Là một giáo viên đã được phân công giảng dạy toán 7 với đối tượng bồi dưỡnghọc sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Qua quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy chuyên đề về Tỉ lệ thức –Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một chuyên đề thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn đại số lớp 7.
Trang 11 Chuyên đề:
TỶ LỆ THỨC- TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
2 Cơ sở xây dựng chuyên đề:
a) Nội dung trong chương trình hiện hành:
- Chuyên đề :Tỉ lệ thức- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, thuộc môn Đại số toán lớp
7 tập I
b) Lí do xác định chuyên đề:
Là một giáo viên đã được phân công giảng dạy toán 7 với đối tượng bồi dưỡng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta Qua quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy chuyên đề về
Tỉ lệ thức –Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một chuyên đề thật lý thú, phong phú
đa dạng không thể thiếu ở môn đại số lớp 7
Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy và dạng toán này cũng thường được áp dụng trong các kì thi học sinhư giỏi cấp huyện hằng năm Do đó
tôi chọn chuyên đề “ Tỉ lệ thức- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”
A Lý thuyết
I Tỷ lệ thức
1 Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b a =
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ
2 Tính chất
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản)
Nếu a c
b=d thì ad = bc
Trang 2- Tính chất 2 (tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
b=d c =d b =a c =a
II Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1 Tính chất
- Từ tỉ lệ thức
d
c b
d b
c a d b
c a d
c b
-= +
+
=
=
- Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e d
c b
a = =
2 Chú ý:
- Khi nói ba số x; y; z tỉ lệ với ba số a; b; c tức là ta có x y z
a = b =c hay x:y:z = a:b:c
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tínhư chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
d
c
1 2
1 2
Từ
f
e d
c
b
a = = suy ra
3
;
æ ö
ç ÷
B-Bài tập
Dạng 1 Tìm số hạng chưa biết
1 Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
- Nếu a c a d. b c. a b c. ; b a d. ; c a d.
b= Þd = Þ = d = c = b
b) Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: 1 2 ( )
Giải: Từ 1 2 ( )
5 3
Ví dụ 2: ( Bài tập 69a - SBT toán 7 tập 1, NXB GD - Tr 13)
Trang 3Tìm x biết 60
15
x x
-=
-Giải : Từ 60
15
x
x
-=
Vậy x = 30 hoặc -30
Ví dụ 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 2 3 1
Giải:
Cách 1: (Áp dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ thức)
Từ:
-Cách 2: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
Từ: 3 2 3 1
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
1
Từ đó suy ra: 3 2 1
x x
+ (Trở về VD3)
Dạng 2 Tìm nhiều số hạng chưa biết
1 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x trong tỉ lệ thức :
và
y
x
7
4
+
+
x+y=22 ( Đề chọn học giỏi trường DTNT- Tân Lạc năm học: 2011-2012 ) Giải:
Cách 1: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:
7
4
+
+
y
x
Suy ra (x +4)7= 4(7+y)
y x y
Þ
; 8 4 2 2
11
22 7 4
7
+
+
=
=
Trang 4Cách 2: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau
( ) 11
3
x y
y
Vậy: x+ = 4 12 Þ =x 8 à7v + =y 21 Þ =y 14
Ví dụ 2: (Đề chon hs giỏi cấp huyện năm 2012-2013-huyện Tân Lạc)
Tìm hai số x, y biết: 18
7
2 = y vàx+y=
x
Giải:
Cách 1: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
x= Þy x+y= =
+
Þ =x 2.2 = 4;y= 7.2 = 14
Cách 2: (Đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu diễn x, y qua k)
Đặt: 2x= = Þ =7y k x 2 ;k y=7k
Thay vào; x+ =y 18 ta được; 2k+ 7y= 18 Þ 9k= 18 Þ = Þ =k 2 x 2.2 = 4;y= 7.2 14 =
Ví dụ 3: (Đề chọn HSG cấp huyện năm học : 2011-2012-huyện Tân Lạc)
Cho 2x=3y; 4y=5z và 2x+3y- 4z Tìm x,y,z ?
- Cách 1 Biến đổi, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Từ: 2 3 ( )1
Từ: 4 5 ( )2
Từ (1) và (2) ta có:
- Cách 2 : (Đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu diễn x, y qua k)
Nên: 2x+ 3y+ 4z= 30k+ 30k- 32k= 56 Þ 28k= 56 Þ =k 2
Trang 5Vậy: x= 30;y= 20;z= 32
Ví dụ 4: ( Đề chọn HSG năm 2014- 2015-huyện Tân Lạc)
Cho 3 số x,y,z biết rằng :
5 2
; 7 3
z y y
x = = và x+y+z =-110
Giải:
- Cách 1:
x= y = z = x+ +y z =- =
Þ =x 6.( 2) - = - 12;y= 14.( 2) - = - 28;z= 35.( 2) - = - 70
Ví dụ 5: Tìm 3 số x, y, z biết
x= =y z và 2 2 2
2x + 3y - 5z = - 405
Giải:
2x + 3y - 5z = - 405ta được:
2.4k + 3.9k - 5.16k = - 405 Þk = Þ = 9 k 3 hoặc k= - 3
+ Với k=3 thay vào x= 2 ;k y= 3 ;k z= 4kta được x=6, y=9, z=12
+ Với k=-3 thay vào x= 2 ,k y= 3 ,k z= 4k ta được x=-6, y=-9, z=-12
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12
- Cách 2: từ
x = =y z suy ra
x = y = z Þ x = y = z
Áp dụng tinh chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
9
x = y = z = x + y - z =- =
-Từ đó suy ra:
2
2 2
2 2
2
4
9
16
x
y
z
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12
Trang 6Ví dụ 6: Tìm 3 số x, y, z biết
x= =y z và x.y.z = 648
Giải:
=648
Þ k=3 (Trở về cách 2 VD 1)
- Cách 2: Từ
x= =y z
3
648
æ ö
è ø
Từ đó tìm được y = 9; z = 12
Ví dụ 6 Tìm x,y, z biết 9 6 ;
2
z
x= y x= và x +y +z = 27
Giải: Từ 9 6
x= =y z
Sau đó ta giải tiếp như cách 1- ví dụ 2
Nhưận xét: Qua các ví dụ trên thì ta có thể đa ra các trường hợp tổng quát sau:
2 Bài toán cơ bản thường gặp:
Tìm các số x, y, z thoả mãn x y z
a= =b c (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c ¹ 0 và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt x y z k x k a y ; k b z ; k c.
Ta có k.a + k.b + k.c = d
a b c
+ +
Từ đó tìm được x a d. ;y bd ;z cd
Trang 7- Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
+ +
3 Hướng khai thác từ bài trên nhưư sau:
- Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* m x1 +m y2 +m z3 =e
n x +n y +n z = f
n x +n y +n z = f
*x.y.z = g
- Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
1 2 3 4
;
y= a z =a
+ a x2 =a y a y1 ; 4 =a z3
+ b x1 =b y2 =b z3
+ b x b z1 3 b y b x2 1 b z3 b y2
z b
- Thay đổi cả hai điều kiện
Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1 Một số phương pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c
b =d Ta có một số Phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;
b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phương pháp 3:
Trang 8Dùng tính chất hoán vị, tínhư chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ số ở vế trái (VT) thành vế phải (VP), tỷ số ở VP thành VT hoặc biến đổi VT=C, VT=C rồi suy ra VT=VP
Phương pháp 4:
Dùng tínhư chất hoán vị, tínhư chât của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh
2 Các ví dụ
Ví dụ 1:( Đề chọn hsg cấp huyện năm học 2013-2014-huyện Tân Lạc)
Cho a c
b =d
(a,b,c,d khác 0,a khác b, c khác d) CMR: c d
c b a
a
-=
-Giải:
Cách
c a b- =ac bc-
a c d- =ac ad
Từ a c (3)
ad bc
b = Þd =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
d c
c b a
a
-=
Cách 2: Đặt a c k a bk c, dk
Ta có:
b k
b
d k
d
Từ (1) và (2) suy ra: a b c d
Cách 3: từ a c b d
Ta có: a b a- = - = - = - =a a b a 1 b a 1 d c c-c d
Trang 9Do đó: a b c d
hay c d
c b a
a
-=
Cách 4: Từ a c a b a b a a b a b c d
c b a
a
-=
-Ví dụ 2: chứng minh rằng nếu 2
a =bc thì
(*)
a b c a
a b c a
- - (với a¹b a, ¹c)
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải như sau:
( 2) 2
a bc a a b c
c a
Từ đây ta áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để đưa về (*)
Giải:
- Cách 1: Từ : 2 a b a b a b a b c a
a bc
-Cách 2: Đặt a c k a bk c, ak
( 11) 11,( 0)(1)
b k
b
+
0 ,
a k
a
+
-Từ (1) và (2) suy ra: a b c a
a b c a
Cách 3: Ta có
2
2
a a b
do a bc
b c a c a
a b
b c a c a
+
-Do đó: a b c a
a b c b
-Ngược lại từ a b c a
a b c b
- - ta cũng suy ra được a
2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho a b c a
a b c b
- - chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức
Trang 10Ví dụ 3: Cho 4 số khác 0 là a a a a1, 2, 3, 4 thoả mãn 2 2
2 1 3 ; 3 2 4
a =a a a =a a chứng tỏ
3 3 3
3 3 3
Giải: Từ
(1)
2 1 3
2 3
a a a
( 2)
3 2 4
3 4
a a
a a a
Từ (1) và (2) suy ra
(3) 3
3 3
a =a =a Þ a =a =a =a ×a ×a = a
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(4)
3 3
1 2
Từ (3) và (4) suy ra:
3 3 3
3 3 3
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho 1 2 4
2 3 4
a =a =a chứng minh rằng
3
=
Ví dụ 4: Cho a c
b =d Chứng minh rằng: 2012 2012 ( )2012
2012 2012 2012
a c
+
Giải:
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2012
Từ (1) và (2) suy ra: 2012 2012 ( )2012
2012 2012 2012
a c
+
Dạng 4: Toán chia tỉ lệ
1.Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Trang 11Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận
2 Các ví dụ
VD1:( Đề chọn HSG cấp huyện năm học 2014-2015 -huyện Tân Lạc)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3
- Gọi 3 chữ số tự nhiên có 3 chữ số lần lượt là a,b,c ( 0<a: b; c<10)
- Số đó là bội của 18 => số đó là bội của 2 và 9
=> a+b+c: 9 ( Tồn tại ít nhất 1 chữ số chẵn) (1);
1<a+b+c £ 27 (2)
Theo bài ra ta có:
a= = =b c a b c+ +
Nên ( a+b+c) là bội của 6
=> ( a+b+c) chia hết cho bội chung nhỏ nhất (6:9)=18 (3)
Vậy các số thỏa mãn: 396; 936
Ví dụ 2: Số viên bi của ba bạn Nam, Minh, Hoàng tỉ lệ với các số 2; 4; 5 Cả ba bạn
có tất cả 99 viên bi Tính tổng số viên bi của Minh và Hoàng
Lời giải:
Gọi số viên bi của ba bạn Nam, Minhư, Hoàng là a,b,c (a,b,c> 0) Lúc đó a, b, c
tỷ lệ với 2; 4; 5 nên ta có tỷ lệ thức:
5 4 2
c b
a = =
Áp dụng tínhư chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
99 9
+ +
Từ đó suy ra
2
4
5
a
b
c
Trang 12Vậy số viên bi của 3 bạn Nam, Minh và Hoàng là: 18; 26; 45
Ví dụ 3 :( Đề chọn HSG cấp huyện năm học 2014-2015 -huyện Tân Lạc)
Ba tấm vải theo thứ tự giá 120000đ, 192000đ, 144000đ Tấm thứ nhưất và tấm thứ 2
có cùng chiều dài, tấm thứ 2 và tấm thứ 3 có cùng chiều rộng Tổng của 3 chiều dài 3 tấm là 110m, tổng của 3 chiều rộng là 2,1m Tìm kích thước của mỗi tấm vải biết rằng vải của mỗi tấm có giá như nhau
Giải:
Gọi chiều dài của tấm thứ nhất là x, chiều rộng của tấm thứ nhất là y
Gọi chiều rộng của tấm thứ 2 là z,gọi chiều dài của tấm thứ 3 là t.Ta có:
2x+t=110 (1)
2z+y=2,1 (2)
ta có:
000 144 000 192 000
.
120
zt xz
Từ:
8 5 000 192 000
.
120
z y xz
xy = Þ = đặt y = z =k Þ
8
ì
=
=
k z
k y
8
5
thay vào (2) ta được:
Þ2.8k+5k =21 k=2,1Þk=0,1Þz=0,8m y=0,5m
Lại có:
î í
ì
=
= Þ
=
= Þ
=
m t
m x m t x zt
zx
3
4 3
4 000 144 000
.
192
thay vào (1) ta được: 2.4m+3m=110 Û11m=110Þm=10
Nên x=40; t=30
→ xy=40.0,5=20m2
xz=40.0,8=32m2
zt=30.0,8=24m2
Dạng 5: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
Ví dụ 1: a/Tìm 2 số x,y biết rằng
x= yvà x.y=10
Học sinh thường mắc sai lầm như sau : . 10 1
x = =y x y = = suy ra x=2, y=5
Trang 13b Tìm các số x,y,z biết rằng:
x= =y z và x.y.z= 648
Học sinh thường mắc sai lầm như sau: . 648 27
Suy ra a=54, b= 81, c= 108
Từ ví dụ 1 ta thấy học sinh thường mắc sai lầm khi áp dụng tương tự
Học sinh áp dụng: .
.
x y x y
a= =b a b hay .
.
x y z x y z
a = = =b c a b c
Giáo viên có thể lấy ví dụ:
2
x y
a = =b nếu học sinhư áp dụng tính chất trên thì 1.1 1
x y xy
a= =b ab = = điều này vô lý
Ở một số bài toán khác, khi rút gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Tôi xin tiếp tục đưa ra một số ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c
b c =c a =a b
+ + + Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
b c=c a=a b
Áp dụng tínhư chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Học sinh thường bỏ quên điều kiện a+b+c= 0 mà rút gọn luôn bằng 1
2 điều đó dẫn đến tìm thiếu giá trị Để giải bài toán trên giáo viên có thê hướng dẫn học sinh làm như sau:
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số a ; b ; c
b+c c+a a+b
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c¹0 khi đó
+ +
Ví dụ 3: ( Đề chon HSG cấp huyện năm học 2012-2013)
Trang 14Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết các cạnh này tỉ lệ thuận với các số 3,5,7
và tổng độ dài của cạnh lớn nhất với cạnhư nhưỏ nhất hơn độ dài cạnh còn lại là 20cm
Giải: Gọi độ dài 3 cạnhư của tam giác lần lượt là: a,b,c (a,b,c >0)
Theo đó ta có: ( )1
a= =b c và (a+ - =c) b 20
-12
20
28
a
b
c
=
( TMĐK) Vậy độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là; 15: 20: 28
Ví dụ 4: (bt8-NCT7-Tr79): Ba ôtô đi từ A đến B Vận tốc ôtô thứ nhất kém vận tốc ôtô thứ hai là 3km/h Thời gian ôtô thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quãng đường AB
lần lượt là 40 phút, 5
8 giờ, 5
9 Tính vận tốc của mỗi ôtô
Giải:
Cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi vận tốc ôtô thứ nhât, ôtô thứ hai, ôtô thứ ba lần lượt là: x; y; z ( x,y,z > 0) Lúc đó x; y; z tỉ lệ
nghịch với 2 5 5; ;
3 giờ) nên ta có: 2 5 5
x= y = z và y-x = 3
Từ 2 5 5
x= y = z Þ x = y = z
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3 3
x = y = z = y-x = =
-Từ đó ta tính được: x= 45 (km/h); y = 48 (km/h); z = 54 (km/h)
Vậy vận tốc của ba ôtô lần lượt là: 45 (km/h); 48 (km/h); 54 (km/h)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Tìm số hạng chưa biết
Bài tập 1: Tìm x biết:
a 1 60
x
x
x x
2 Tìm nhiều số hạng chưa biết
Trang 15Bài tập 1 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Bài tập 2: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Bài tập 3: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4
x- z = y- x = z- y
và 2x +3y -5z = -21
Bài tập 4: Tìm x,y,z biết 4 6 8
x- = y- = z
và x +y +z =27
Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
Bài tập 1: Chứng minh rằng nếu 2
a =bc thì
2 2
2 2 , ( 0)
b
+
Bài tập 2: Biết bz cy cx az ay bx
-Chứng minhư rằng x y z
a = =b c
Dạng 4: Toán chia tỉ lệ (TLT-TLN)
Bài tập 1: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng
được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tínhư số cây mỗi lớp trồng được
Bài tập 2: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1
5 số thóc ở kho I,
1 6
số thóc ở kho II và 1
11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
4/ Tài liệu tham khảo:
- SGK,SGV toán 7 tập 1
- Các dạng toán điển hình 7-tập 1
- Nâng cao và phát triển toán 7-tập 1