Cao Minh Nhân CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Hệ tọa độ - Tọa độ các điểm và véc tơ A. Tóm tắt lý thuyết Trong Oxyz: 1. a (x,y,z) ⇔ a =x i +y j +z k 2. a (x 1 ,y 2 ,z 2 ), b (x 2 ,y 2 ,z 2 ) Ta có: • a = b ⇔      = = = 21 21 21 zz yy xx • a ± b = (x 1 ± x 2 ; y 1 ± y 2 ;z 1 ± z 2 ) • k a = (kx 1 ; ky 1 ; kz 1 ) • a b = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 • a = 2 1 2 1 2 1 zyx ++ ; b = 2 2 2 2 2 2 zyx ++ • Cos ( a , b ) = 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 x zzyyxx zyxzy +++++ ++ ( a 0 ≠ ; b 0 ≠ ) 3. A (x A ,y A ,z A ), B (x B ,y B ,z B ), C (x C ,y C ,z C ) Ta có: • AB = (x B -x A , y B -y A ; z B -z A ) • AB= 222 )()()( ABABAB zzyyxx ++−+− • M là trung điểm của AB ⇒ M ( 2 ; 2 ; 2 ABABBA zzyyxx +++ ) • G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ G ( 2 ; 2 ; 2 CABCABCBA zzzyyyxxx ++++++ ) • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k. AC Chú ý: 1, M ∈ Ox ⇒ M (x; 0; 0) M ∈ Oy ⇒ M (0; y; 0) M ∈ Oz ⇒ M (0; 0; z) 2, M ∈ (Oxy) ⇒ M (x; y; 0) M ∈ (Oyz) ⇒ M (0; y; z) M ∈ (Oxz) ⇒ M (x; 0; z) B. Bài tập Bài 1: Trong mặt phẳng Oxyz cho a (1, 2, 3); b (2,-1, 3); c (1, 0, 2) Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân 1. Tính tọa độ của véc tơ u = 2 a -3 b +2 c 2. Tính độ dài của v biết v = a - b -3 c 3. Tính góc giữa hai véc tơ ( a , b + c ) Lời giải: 1. )1;7;2()496;34;262( 4) 0; (2;c2 9) 3;- (6; b3 6) 4; (2; a2 −=+−++−=⇒        u 2. )6;3;4( 0;6) (3;c3 1;3)- (2; b 3) 2; (1; a −−=⇒        v Vậy v = 61)6(3)4( 222 =−++− 3.      −=+ )5;1;3(b 3) 2; (1; a c ⇒ Cos ( a , b , c )= 3514 3.52.1-1.3 + + = 490 16 ⇒ ( a , b , c ) ≈ Bài 2: Trong Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1); B (-1; 1; 0); C (3; 1;-1) 1. Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. 2. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. 4. Tìm trên mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều 3 điểm A, B, C. Lời giải: 1. AB (-2; 0;-1) AC (2; 0;-2) Giả sử AB = k AC ⇒      −=− = =− k k k 21 00 22 hệ vô nghiệm ⇒ AB ≠ k AC hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. 3. Gọi D (x; y; z) AB (-2; 0;-1) DC = (3-x; 1-y;-1-z) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân Hay      −=−− =− −=− 11 01 23 z y x ⇔      = = −= 0 1 5 z y x Vậy D (5; 1;0) 3. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC ∆ G ( ) 3 101 ; 3 111 ; 3 311 −++++− hay G (1; 1; 0) 4. M ∈ (Oxy) ⇒ M (x; 0; z) MA= 22 )1(1)1( zx −++− = 322 22 +−−+ yxzx MB= 22 1)1( zx ++−− = 22 22 +++ xzx MC= 22 )1(1)3( zx −−++− = 1126 22 ++−+ zxzx MA 2 =MB 2 =MC 2 ⇔      ++−+=+++ +++=+−−+ 112622 22322 2222 2222 zxzxxzx xzxyxzx ⇔    =− =+ 928 124 zx zx ⇔        −= = 6 7 6 5 z x Vậy M ( 6 7 ;0; 6 5 − ) Bài tập đề nghị Bài 1: Cho a (2, -1, 2); b (3, 0, 1); c (-4, 1, -1) 1. Tính tọa độ của véc tơ u = 3 a -2 b + c 2. Tính độ dài véc tơ v biết v = 2 a + b +4 c 3. Cho x (2; y 0 ; z 0 ) xác định y 0 ; z 0 để a cùng phương x Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân Bài 2: Trong Oxyz cho A (-1;-1; 3); B (1; 1; 1); C (4; 2; 2) 1. Tìm ACAB. 2. Tính góc A của ABC ∆ 3. Tìm tọa độ điểm M trên Ox để MAB ∆ vuông tại M Vấn đề 2: Phương trình của mặt phẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình mặt phẳng )( α có dạng: Ax+By+Cz+D=0, (A 2 +B 2 +C 2 ≠0) n là véc tơ chỉ phương (VTCP) của )( α 2. )( α : Qua M );;( 000 zyx VTPT n (A, B, C) Phương trình )( α có dạng: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 3. A (a; 0; 0); B (0; b; 1); C (0; 0; c) với abc≠0 Phương trình (ABC) là 1 =++ c z b y a x 4. a và b là 2 véc tơ không cùng phương giá của a và b song song hoặc nằm trên )( α . ⇒ [ ] ba, là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của )( α Cặp a và b gọi là cặp VTCP của )( α B. Bài tập Bài 1: Trong Oxyz cho 3 điểm A (5; 1; 3); B (1; 6; 2); C (5; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng )( α trong các trường hợp sau đây: 1. Đi qua A và vuông góc với BC 2. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB 3. Đi qua 3 điểm A, B, C 4. Đi qua A và chứa Ox 5. Đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ Lời giải: 1. )( α : Qua M (5; 1; 3) Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân VTPT BC (4; -6; 2)=2 (2; -3; 1) Phương trình )( α là: 2(x-5)-2(y-1) +1(z-3) = 0 ⇔ 2x-3y+z-10 = 0 2. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó I ) 2 5 ; 2 7 ;3( )( α : Qua M (5; 1; 3) VTPT AB (-4; 5; -1) Phương trình )( α là: - 4(x-3)+5(y-7/2)-1(z-5/2)=0 ⇔ -4x+5y-z-3 =0 3. AB (-4; 5;-1) và BC (0;-1; 1) là cặp VTCP của (ABC) ⇒ [ ] BCAB, = ( 1 5 − 1 1 − , 1 1 − 0 4 − , 0 4 − 1 5 − ) = (4; 4; 4) =4(1; 1; 1) là VTPT của (ABC) Hay (ABD): Qua A (5; 1; 3) VTPT (1; 1; 1) Phương trình (ABC) là: x-5+y-1-z-3=0 4. Phương trình )( α có dạng By+Cz = 0 A(5;1;3) ∈ )( α ⇒ B+3C=0 Chọn C= -1, B=3 Phương trình )( α là: 3y-z=0 5. Gọi A 1 , A 2 , A 3 theo thứ tự đó là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó A 1 (5;0;0), A 2 (0;1;0), A 3 (0;0;3) Phương trình )( α là: 1 315 =++ zyx ⇔ 3x+15y+5z-15=0 Bài 2: Trong Oxyz cho 2 điểm A(1;0;1), B(2;3;0). Phương trình của 2 mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là: (P): x-2y-3z+1=0 (Q): 2x+y-z+4=0 Viết phương trình )( α trong các trường hợp sau đây: 1. Đi qua A và song song với (P) 2. Đi qua A và song song với trục Oz 3. Đi qua A, B và vuông góc với (P) 4. Đi qua A, B và vuông góc với (P) và vuông góc với (Q) Lời giải: 1. )( α : Qua A (1;0;1) Song song (P) )3;2;1( )( −− P n là VTPT của )( α Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân Phương trình )( α là: x-1-2y-3(z-1) = 0 ⇔ x-2y-3z+2=0 2. AB (1; 3;-1) và k là cặp VTCP của )( α ⇒ [ ] kAB, = ( 0 3 1 1 − , 1 1 − 0 1 , 0 1 0 3 )= (3;-1;0) là VTPT của )( α Phương trình )( α là: 3(x-1)-y=0 ⇔ 3x-y-3=0 3. AB (1; 3;-1) và )3;2;1( )( −− P n là cặp VTCP của )( α ⇒ [ ] )( , P nAB =( 2 3 − 3 1 − − , 3 1 − − 1 1 , 1 1 2 3 − =(-11;2;-5) là VTPT của )( α )( α : Qua A (1;0;1) VTPT (-11;2;-5) Phương trình )( α là: -11(x-1)+2y-5(z-1)=0 ⇔ -11x+2y-5+16=0 4. )3;2;1( )( −− P n và )1;1;2( )( − Q n là cặp VTCP của )( α ⇒ [ ] )()( , QP nn =( 1 2 − 1 3 − − , 1 2 − − 2 1 , 2 1 1 2 − =(5;-5;5)=5(1;-1;1) là VTPT của )( α )( α : Qua A (1;0;1) VTPT (1;-1; 1) Phương trình )( α là: x-1-y+z-1=0 ⇔ x-y+z-2=0 Bài tập tự giải Trong Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3) Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-y+z-1=0 1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh 4 điểm O, A, B, C là 4 đỉnh của tứ diện. 2. Viết phương trình )( α trong các trường hợp sau đây: a. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với AB b. Đi qua A và song song với (P) c. Đi qua A, B và vuông góc với (P) d. Đi qua A, B và song song với Oy Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân e. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với (P), vuông góc với (ABC) f. Mặt phẳng trung trực đoạn BC Vấn đề 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng A. Tóm tắt lý thuyết: 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Trong Oxyz cho: )( α : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 )( β : A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 ),,( 111)( CBAn α VTPT của )( α ),,( 222)( CBAn β VTPT của )( β * ⇔≠ )()( βα nkn )( α cắt )( β * ⇔      ≠ = 21 )()( kDD nkn βα )( α // )( β * ⇔      = = 21 )()( DD nkn βα )( α ≡ )( β Chú ý: )()(0 )()( βα βα ⊥⇔= nn 2. Chùm mặt phẳng Trong Oxyz cho: )( α : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 )( β : A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 )( α ∩ )( β = d • Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng )( γ chưa d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi )( α và )( β . Kí hiệu là ))(),(( βα • Phương trình chùm mặt phẳng Phương trình có dạng: m(A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 ) + n(A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 )=0 • Với m 2 +n 2 ≠ 0 gọi là phương trình của chùm mặt phẳng ))(),(( βα Chú ý: M ∈ d ⇒ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:    =+++ =+++ 0DzCyBxA 0DzCyBxA 2222 1111 B. Bài tập Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 1. )( α : x+2y+3z+4=0 Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân )( β : x+5y-z-9=0 2. )( α : x+y+z+5=0 )( β : 2x+2y+2z+6=0 3. )( α : x+2y+3z+1=0 )( β : 3x+6y+9z+3=0 Lời giải: 1. )3,2,1( )( α n VTPT của )( α )1,5,1( )( − β n VTPT của )( β Vì )()( 5 2 1 1 βα nkn ≠⇒≠ vậy )( α cắt )( β 2. )1,1,1( )( α n VTPT của )( α )2,2,2( )( β n VTPT của )( β )//()( 6 5 3 2 2 1 2 1 βα ⇒≠== 3. )3,2,1( )( α n VTPT của )( α )9,6,3( )( β n VTPT của )( β )()( 3 1 9 3 6 2 3 1 βα ≡⇒=== Bài 2: Cho 2 mặt phẳng )( α : 2x+my+2mz-9=0 )( β : 6x-y-z-10=0 Xác định m để: 1. )( α ⊥ )( β 2. )( α // )( β Lời giải: )2,,2( )( mmn α VTPT của )( α )1,1,6( )( −− β n VTPT của )( β 1. )( α ⊥ )( β 0. )()( =⇔ βα nn ⇔ 12-m-2m=0 ⇔ m=4 2. )( α // )( β ⇔ 10 9 1 2 16 2 − − ≠ − = − = mm ⇔    =− =− 3/12 3/1 m m Hệ vô nghiệm Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 3: Cho 3 mặt phẳng )( α : 2x-y+z+1=0 )( β : x+3y-z+2=0 )( γ : -2x+2y+3z+3=0 1. Chứng minh )( α cắt )( β Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của )( α và )( β và đi qua M (1; 2;1). 3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của )( α và )( β và song song với Oy. 4. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của )( α và )( β và vuông góc với )( γ . Lời giải: 1. Vì )( 3 1 1 2 α ⇒ − ≠ cắt )( β 2. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: m(2x-y+z+1)+n(x+3y-z+2)=0 ⇔ (2m+n)x+(-m+3n)y+(m-n)z+m+2n=0, với (m 2 +n 2 ≠ 0) (*) M(1;2;1) ∈ (P) ⇒ m(2-2+1+1)+n(1+6-1+2)=0 ⇔ 2m+8n=0 ⇔ m=-4n Chọn n=-1, m=4 Phương trình mặt phẳng (P) là: 4(2x-y+z+1) - (x+3y-z+2)=0 ⇔ 7x - 7y+5z+2=0 3. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng (*) ),3,2( )( nmnmnmn Q −+−+ VTPT của (Q) γ (0; 1; 0) VTCP của Oy (Q)// Oy ⇔ 0. )( = γ Q n ⇔ -m+3n=0 ⇔ m=3n Chọn n=1, m=3 Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 7x+2z+5=0 4. Phương trình )( γ có dạng (*) );3;2( )( nmnnnmn R −+−+ VTPT của (R) )3;2;2( )( − γ n VTPT của )( γ (R) ⊥ )( γ 0. )()( =⇔ γ nn R ⇔ -4m-2n-2m+6n+3m-3n=0 ⇔ 3m=n . Chọn m=1, n=3 Phương trình mặt phẳng (R) là: 5x+8y-2z+7=0 Vấn đề 4: Phương trình của đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Đường thẳng ∆ : Qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) VTCP ),,( cbau Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân Phương trình tham số ∆ là:      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 ( 0,0,0 ≠≠≠ cba ) Phương trình ∆ có dạng: c zz b yy a xx 000 − + − + − (dạng chính tắc) Chú ý: N ∈ ∆ );;( 000 ctzbtyatxN +++⇒ B. Bài tập Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau đây: 1. Đi qua A(1;2;3) có VTCP )1;3;3(u 2. Đi qua B(0;0;-1) và vuông góc với mặt phẳng )( α : 2x-y+z+9=0 3. Đi qua 2 điểm C(1;-1;1), D(2;1;4) Lời giải: 1. ∆ : Qua A(1;2;3) VTCP )1;3;3(u Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:      += += += tz ty tx 3 32 31 2. )1,1,2( )( − α n VTPT của )( α )( α ⊥ ∆ ⇒ )( α n là VTPT của ∆ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:      +−= −= += tz ty tx 1 21 3. ∆ : Qua C(1;-1;1) VTCP )3;2;1(CD Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:      += +−= += tz ty tx 31 21 1 Ôn thi ĐH [...]... B, C b, Đi qua A và vuông góc với BC c, Đi qua A, B và song song với OC d, Đi qua A, B và vuông góc với (Oyz) 3 Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau đây: a, Đi qua 2 điểm A, B b, Đi qua A cắt và vuông góc với BC Ôn thi ĐH Cao Minh Nhân c, Hình chiếu của AB trên (Oxy) d, Đường vuông góc của AB và OC 4 Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a, Đi qua A có tâm B b, Đường... 4x-y-5z+20=0 Vấn đề 7: Khoảng cách A Tóm tắt lý thuyết 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong Oxyz cho M(x0;y0;z0) (P): Ax+By+Cz+D=0 d(M,(P))= Chú ý: | Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D | A2 + B 2 + C 2 ∆ //( P ) ⇒ d (∆, ( P )) = d ( M , ( P )) trong đó M ∈ ∆ ( P ) //(Q ) ⇒ d (( P ), (Q )) = d ( M , (Q )) trong đó M ∈(Q ) Ôn thi ĐH )=(4;-1;-5) là VTPT của Cao Minh Nhân 2 Khoảng cách từ một điểm đến một... là 1 5 , cặp VTCP của ( ∆1 , ∆2 ) 1 5 2 4 , 2 4 3 3 )= (12; -6;-6) là VTPT của ( ∆ , ∆2 ) 1 ( ∆1 , ∆2 ): Qua H(3;2;6) VTPT (-2;-1;-1) Phương trình ( ∆1 , ∆2 ) là: 2(x-3)-(y-2)-(z-6)=0 ⇔ 2x-y-z+2=0 Bài 4: Cho 2 đường thẳng ∆1 : ∆2 : x −1 y + 1 z − 5 = = 2 3 1 x −1 y + 2 z +1 = = 3 2 2 1 Chứng minh ∆1 chéo ∆2 2 Viết phương trình (α) chứa ∆ và song song ∆2 1 Lời giải: 1 ∆1 : Qua M(1;-1;5) VTCP u1 ( 2;3;1)... u 2 ( −;1;1) là VTCP 1 Ta thấy u ≠ k u M(1;-1;1) ∈ ∆1 , N(2;-2;3) ∈ ∆2 Xét hệ: 1 2  1 + 2t = 2 − t1   − 1 − t = − 2 + t1 1 = 3 + t 1  hệ vô nghiệm ⇒ ∆ chéo ∆2 1 2 (α) là mặt phẳng chứa ∆2 và song song ∆1 u1 ( 2;− ;0) và u 2 ( −;1;1) là cặp VTCP của (α) 1 1 [ ] ⇒ u1 , u 2 = ( − 1 1 0 1 , 0 1 2 −1 , 2 − 1 = −1 6 2 1 )=(-1;-2;1) là VTPT của (α) (α) : Qua N(2;-2;3) VTPT (-1;-2;1) Phương trình (α)... 4 đỉnh của tứ diện 2 Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 Điều kiện: a2+b2+c2-d>0 Vì mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta có hệ phương trình:  36 + 4 + 9 − 12a + 4b − 6c + d = 0 1 + 36 − 2b − 12c + d = 0    4 + 1 − 4 a + 2c + d = 0 16 + 1 − 8a − 2b + d = 0  a = 2 b = − 1  Giải hệ ta có được:  c = 3 d = −3  Điều kiện: a2+b2+c2-d>0 Vậy phương trình mặt cầu (S) là:... x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0 Bài 4: Cho (S): x2+y2+z2-10x+2y+26z+170=0  x = − 5 + 2t  ∆ :  y = 1 − 3t và 1  z = − 13 + 2t  ∆2  x = − 7 + t1  :  y = − 1 − 2t1 z= 8  Viết phương trình (α) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với Lời giải: (S): (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2=25 Tâm I(5;-1;-13), bán kính R=5 ∆ : Qua M(-5;1;-13) 1 3 VTCP u1 (2;− ;2) ∆2 : Qua N(-7;-1;8) 2 VTCP u 2 (3;− ;0) u1 ( 2;− ;2) và u 2 (3;− ;0) là cặp VTCP... Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA= a 3 , SA ⊥ (ABCD) 1 d ( A, ( SBC )) 2 d (O, ( SBC )) , O là tâm của hình vuông ABCD 3 d (G, ( SAC )) , trong đó G là trọng tâm của ∆SAB Lời giải: Chọn hệ tọa độ Axyz Trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;0;a), S(0;0; 1 là cặp VTCP của (SBC) ⇒[SB, SC ] = ( 3 ;0;1) là VTPT của (SBC) (SBC): Qua B(a;0;0) VTPT ( 3 ;0;1) Phương trình (SBC)... tọa độ Axyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;), N( 3a ; a;0 ), 4 Ta có M( a; 2a ;0 ), 2 S(0,0,z0) a ;0) 2 a a MN ( − ; ;0) 4 2 AM (a; AM MN = 0 ⇒ AM ⊥ MN   ⇒ MN ⊥ (SAM ) SA ⊥ MN  ⇒ (SMN ) ⊥ ( SAM ) Bài tập đề nghị Bài 1: Cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(2;0;2), O(0;0;0) 1 Chứng minh 4 điểm O, A, B, C là 4 đỉnh của một tứ diện 2 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường... M(x0; y0; z0)  x = x ' 0 + at  ' ∆  y = y 0 + bt :  '  z = z 0+ ct d ( M , ∆) = MH trong đó H là hình chiếu của M lên ∆ 3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Cho 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 , ∆2 * d (∆1 , ∆ 2 ) = AB A ∈ ∆1 , B ∈ ∆ 2 AB là đoạn vuông góc chung của ∆1 và ∆2 * d (∆1 , ∆2 ) = d (∆1 , ( P)) trong đó ( P) ⊃ ∆ 2 ; ( P) // ∆1 B Bài tập Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (α) : x+2y+2z+11=0 ( β) :... − 4 + 3t  ' Phương trình tham số của ∆ là:  y = − 2 − 2t z = 4− t  Bài 5: Cho (α) : y+2z=0  x = 1− t  ∆ : y= t  z = 4t  1  x = 2 + t'  ' ∆2 :  y = 4 + 2t z = 4  Viết phương trình ∆ nằm trong (α) và cắt Lời giải: A= ∆1 ∩ ∆2 ⇒ Tọa độ A là nghiệm của hệ  x = 1− t   y = t ⇒ A(1;0;0)  z = 4t  B= ∆ ∩ (α) tọa độ B là nghiệm của hệ 2  x = 2 + t'   y = 4 + 2t ' ⇒ B(8;-8;4)  z= 4   y . trình )( α trong các trường hợp sau đây: 1. Đi qua A và song song với (P) 2. Đi qua A và song song với trục Oz 3. Đi qua A, B và vuông góc với (P) 4. Đi. của a và b song song hoặc nằm trên )( α . ⇒ [ ] ba, là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của )( α Cặp a và b gọi là cặp VTCP của )( α B. Bài tập Bài 1: Trong Oxyz