Tải Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét - Bài tập ôn tập chương 4 Đại số lớp 9

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị[r]

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I Tóm tắt lý thuyết

1 Cách giải phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) = b 2 - 4ac

* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

b 2a

  

; x2 =

b 2a

* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

- b 2a

* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

2 Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.

 = b'2

- ac

* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

a

; x2 =

b ' a

* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

- b' a

* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

3 Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :

1 Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì :

2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : X - X.S+ P = 02

(Điều kiện để có u và v là S2 4 P)

3 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 1 2

c

x = 1; x =

a

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : 1 2

c

x = 1; x =

a



4 Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)

2 Vô nghiệm

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)

5 Hai nghiệm cùng dấu

6 Hai nghiệm trái dấu

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)

Trang 2

9 Hai nghiệm đối nhau

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0

4 Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm

đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

II Bài tập

Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phương trình

x2m m( 1)x5m20 0

Có một nghiệm x = - 5 Tìm nghiệm kia

Bài tập 2 : Cho phương trình

x2mx 3 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia

x2 8x m  5 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này

(m 4)x2 2mx m  2 0 (1)

a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = 2

b) m = ? thì (1) có nghiệm kép

x2 2(m1)x m  4 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m

b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu

Trang 3

c) Giả sử x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) CMR : M =1 x x2 11 x x1 2

không phụ thuộc m

x2 2(m1)x m  3 0 (1)

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m

b) Đặt M = x12x22

(x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1)) Tìm min M

Bài tập 7: Cho 3 phương trình

2 2 2

1 0(1);

1 0(2);

1 0(3)

x ax b

x bx c

x cx a

    Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm

Bài tập 8: Cho phương trình

x2 (a1)x a 2  a 2 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a

b) x x1, 2

là nghiệm của phương trình (1) Tìm min B = x12x22

x2 2(a1)x2a 5 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a

b) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2

c) a = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2

thoả mãn

2 2

1 2

x x

= 6

2x2(2m1)x m 1 0 (1)

a) m = ? thì (1) có hai nghiệm x x1, 2

thoả mãn 3x1 4x2 11

b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2không phụ thuộc m.

Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

Trang 4

2 2

x m n x m

x m n x

    Tìm m và n để (1) và (2) tương đương

ax2bx c 0(a0) (1)

điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

2 ( 1) 2 0( 0)

kb  k ac k 

mx22(m 4)x m  7 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

thoả mãn x1  2x2  0

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2

độc lập với m

x2 (2m3)x m 23m 2 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối nhau

c) Tìm một hệ thức giữa x x1, 2

(m 2)x22(m 4)x(m 4)(m2) 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2

Tìm một hệ thức giữa x x1, 2

c) Tính theo m biểu thức 1 2

A

d) Tìm m để A = 2

x2 mx 4 0 (1)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi

Trang 5

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

2 2

1 2

A

x x



c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình x2kx 7 0 có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn vị

x2 (m2)x m  1 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

x2 (m1)x m 0 (1)

a) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình Tính 2 2

1 2

x x

theo m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2

thoả mãn

2 2

1 2

x x

= 5

x2(2m1)x m 23m0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4 Tìm hai nghiệm đó

x212x m 0 (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

toả mãn x2 x12

(m 2)x2 2mx 1 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trang 6

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 1 2 x1 1 2 x2 1

x2 2(m1)x m  3 0 (1)

b) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

c)Tính A = 13 32

x x theo m.

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau

(m 2)x2 2mx m  4 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc hai

b) Giải phương trình khi m =

3

2.

c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm

x2px q 0 (1)

a) Giải phương trình khi p =  3 3

; q = 3 3 b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2,x2 1

c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dương x x1, 2

thì phương trình qx2 px 1 0 có hai nghiệm dương x x3, 4

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3x va x1 3 2

; 12

1

x và 2

2

1

x ;

1 2

x

x và

2 1

x x

x2 (2m1)x m 0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 1

; c)Tìm m để

2 2

1 2 6 1 2

x x  x x

đạt giá trị nhỏ nhất

x2 2(m1)x2m10 0 (1)

a) Giải phương trình với m = -6

Trang 7

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN của biểu thức

2 2

1 2 10 1 2

A x x  x x

(m1)x2 (2m 3)x m  2 0 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2

Hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia

x2 2(m 2)x(m22m 3) 0 (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thoả mãn

1 2

5

x x



x2mx n 0 có 3m2= 16n

CMR hai nghiệm của phương trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia

Bài tập 31 : Gọi x x1, 2

là các nghiệm của phương trình 2x2 3x 5 0 Không giải phương

trình , hãy tính : a) 1 2

x x

; b) (x1 x2)2

; c) x13x23 d) x1  x2

Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) 3 và 2 3 ; b) 2 - 3 và 2 + 3

Bài tập 33 : CMR tồn tại một phương trình có các hệ số hữu tỷ nhận một trong các

nghiệm là :

a)



 ; b)



 ; c) 2 3

Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng :

a) Bình phương của các nghiệm của phương trình x2 2x1 0 ;

b) Nghịch đảo của các nghiệm của phương trình x2mx 2 0

Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phương trình

x2mx n 0 cũng là m và n

Trang 8

x2 2mx(m1)30 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = -1

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng nghiệm còn lại

2x2 5x 1 0 (1)

Tính x x1 2 x2 x1

( Với x x1, 2

là hai nghiệm của phương trình)

(2m1)x2 2mx 1 0 (1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 0 )

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2

thoả mãn

2 2

1 2 1

x  x 

Bài tập 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số)

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm

Bài tập 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình :

(a2− a −3)x2+(a+2 ) x − 3 a2=0

Nhận x=2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?

Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phương trình bậc hai :

x2 8x m 0

để 4 + 3 là nghiệm của phương trình Với m vừa tìm được , phương trình

đã cho còn một nghiệm nữa Tìm nghiệm còn lại ấy?

Bài tập 41: Cho phương trình : x2 2(m1)x m  4 0 (1) , (m là tham số)

1) Giải phương trình (1) với m = -5

2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x1, 2

phân biệt mọi m

Trang 9

3) Tìm m để x1 x2

đạt giá trị nhỏ nhất (x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2/ )

Bài tập 42:

Cho phương trình

1 Giải phương trình khi b= -3 và c=2

2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài tập 43:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 44:

Cho phương trình ( ẩn x) : x4

- 2mx2

+ m2

– 3 = 0 1) Giải phương trình với m = √3

2) Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài tập 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2

- 2mx + m2

– 12 = 0 (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

x1= 4

3+√5 và x2=

4

3−√5

1) Tính : P = (3+4√5)4+(3 −4√5)4

Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x2− 2 x −|x − 1|+m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt.

Trang 10

Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

2 2

x x m

Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng một nghiệm chung

Bài tập 49:

Cho phương trình : x2 2(m1)x m 21 0 với x là ẩn , m là tham số cho trước 1) Giải phương trình đã cho kho m = 0

2) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương x x1, 2

phân biệt thoả mãn điều kiện x12 x22 4 2

Bài tập 50: Cho phương trình :

m2x21 2 m x m   3 0

( x là ẩn ; m là tham số )

1) Giải phương trình khi m = -

9 2

2) CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1

là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị biểu thức : 8

1 10 1 13 1

P x  x  x

Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x:

x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

Bài tập 54:

Cho phương trình : x2

+ 2(m-1) x +2m - 5 =0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để 2 nghiệm x x1, 2

của (1) thoả mãn :

2 2

1 2 14

x x 

Trang 11

Bài tập 55:

a) Cho a = 11 6 2 , b 11 6 2 CMR a, ,b là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên

b) Cho c3 6 3 10, d 36 3 10 CMR c d2, 2là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên

Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai :

x22(m1)x m 2m 1 0 (x là ẩn, m là tham số)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm x x1, 2 thoả mãn :

1 2 3

x  x 

3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số y =

x  m x m m chứa đoạn 2;3

Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài tập 58: Cho phương trình : x26x6a a 2 0.

1) Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm

2) Giả sử x x1, 2

là nghiệm của phương trình này Hãy tìm giá trị của a sao cho 3

2 1 8 1

x x  x

Bài tập 59: Cho phương trình :

mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn

a) Giải phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

, hãy tính theo

m giá trị của biểu thức B = 10x x1 2 3(x12x22)

Tìm m để B = 0

Bài tập 60:

a) Cho phương trình :x2 2mx m 21 0 ( m là tham số ,x là ẩn số) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn điều kiện

1 2

b) Cho a, b, c, d  R CMR ít nhất một trong 4 phương trình sau có nghiệm

Trang 12

2 2 2 2

ax bx c

bx cx d

cx dx a

dx ax b

Bài tập 61:

1) Cho a, b , c, là các số dương thoả mãn đẳng thức a2b2 ab c 2 CMR phương trình x2 2x(a c b c )(  ) 0 có hai nghiệm phân biệt

2) Cho phương trình x2 x p 0 có hai nghiệm dương x x1, 2 Xác định giá trị của p khi x14x24 x15 x25

đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 62: Cho phương trình : (m + 1 ) x2– ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia

Bài tập 63: Cho phương trình : x2 3y22xy 2x10y 4 0 (1)

1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phương trình ( 1 ) thoả mãn x2y2 10

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)

Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x :

a x1 2b x c1  1 0

và a x2 2b x c2  2 0

Có nghiệm chung CMR : a c1 2 a c2 12 a b1 2 a b b c2 1  1 2 b c2 1

Bài tập 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

x2 2(m1)x2m2 3m 1 0

a) Chứng minh phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0m1

b) Gọi x x1, 2

là nghiệm của phương trình , chứng minh : 1 2 1 2

9 8

x x x x 

Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

2x22mx m 2 2 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm

b) Gọi x x1, 2

là nghiệm của phương trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1 2 1 2

A x x x x 

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,03 MB