Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)

Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)Không điểm của đạo hàm và đa thức vi phân của hàm phân hình p Adic (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM

VÀ ĐA THỨC VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM

VÀ ĐA THỨC VI PHÂN

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm của đạo hàm và đathức vi phân của hàm phân hình p-adic" không có sự sao chép củangười khác Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều

có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS

Hà Trần Phương Nếu có vấn đề gì tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hương Giang

của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn

PGS TS Hà Trần Phương

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơnchân thành nhất tới PGS TS Hà Trần Phương Thầy đã dành nhiều thờigian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc, kiểm tra bài và giúp

đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viêntrong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đạihọc Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôihoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn

Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cốgắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được Tôi rất mongđược thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Học viên

Hoàng Thị Hương Giang

Mục lục

1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic 3

1.1.1 Hàm phân hình p-adic 3

1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất 12

1.2 Các định lý cơ bản 14

1.2.1 Định lý cơ bản thứ nhất 14

1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai 15

Chương 2 KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC VI PHÂN 19 2.1 Không điểm của đạo hàm 19

2.1.1 Một số bổ đề cơ sở 19

2.1.2 Các kết quả chính 29

2.2 Không điểm của đa thức vi phân 40

2.2.1 Một số kiến thức bổ sung 40

2.2.2 Các kết quả chính 44

LỜI MỞ ĐẦU

Cho K là một trường đóng đại số, có đặc số không và đầy đủ với giá trịtuyệt đối không Acsimet (p-adic) và f là một hàm phân hình trên K Kíhiệu f0 là đạo hàm của hàm f và kí hiệu

J Ojeda ([2]) đã chứng minh nếu Wronskian của hai hàm nguyên là mộthàm đa thức thì cả hai hàm nguyên đó là một đa thức Từ đó các tác giả

đã chứng minh đạo hàm f0 của một hàm phân hình siêu việt f trên K sẽnhận mọi giá trị trên trường K vô hạn lần nếu f có hữu hạn cực điểm bội.Dựa trên các nghiên cứu của K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, năm 2012,J-P Bézivin, K Boussaf, A Escassut ([3]) đã đặt ra giả thuyết nếu đạo hàmcủa f0 của hàm phân hình f có hữu hạn không điểm thì f có là hàm hữutỷ? Cũng trong bài báo này, một số kết quả tổng quát đã được các tác giả

đã chứng minh Trong [4], A Escassut, W L¨u, and C C Yang đã nghiêncứu vấn đề nói trên cho trường hợp đa thức vi phân F

Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề không điểm hàm phân hình và đạohàm của nó, chúng tôi lựa chọn đề tài "Không điểm của đạo hàm và

đa thức vi phân của hàm phân hình p-adic" Mục tiêu của đề tài làtrình bày lại các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây của các tácgiả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda, J-P Bézivin, W L¨u, and C C Yangtrong các bài báo [2], [3], [4] Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nộidung chính, phần kết luận và tài liệu tham khảo Trong Chương 1, tôi bắtđầu từ sự trình bày những cơ sở lý thuyết thường được sử dụng về các hàmphân hình p-adic, các hàm Nevanlinna và tính chất của nó, bao gồm cácđịnh nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, một số mệnh đề và định lý cơ bản Các kiếnthức cơ bản được tôi tham khảo trong tài liệu [1] Trong Chương 2, các kếtquả nghiên cứu gần đây của các tác giả K Boussaf, A Escassut, J Ojeda,J-P Bézivin, W L¨u, and C C Yang trong các bài báo [2], [3], [4] sẽ đượctrình bày lại một cách tường minh và tính toán lại cẩn thận các lập luận.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, tôi sẽ giới thiệu một số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệucùng một số mệnh đề và định lý cơ bản Trong toàn bộ luận văn, chúng taluôn ký hiệu các trường số hữu tỷ, số thực, số phức lần lượt là Q,R,C, ký

ba điều kiện sau được thỏa mãn:

1) |x| ≥ 0 với mọi x, |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) |x.y| = |x|.|y| với mọi x, y ∈ K;

3) |x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x, y ∈K.

Chúng ta đã biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| được định nghĩa nhưsau:

khoảng cách trên tập hợp các số hữu tỷ Điều đó có nghĩa là khoảng cáchgiữa hai số hữu tỉ x và y được xác định bằng giá trị tuyệt đối |x − y| Mộtkhoảng cách thì cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

1) Khoảng cách giữa hai điểm phân biệt phải là một số dương và bằng 0

khi hai điểm đó trùng nhau;

2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải bằng khoảng cách từ điểm y

đến điểm x;

3) Khoảng cách giữa hai điểmxvàz phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảngcách từ x đến y và khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác).Khoảng cách được xác định như trên không phải là duy nhất Thật vậy,trên tập hợp số hữu tỷ còn có những khoảng cách khác nữa Với mỗi sốnguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic như sau:

Định nghĩa 1.1 Với x là một số hữu tỷ, nếu x = 0 thì ta định nghĩa

|0|p = 0 Nếu x 6= 0, chúng ta viết được x = pαa

với mọi số k là số nguyên dương Thật vậy, ta viết k = pmk1, trong đó

m ≥ 0 và p - k1 Biểu diễn đó là duy nhất và khi đó,

thỏa mãn thêm điều kiện

3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p, |y|p}, với mọi x, y ∈ Q.

Trong thực tế, ta có

|x + y|p ≤ max{|x|p, |y|p}, nếu |x|p 6= |y|p,

và rõ ràng, nếu ta đặt dp(x, y) = |x − y|p thì dp là một khoảng cách trêntrường các số hữu tỷ và dp thỏa mãn thêm điều kiện

3’) dp(x, y) ≤ max{dp(x, y), dp(y, z)}, với mọi x, y, z ∈ Q.

Khoảng cách dp khi đó được gọi là siêu metric (hay còn gọi là khoảngcách không Acsimet) và ta gọi K là không gian siêu metric

Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p Khi đó |.|p sẽ cảmsinh trên K một siêu metric dp Với mỗi số thực r > 0 và một phần tử a

thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng và mở tâm a, bán kính r lần lượt là

d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r},d(a, r−) = {z ∈ K||z − a|p < r}

Vành {z ∈K|r < |z − a|p < R} được ký hiệu là Γ(a, r, R)

Trên không gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt hơn

so với không gian metric thông thường, đó là mọi tam giác đều cân và mọiđiểm nằm trong một hình cầu đóng hay mở đều là tâm của nó

Khi mở rộng từ các số hữu tỷ Q đến các số thực R, ta dùng đến các dãyCauchy theo |.|, đó là các dãy {an} thỏa mãn với mọi ε > 0, tồn tại một số

N sao cho với mọi m, n > N ta có |an − am| < ε Chúng ta cũng thêm vào

Q các dãy Cauchy theo |.|p để được trường các số p-adic Qp Lấy bao đóngcủa Qp ta sẽ được Q¯p Nhưng vì Q¯p không đóng đại số nên ta lại tiếp tục

bổ sung thêm các dãy Cauchy để có được Cp Đến đây, Cp là một trườngđầy đủ và đóng đại số

Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu các vấn đề liênquan đến giá trị tuyệt đối p-adic Vì thế, để đơn giản tôi sẽ ký hiệu |.| thaycho |.|p, ký hiệu K là một trường các số p-adic đóng đại số, đầy đủ có đặc

số không và K∗ = K\ {0} Sự khác biệt giữa tính chất của chuỗi trong Kvới chuỗi các số phức thông thường được thể hiện trong mệnh đề sau:Mệnh đề 1.1 Dãy {an} trong K là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thỏamãn

được gọi là hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa

Tương tự như trường hợp phức, hàm chuỗi

∞

P

n=0

an(z − z0)n có bán kínhhội tụ

ρ = 1lim sup

n→∞

|an|n1

Định nghĩa 1.3 Cho D ⊂ K là một tập mở Ta nói hàm f : D → K liên

tục tại z0 ∈ K nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

|f (z) − f (z0)| < ε, với mọi z ∈ d(z0, δ)

Định nghĩa 1.4 Nếu giới hạn lim

Khi đó ta nói hàm f khả vi tại z0

Trước khi tìm hiểu về hàm phân hình p-adic, ta bắt đầu với khái niệmhàm giải tích toàn cục

Cho D là một miền trong K Ký hiệu R(D) là tập hợp các hàm hữu tỷkhông có cực điểm trong D, nghĩa là h(z) ∈ R(D) thì h(z) = P (z)

thì khi đó ||.||D là một chuẩn trên R(D) Ký hiệu H(D) là bổ sung của

R(D) với topo sinh bởi ||.||D

Định nghĩa 1.5 Ta gọi mỗi phần tử thuộc H(D) là hàm giải tích toàncục trên D

Định lý 1.1 Với mỗi r ∈ R+, ta có H(d(0; r) = A(d(0, r−))

Định nghĩa 1.6 Hàm f : D → K là hàm giải tích địa phương nếu với mỗi

a ∈ D tồn tại một số ρ ∈ R+ và các hằng số an ∈ K sao cho

Tập hợp các hàm giải tích địa phương trên D ký hiệu là Hol(D)

Cho hàm giải tích địa phương f trên D, z0 ∈ D và r ∈ R+ sao cho

Cho f là một hàm không đồng nhất bằng 0 trongd(z0, r−) Nếuf (z0) = 0

thì tồn tại duy nhất một số nguyên dương q sao cho an = 0 với mọi n < q

và aq 6= 0 Trường hợp q = 1 thì ta gọi z0 là không điểm đơn của f, với

q ≥ 2 thì ta nói z0 là không điểm bội (bội q) của hàm f Trong trườnghợp này f (z) = (z − z0)qg(z), với g(z) 6= 0 Những không điểm của hàm 1

f

được gọi là cực điểm của hàm f

Định nghĩa 1.7 Cho D ⊂ K là một tập mở không có điểm cô lập Ta gọi

hàm f : D → K là hàm giải tích tại a ∈ D nếu ρ ∈ R+∪ {∞} và các hằng

số an ∈ K sao cho d(a, ρ−) ⊂ D, d(a, ρ−) \ D 6= ∅ và

Hàmf giải tích trênD nếuf giải tích tại mọi điểm thuộcD Ký hiệu H(D)

là tập hợp các hàm giải tích trên D Hiển nhiên một hàm giải tích trên D

thì khả vi trên D Hơn nữa, ta có H(D) ⊂ H(D) ⊂ Hol(D)

Định nghĩa 1.8 Trường các hàm phân thức của H(D) ký hiệu là M(D)

Ta gọi mỗi phần tử f ∈ M(D) là một hàm phân hình trên D

Định nghĩa 1.9 Nếu f ∈ M(D) không có cực điểm thì ta gọi f là hàmchỉnh hình trên D Nếu f chỉnh hình trên K thì ta gọi f là hàm nguyên.Trong các phần tiếp theo chúng tôi sẽ dùng một số ký hiệu như sau:

Ký hiệu 1.1 A(d(0, r−)) là vành các chuỗi lũy thừa f (z) =

Ký hiệu 1.6 K(z) là tập hợp bao gồm các hàm hữu tỷ trên K, mỗi phần

tử thuộc K(z) được viết dưới dạng P

Q với P, Q ∈ K[z], Q 6= 0.

Mỗi phần tử trong tập hợp M(K) \K(z) là một hàm siêu việt trên K

Ký hiệu 1.7 Mu(d(0, r−)) là tập hợp các hàm phân hình giới nội trên

∞

P

n=0

anzn qua một phép tịnh tiến Do đó, từ nay trở

đi chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

anzn.Cho f là một hàm nguyên, khi đó tồn tại một cách biểu diễn khác củahàm f, đó là nội dung của Định lý 1.2 sau đây

Định lý 1.2 Cho f là một chuỗi lũy thừa xác định một hàm nguyên trêntrường K Nếu f không phải là một đa thức thì có thể biểu diễn f dưới dạngtích vô hạn

Định lý 1.2 cho chúng ta hai tính chất về số không điểm của hàm f

Hệ quả 1.1 Nếu hàm nguyên f không phải là đa thức trên K thì f có vô

số không điểm trên K

Hệ quả 1.2 Hàm nguyên f là hàm hằng nếu f không có không điểm trênK.

Bây giờ, ta xét chuỗi lũy thừa f (z) =

Vì {pq : q ∈ Q} là trù mật trong R và |f |(r) là hàm liên tục theo r nên

ta thu được nguyên lý module cực đại:

(r) = |g|(r)

f ∈ A(K) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 khi và chỉ khi nó là hàm hằng.Cho f ∈ M(K) Với mỗi r > 0, ta ký hiệu

Ký hiệu 1.8 ψf(r) là số không điểm bội của f trong d(0, r), mỗi điểmđược đếm số lần bằng bội của nó

Ký hiệu 1.9 φf(r) = ψ1

f(r).Định nghĩa 1.10 Cho các hàm nguyên f, g trên K, ta định nghĩa Wron-skian của f và g là

W (f, g) =

f g

f0 g0

... 1f < /p>

 < /p>

− N (R, f ) = log |f |(R) − log |f |(ρ0),N < /p>

 < /p>

r, 1f < /p>

 < /p>

− N < /p>

 < /p>

r, 1f < /p>

 < /p>

≤ n < /p>

... < /p> Trang 24

Chương 2< /p>

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM < /p>

VÀ ĐA THỨC VI PHÂN < /p>

Trong... điểm chung Vì thế,các không điểm hàm f0 không điểm g0¯h − gw Theo giảthiết f0 có hữu hạn khơng điểm nên g0¯h − gw = P với P đa