điểm)
Gọi O là trực tâm tam giác nhọn ABC Trên các đoạn thẳng
OB và OC lần lợt lấy các điểm B1 và C1 sao cho AB1C = AC1B
= 900
Chứng minh rằng : AB1 = AC1
Câu5 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I của CDkẻ
đờng thẳng d song song với AB Gọi H và E lần lợt là hình chiếu của A và B lên đờng thẳng d Chứng minh:
SABEH = SABCD
Trường THCS Quang Trung
Năm học 2008-2009
Đỏp ỏn khảo sỏt mụn Toỏn
Lớp VIII
Trang 2Kỳ thi khảo sỏt đội tuyển Học sinh
giỏi
Thời gian làm bài 120 phỳt Ngày thi 6 thỏng 4 năm 2009
điểm
1a
(2đ)
A = 2
20
x
x x
= 2
x
= (x 24)(xx5 5)
Điều kiện xác định : x 4 ; x-5
.) Nếu x+5 > 0 x >- 5 thì A =
4
2
x
.) Nếu x+5 < 0 x <- 5 thì A=
x
4 2
1 0,5
0,25 0,25 1b
(3đ)
Tìm x ; y Z
xy + 6x + 2009y + 12051 = 0
=> x(y + 6) + 2009(y + 6) - 3 = 0
<=> (y + 6) (x+ 2009) = 3
1 6
3 2009
3 6
1 2009 1 6
3 2009 3 6
1 2009
y
x
y
<=>
7 2012 9 2010 5 2006 3 2008
y x y
Vậy (x ; y) = (-2008 ; -3) ; (-2006 ; -5) ; (-2010 ; -9) ;
(-2012 ; -7) thỏa mãn đk Z
0,5 0,5
1,5
0,5 2a
(2đ)
A = (x+1)2 + (x-3 )2 = x2 + 2x +1 + x2 - 6x + 9
A = 2 (x2 -2x + 5)
A= 2( 1 ) 2 4
x = 2(x-1)2 + 8 8 x
A đạt giá trị nhỏ nhất là 8 tại x-1= 0 x = 1
0,75 0,75
0,5 2b
(2đ)
ĐK : a b ; a c ; b c
Ta có :
a c b a c a b a c a b a
b a c a c a b
a
c b
) )(
(
) ( ) ( ) )(
(
Chứng minh tơng tự :
0,25 0,5 0,5
Trang 3b a c b a b c
b
a c
) )(
(
c b a c b c a
c
b a
) )(
(
=>(a b b)(a c c)(b c c)(b a a)
(c a a)(c b b)
a c c b b
a
(đpcm)
0,5 0,25
3a
(3đ)
Giải pt :
40
3 10 9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
x
Chú ý phân tích các mẫu thức thành nhân tử :
40
3 ) 5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2
(
1
ĐK x -2 ; x -3; x-4 ;x-5
<=>
40
3 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
x
<=>
40
3 5
1 2
1
x x
<=> ( 2)(3 5) 403
x
x <=> (x + 2)(x + 5) = 40
<=> x2 + 7x - 30 = 0 <=> (x - 3)(x + 10) = 0
Nghiệm pt : x1 = 3 ; x2 = -10 tmđk
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
3b
(2đ)
C/m : (a + b +c)(
c b a
1 1 1
) 9 với a ; b ; c > 0
Ta có : (a + b + c)(
c b a
1 1 1
= 1 + 1 1
b
c a
c c
b a
b c
a b a
= 3 + (
b
a +
a
b ) + (
c
b +
b
c ) + (
a
c c
a
) 3 + 2 +2 +2 = 9 Vì ta sử dụng bất đẳng thức phụ :
0 ) (
0 2
2 2
2 2
AB
B A
AB
AB B
A A
B B
A
( với A > 0 ; B> 0 )
(a+b + c) (1 1 1)
c b
a 9 xẩy ra dấu ‘=’ khi a=b=c (cm bđt phụ 0,5đ) xét dấu ‘=’ xẩy ra 0,5 đ
0,5 0,5
Trang 4(3đ)
Vẽ hình đúng và viết gt kl đúng
Gọi BH ; CK là 2 đờng cao của ABC
Xét AHB1 và AB1C có
1
AHB = 0
1 90
AB C và Aˆ chung
=> AHB1 AB1C(g.g) =>
1
AB
AH
=
AC
AB1
=> 2
1
AB =
AH AC
CM tơng tự 2
1
AC = AK AB (2) Xét AHBvà AKC có chung góc ở đỉnh A
AHB AKC 90 0
=> AHB AKC(g.g)
Ta suy ra
AC
AB AK
AH
Vậy AH.AC = AK.AB (3) Kết hợp (1) (2) và (3) ta có 2
1
2
1 AC
AB hay AB1 = AC1
0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,25
0,5 0,25
A
H
K
O
C 1
B 1
B C
Trang 5(2®)
Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng
d // AB, AH d,BEd Chứng minh SABEH = SABCD
điểm)
Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với
BC, AD
ABJK ABCD
IKD S S S S
cg g IJC
điểm)
Và EBJ HAK SEBJ SHAK
Mà ABEH ABEK HAK
ABEH ABJK ABJK ABEK EBJ
điểm)
Từ (1) và (2) ta có: SABEH = SABCD
I
(d)
K B
C
H
E J
0,5 0,5
0,5 0,5
Học sinh có thể giải quyết các bài toán bằng các cách khác nhau Cho điểm như bậc của thang điểm
