Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)

Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)Hàm liên tục khả vi P Adic (Luận văn thạc sĩ)

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp

đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô, các đồng nghiệp và các bạn cao học toán K26

Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn

Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến:

Các thầy cô khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư Phạm TP.HCM cùng GS.TS Bùi Xuân Hải, GS TSKH Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, hoàn thành và bảo vệ luận vặn

Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn

Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè là những người luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2017

Nguyễn Thị Phương Loan

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường 3

1.2 Chuẩn phi Archimede 6

1.3 Trường số p – adic p 10

Chương 2: HÀM LIÊN TỤC, KHẢ VI P – ADIC 17

2.1 Một số lớp hàm liên tục trên p 17

2.2 Hàm khả vi liên tục 27

2.3 Nguyên hàm của hàm số liên tục 36

2.4 Bổ đề Hensel và các ứng dụng 42

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

Theo định lí Ostrowsky, một chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỉ hoặc tương đương với chuẩn thông thường hoặc tương đương với chuẩn p - adic Làm đầy đủ theo chuẩn thông thường ta được trường số thực , làm đầy đủ theo chuẩn p - adic ta được trường số p - adic p Từ tính chất đặc biệt của chuẩn p - adic

so với chuẩn thông thường, các hàm liên tục, khả vi trên trường số p - adic p vừa có

các tính chất tương tự như các hàm số thực, vừa có những tính chất khác lạ Bởi vậy, việc nghiên cứu các hàm liên tục, khả vi p - adic có nhiều điều thú vị và tôi quyết định

chọn đề tài: “Hàm liên tục khả vi p – adic” làm đề tài luận văn thạc sĩ toán của mình.

Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu là các hàm liên tục, khả vi trên trường các số

p – adic, mục đích của luận văn là làm rõ sự giống nhau, khác nhau giữa hàm liên tục, khả vi trên trường số thực và trường số p - adic p, đồng thời đưa ra cách chứng minh bổ đề Hensel dựa vào hàm giải tích và một số ứng dụng của bổ đề Ngoài phần

mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chương này trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho chương sau như: Chuẩn trên một trường, chuẩn p - adic và định lí Ostrowsky Xây dựng trường số p - adic p và một số tính chất cơ bản của trường số p

Chương 2 Hàm liên tục, khả vi p – adic

Chương này tập trung nghiên cứu, tìm tòi và chứng minh một số tính chất của một số lớp các hàm liên tục, khả vi trên p như hàm thỏa điều kiện Lipschitz, hàm giải tích, hàm giải tích địa phương, hàm hằng địa phương Đặc biệt thông qua đó so sánh sự giống nhau và khác nhau giữa hàm liên tục, khả vi trên trường số thực và trường số p - adic, xây dựng các ví dụ và phản ví dụ minh họa Đồng thời, chương này

cũng đưa ra cách chứng minh bổ đề Hensel bằng hàm giải tích và một số ứng dụng của

bổ đề Hensel

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số các kiến thức cơ bản, cần thiết cho chương sau Nội

dung trình bày ở đây chủ yếu tham khảo từ các tài liệu [3] và [5]

1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường

Định nghĩa 1.1.1 Cho K là trường, ánh xạ :K được gọi là chuẩn trên K nếu thỏa các điều kiện:

trên K, chuẩn này gọi là chuẩn tầm thường

Mệnh đề 1.1.3 Cho là chuẩn trên trường K,  x K ta có:

sinh bởi d cũng được gọi là tôpô cảm sinh bởi

Định nghĩa 1.1.5 Dãy   xn trong trường K là dãy Cauchy nếu   0, n0 để

0

,

m n n

Định nghĩa 1.1.6. Hai chuẩn 1, 2 trên trường K được gọi là tương đương nếu cảm

Định lí 1.1.7 Giả sử , 1 2 là hai chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

x   x  mâu thuẫn với 1 tầm thường Vậy 2 tầm thường và 1 2

Trường hợp 2: Cả hai chuẩn không tầm thường

1

không tầm thường nên tồn tại 0 *

x K để x0 1 a 1. Theo (i) suy ra

 với B a r2 , CxK x a|  2r C  A 2

:

vi Trước tiên ta nhắc lại khái niệm hội tụ trong tôpô:

Cho A là tập có hướng và X là tập tùy ý, ánh xạ từ A vào X cho bởi quy tắc

x

x

  theo 2

 x2n0 khi n  x 2  1 ■

1.2 Chuẩn phi Archimede

Định nghĩa 1.2.1 Cho là một chuẩn trên trường K Chuẩn được gọi là chuẩn

Ví dụ 1.2.2 Chuẩn tầm thường trên trường K là chuẩn phi Archimede

Mệnh đề 1.2.3 Cho K là một trường, là chuẩn phi Archimede trên K

   hay   xn là dãy Cauchy Chiều ngược lại hiển nhiên đúng

đều tồn tại số tự nhiên n0  n sao cho

0

n

x  Mà   xn là dãy Cauchy nên tồn tại

N sao cho với mọi m n, N ta có xmxn  Cố định n0 N sao cho

Mệnh đề 1.2.5 Cho p là số nguyên tố, khi đó x y,  ta có

i, ord p xy ord p x ord p y

ii, ord pxymin ord p x ord, p y

Mệnh đề 1.2.6 Lấy  0;1 , khi đó chuẩn :  xác định bởi

Lấy  1, 2 0;1 , gọi , 1 2 tương ứng là hai chuẩn được xác định theo  1, 2

như trên Khi đó 1  2 Thật vậy  x \ 0 , 1 1  2  2

log 1

Mọi chuẩn không tầm thường trên thì tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối

1 p  n n suy ra n1  1 hoặc n2  1 mâu thuẫn với cách chọn p

Nếu q là số nguyên tố khác p ta chứng minh q 1 Giả sử q 1 suy ra tồn tại n để

1.3.1 Xây dựng trường số p – adic p

Theo định lí Ostrowsky, có thể xem chỉ có hai chuẩn không tầm thường là chuẩn giá trị tuyệt đối và chuẩn p – adic Làm đầy đủ theo chuẩn giá trị tuyệt đối ta được trường số thực quen thuộc, làm đầy đủ theo chuẩn p – adic ta được trường số p – adic p Dưới đây ta sẽ mô tả cách xây dựng trường số p

Cho chuẩn . p trên xác định bởi ord p x ,

p

x  p  x là chuẩn p – adic, kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy  x n của  , p, trong S ta định nghĩa quan hệ như sau:    n n lim n n p 0

Phần tử nghịch đảo: Cho  x n  0, ta có  n 0 lim n p 0

Với   0, do  x n là dãy Cauchy nên  N 0 : m n, N thì m

ii, 1mod n, 1, 2,3,

n n

Chứng minh

Chứng minh sự tồn tại của dãy số thỏa điều kiện định lí

Ta có x p suy ra x b n ,b n Vì  b n là dãy Cauchy nên với mỗi n, tồn tại N n (N n là dãy tăng) sao cho i j

1.3.7 Khai triển p –adic của x trong p

Với x  p, x p 1, theo định lí 1.3.6, tồn tại dãy Cauchy  a n trong thỏa hai điều kiện an , 0a n  p nn1, 2,  và a n a n1modp n,n1, 2,3, để





 Trong khai triển

này, nếu k là số nguyên nhỏ nhất để a k 0 thì k

cầu đều là tâm của hình cầu đó

chứng minh chúng phải lồng vào nhau Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử

rs, ta chứng minh B a r , B b s, Vì B a r , B b s,  , suy ra tồn tại

 , B ,

Chương 2: HÀM LIÊN TỤC, KHẢ VI P - ADIC

2.1 Một số lớp hàm liên tục trên p

Trong mục này, chúng ta xét một số các lớp hàm liên tục quan trọng xác định trên p như hàm giải tích, giải tích địa phương và hàm hằng địa phương

Đầu tiên chúng ta có một số định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.1 Cho : f p p , f liên tục tại a p nếu thỏa một trong các

điều kiện tương đương sau:

Định nghĩa 2.1.3 Cho U là hình cầu mở trong p , hàm : f U  p là hàm giải tích

0

,

n n

n



Định nghĩa 2.1.4 Hàm : f p  p là giải tích địa phương nếu với mỗi a p có một

Định nghĩa 2.1.5 Hàm f : p  p là hàm hằng địa phương nếu với mọi x p đều

Chú ý 2.1.6 Hàm hằng địa phương là khái niệm chỉ có trong giải tích p – adic mà

không có trong giải tích thực Mọi hàm hằng địa phương trong giải tích thực đều tầm thường, cụ thể ta có kết quả dưới đây

Mệnh đề 2.1.7 Hàm f : 0,1  là hàm hằng địa phương thì f là hàm hằng

Chứng minh

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm tập liên thông: Tập A được gọi là liên thông

AG G  .

Cho a 0,1 , f là hàm hằng địa phương nên tồn tại lân cận mở U a của a sao

cho f x a, x U a Giả sử b 0,1 với f b b  f a  và U b là lân cận mở của

0,1

0,1

a a

Sau đây là một số kết quả quan trọng về các lớp hàm trên

Định lí 2.1.8 Cho U là hình cầu mở trong p , hàm : f U  p là hàm giải tích cho

0

n n

Chứng minh

Trước khi chứng minh định lí ta nhắc lại một số khái niệm:

Chọn '  'n

n N

N max N



 , đặt T'  j n,   |jN' và nN, khi đó với mọi

 j n,   \T' thì nN hoặc jN'n nên theo (2.1) và (2.2) suy ra t jn p  Vậy

Định lí 2.1.9 Cho f : p  p liên tục, khi đó tồn tại dãy các hàm hằng địa phương

n

    Vậy f n hội tụ đều về f ■

Mối quan hệ giữa các lớp hàm trên được thể hiện trong sơ đồ sau:

n n

Ví dụ 2.1.11 (Hàm hằng địa phương không phải hàm giải tích)

là hàm hằng địa phương nhưng không phải hàm giải tích

phương và hiển nhiên f không phải hàm giải tích.■

Ví dụ 2.1.12 (Hàm giải tích không phải hàm hằng địa phương)

Hàm f : p  p , f x x là hàm giải tích trên p nhưng không hằng địa

f x   x nên f không phải hàm hằng địa phương.■

Ví dụ 2.1.13 (Hàm khả vi nhưng không giải tích địa phương)

Tuy nhiên, f không là hàm giải tích địa phương Thật vậy, giả sử ngược lại f là giải

tích địa phương thì tồn tại lân cận U của 0 sao cho   n

Ví dụ 2.1.14 (Hàm liên tục không khả vi)

Với mỗi x0 a0a p1   a p n n  p ta chứng minh f liên tục tại x 0

Thật vậy, giả sử có xk p, x k a0,k a p1,k   a n k, p n và x k x0 khi k 

n

p p

 nên f không khả vi tại x0.■

Định nghĩa 2.1.15 Cho  , 0, hàm f : p  p được gọi là thỏa điều kiện

Mệnh đề 2.1.16 Hàm f : p  p là hàm Lipschitz thì liên tục

Chứng minh

Hàm f : p  p là hàm Lipschitz nên tồn tại  ,0, M 0sao cho

tích thực, hàm thỏa điều kiện Lipschitz bậc 1 đều tầm thường Tuy nhiên, trong giải tích p – adic tồn tại hàm thỏa điều kiện Lipschitz bậc0 bất kì nhưng vẫn không là hàm hằng (thậm chí không là hàm hằng địa phương) mặc dù f '  0 Sau đây

1

p Mp  với mọi n0,1, 2, ,N Khi đó ta có n! n

p Mp  với mọi n Do

đó f x  f y  pM xy p hay f Lip p  p,   0 và f '  0 Hiển nhiên theo định nghĩa hàm f thì f không phải là hàm hằng.■

Sau đây, chúng ta sẽ khảo sát, so sánh một số kết quả đã biết cho hàm liên tục trong giải tích thực với các hàm liên tục trong giải tích p – adic

Trước hết, ta thấy rằng trong giải tích thực hàm liên tục và có đạo hàm bằng không trên  a b, là hàm hằng trên  a b, Trong giải tích p – adic ta không có được kết quả tương tự, chẳng hạn các hàm hằng địa phương, hàm trong ví dụ 2.1.13, hàm trong

ví dụ 2.1.18 đều là các hàm liên tục, có đạo hàm bằng không trên p nhưng không là hàm hằng Tuy nhiên nếu thay điều kiện liên tục bằng điều kiện giải tích thì ta có kết quả tương tự Cụ thể, ta có định lí sau:

Cứ tiếp tục như thế suy ra a i   0, i 1, 2,3, nên f x a0, x p hay f là hàm hằng ■

Chú ý 2.1.20

Trong giải tích thực, cho dãy hàm f n khả vi và có đạo hàm liên tục trên  a b, , f n

hội tụ đều về f thì f là hàm khả vi và '

n

f hội tụ đều về f Trong trường hợp p – '

adic ta không có kết quả tương tự như vậy Sau đây là một phản ví dụ

Chú ý 2.1.22

Trong giải tích thực cho f là hàm liên tục trên  a b, và khả vi trên  a b, thì theo định lí giá trị trung bình tồn tại c a b, sao cho f b  f a  f ' c b a  Tuy nhiên, trong giải tích p – adic ta có hàm f : p  p cho bởi công thức

không đơn ánh trong bất kì lân cận nào của 0

đó B B1, 2, từng đôi một không giao nhau

Ta có hàm g cho bởi  :   2 khi

n

n n

Trong trường hợp p – adic, các ví dụ 2.1.21, ví dụ 2.1.24 cho thấy hàm khả vi

và có đạo hàm liên tục có nhiều tính chất không được tốt như hàm khả vi và có đạo hàm liên tục trong giải tích thực Chính vì vậy ta cần có điều chỉnh để xây dựng được các lớp hàm tốt hơn có những tính chất tương tự như hàm khả vi và có đạo hàm liên tục trong giải tích thực Cụ thể ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2.1 Cho f : p  p Sai phân bậc 1 của f là hàm hai biến trên

f x  f y  x y nên

   

   ,lim,

Nếu xét trong trường hợp giải tích thực tập các hàm thỏa định nghĩa 2.2.1 cũng trùng với tập các hàm khả vi và có đạo hàm liên tục

Trong trường hợp giải tích p – adic, tất nhiên hàm thỏa định nghĩa 2.2.1 là hàm khả vi và đạo hàm liên tục, tuy nhiên chiều ngược lại không đúng Cụ thể ta có mệnh

Ví dụ sau sẽ chỉ ra điều ngược lại không đúng Do đó, tập 1 

hay 1 

Cố định a p, vì f : p  p là hàm giải tích địa phương nên tồn tại U là

lân cận của a và a a a0, ,1 2,  p sao cho    

0

,

n n

n n

Mệnh đề 2.2.8 Cho  f n là dãy hàm C 1 trên p Giả sử f n hội tụ đều về f và 1 n f

p

p x

Chứng minh 1f n hội tụ đều về 1f

Cho a p,x y k, k  a a, , trong đó x y k, k p p \, do (2.5) nên với mọi 0

  và N0 Nthì mọi nN0 đều suy ra 1 n k, k 1  k, k

Theo tiêu chuẩn Cauchy, 1f x y k, k hội tụ và 1  ,  lim 1  k, k

k



(2.5) ta có 1f nx y,  1f x y ,  , x y,  p p\ Với a a,  p p, lấy dãy

x y k, k  a a, , trong đó x y k, k p p\ thì theo (2.6) ta có với mọi  0, tồn

tại số tự nhiên N sao cho với mọi ' nN' thì 1f nx y k, k1f x y k, k p ,

Vậy 1f n hội tụ đều về 1 .

Dựa vào chứng minh trên nếu cho  f n là dãy Cauchy trong 1 

BC  là không gian Banach.■

Mệnh đề 2.2.9 Cho : f p  p là C 1 tại a p Nếu f ' a 0 thì tồn tại lân cận

Lấy ,   , '  

p

z tB f a f a r ta có:

2.3 Nguyên hàm của hàm số liên tục

Định nghĩa 2.3.1 Nếu f là đạo hàm của hàm F (𝐹′ = 𝑓) thì F được gọi là nguyên

Để chứng minh định lí Dieudonné trong trường số p ta chứng minh một số bổ đề sau

Bổ đề 2.3.3 Cho f : p p là hàm liên tục thì có dãy hàm hằng địa phương

Bổ đề 2.3.4 Cho f f1, 2, và f là các hàm liên tục trên p sao cho  f n hội tụ đều

p

p x

a nên Fkhả vi liên tục và là một nguyên hàm của f ■

Bổ đề 2.3.5 Cho g: p  p là hàm hằng địa phương thì có một nguyên hàm khả vi

p

p x

f x

f 

