Cho Ma, b, c a Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ b Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ 3... bTính cos các gĩc của tam giác ABC cTìm trên đường thẳng Oy điểm cách
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1 Tọa độ của điểm : M x y z( ; ; )⇔OMuuuur=xir+y jr+zkr O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
2 Toạ độ vectơ : ur=(x y z; ; )⇔ =ur xir+y jr+zkr r i = (1;0;0); r j = (0;1;0); k r = (0;0;1)
3 Các công thức tính toạ độ vectơ:
( B A; B A; B A)
AB= x −x y −y z −z
uuu r
Cho u r = ( x y z ; ; ) và u ur ' = ( x y z '; '; ' )
ur=uur⇔ =x x y=y z=z ur±uur' =(x±x y'; ±y z'; ±z') kur=(kx ky kz; ; )
4 Tích vô hướng: u ur ur ' =x x ' +y y ' +z z ' u v r r = ⇔ ⊥ 0 u r v r
5 Các công thức tính độ dài và góc
AB= x −x + y −y + z −z
cos ; '
u u
+ +
r ur
r ur
r ur
6 Đặc biệt khi M là trung điểm của AB thì ta có :
6. G là trọng tâm của tam giác ABC
G
G
G
x x x x
3
y y y y
3
z z z z
3
+ +
=
⇔ =
+ +
=
Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz
1. Cho u i r r = − 2 , r ur j v = + 3 r i 5( r r uur j k w − ), = + 2 i r 3 r r j k −
a) Tìm tọa độ các vecto đó b) Tìm cosin của các góc ( ) ( ) u i r r ; , ; v j r r
c) Tính tích vô hướng của u v u w v w r r r ur r ur , ,
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Tính tích vô hướng của a b r r , biết
a) a r = ( 3;0; 6 ; − ) b r = ( 2; 4;0 − ) b) a r = − ( 1; 5; 2 ; ) b r = ( 4;3; 5 − )
4. Tìm góc giữa hai vecto u v r r ;
a) u r = ( 1;1;1 ; ) v r = ( 2;1; 1 − ) b) u r = + 3 r i 4 , r ur j v = − + 2 r j 3 k r
5. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
Trang 26. Cho tam giác ABC cĩ A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5) Tính tọa độ các đỉnh cịn lại
8. (TN 07 - 08)Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
9. (TN 01-02)Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k uuur r = + − r r, C(2; 4; 3), OD 2i 2j k uuur = + − r r r Chứng minh :AB ⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB
10. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nĩ
b)Tính cos các gĩc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU
1 Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu cĩ tâm I(a; b; c) và bán kính R : ( )2 ( )2 ( )2 2
x−a + y−b + z−c =R (1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x 2 +y 2 +z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R= a2+ + − b2 c2 d
2 Chú ý:
a) Mặt cầu cĩ tâm I và qua A thì R = IA = ( ) (2 ) (2 )2
x − x + y − y + z − z
b) Mặt cầu cĩ đường kính AB thì R = 1
2 AB và tâm I là trung điểm AB c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
d) x2 + y2 + z2 -6x +4y -2z – 86 = 0 e) x2 +y2 +z2 +3x + 4y – 5z +6 = 0
2 x + 2 y + 2 z + 8 x − 4 y − 12 z − 100 0 =
f) (x - 1)2 +(y +3 )2 +(z – 2)2 = 49 g) x2 +y2 +z2 –2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu cĩ đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và cĩ tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3 Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau.
a Cĩ tâm I(1 ;0 ;-1) , đường kính bằng 8
b Dường kính AB với A(-1 ;2 ;1 ) , B(0 ;2 ;3)
c Cĩ tâm O(0 ;0 ;0 ) và tiếp xsc với mặt cầu (S) cĩ tâm (3 ;-2 ;4) bằng kính bằng 1
d Cĩ tâm I(3 ;-2 ;4) và đi qua A(7 ;2 ;1)
e Cĩ tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xy)
f Cĩ tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0xz)
g Cĩ tâm I(2 ;-1 ;3) và tiếp xúc với mp(0yz
Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và cĩ tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình x2+ y2+ + z2 4 mx − 2 my + 4 z m + 2+ 4 m = 0 luơn là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình x2+ y2+ + z2 2 os c α x − 2sin α y + 4 z − − 4 4sin2α = 0 luơn là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích cĩ hướng
Cho u r = ( x y z ; ; ) và u ur ' = ( x y z '; '; ' ) ; ' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
y z z x x y
r ur
Trang 3Nhận xét:
1. u v r r ; cùng phương thì u v r r r ∧ = = 0 ( 0;0;0 )
2. u v r r ∧ = − ∧ v u r r
3. u r ⊥ ∧ ( u v r r ); v r ⊥ ∧ ( u v r r )
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi uuur uuur r AB AC ∧ = 0
5. A, B, C , D không đồng phẳng hay lập thành một tứ diện uuur uuur uuur AB AC AD ; ≠ 0
Ứng dụng để tính diện tích.
1. Diện tích tam giác 1
; 2
ABC
S = AB AC
uuur uuur
2. Thể tích tứ diện 1
6
ABCD
V = AB AC AD
uuur uuur uuur
3. Thể tích khối hộp VABCD ABCD. = AB AC AD ;
uuur uuur uuur
Bài tập:
Bài 1.
a Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ;1 ;0) , B(0 ;2 ;1), C(1 ;0 ;2), D(1 ;1 ;1)
b Chứng minh rằng bốn điểm trên lập thành tứ diện Tính thể tích khối tứ diện đó
c Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
d Tính diện tích tam giác ABC Tính đường cao AH của tam giác ABC
e Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
f Viết phương trính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 2.
a Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1 ;0 ;0), B(0 ;0 ;1), C(2 ;1 ;1)
b Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
c Tính chiều cao AH của tam giác ABC
d Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành
e Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
f Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I Phương trình mặt phẳng:
a Định nghĩa
Cho vecto n r ≠ 0 có giá vuông góc với mặt phẳng được gọi là vecto pháp tuyến.
chú ý Để viết phương trình mặt phẳng cần VTPT và điểm đi qua
Nếu mpα có 2 VTCP là uuur uuur AB CD , có thể VTPT bằng cách uuur uuur AB CD ;
VTCP : là vecto có giá nằm trên mp hoặc song song với mp.
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
VTPT của (P) n r = ( ; ; ) A B C
1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến n r = ( ; ; ) A B C ( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2 Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a VTPT của (P) n r = ( ; ; ) A B C
3 Các trường hợp đặc biệt:
Chứa trục Ox ( chứa e ur1= (1;0;0))
Chứa trục Oy ( chứa e uur2 = (0;1;0)
Chứa trục Oz chứa e ur3 = (0;0;1)
Trang 4a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
c) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: x y z 1
a b + + = c
Bài tập:
1 Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n r (1; 1;5) − làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là a r (1; 2; 1), (2; 1;3) − b r −
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1) b) (α) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3)
3 Trong không gian cho A(−1;2;1), OBuuur r= +j kr, OC iuuur r= +4kr
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4 Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
5 Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6 Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB
7 Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ.
9 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ
10 ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2;
-1) Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là n r = ( ; ; ); ' A B C n ur = ( A B C '; '; ' )
' '
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD
≠
' '
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD
=
3 (P) cắt (P’) ⇔ ≠ n kn r ur ' ⇔ ( A B C ; ; ) ( ≠ A B C '; '; ' )
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0 ⇔ ⊥ ⇔ n r n r ' hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT n r = ( ; ; ) A B C
1 Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận n r = ( ; ; ) A B C là VTPT
2 Nếu ( ) ( ) P ⊥ P ' thì (P’) chứa hoặc chứa n r = ( ; ; ) A B C
Bài tập:
1 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (β): x−3z+1=0.
b) (α) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (β): x−3y + 2z - 1=0.
c) (α) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (β): 2x + y - 2z+4=0
d) (α) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (β): 4x + y - z+1=0.
Trang 52 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−y+3z+1=0.
b) (α) qua hai điểm A ( − 1;0;3 , ) ( B 5; 2;3 ) và vuông góc với mặt phẳng (β):2 x y z + − = 0
c) (α) qua hai điểm A ( 1;0;1 , ) ( B 1;2; 4 ) và vuông góc với mặt phẳng (β):x z− + =3 0
d) (α) qua hai điểm A ( 2; 1; 2 , − ) ( B 1; 2;3 − ) và vuông góc với mặt phẳng (β):3 x + 2 y − = 6 0
3 Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4 (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0 Viết mp(Q) qua M và
song song với (P)
5 (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2) : 3x + 2y − z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2)
6 Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M0(x0;y0;z0) và một vectơ pháp tuyến n= A;B;Cr ( ) ≠0urcủa mặt phẳng (α):
(α): A x- x +B y- y +C z-z = 0( 0) ( 0) ( 0) (1) Hay: Ax+By+Cz+D=0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến: n=MN MPr uuur uuur∧
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P) Thay các kết quả vào (1)
Loại 3: (α) đi qua A(xA;yA;zA) và song song với mặt phẳng (β):Ax+By+Cz+D=0
* (α) có dạng Ax+By+Cz+m=0, ( α )
uur uur
β
n =n .
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm m, m=- Ax +By +Cz( ( A A A) ) .
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):Ax+By+Cz+D=0,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có n =MN nuurα uuur uur∧ β .
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N) Thay các kết quả vào (1)
MỘT SỐ PP TÌM PT MP 1mp(P) đi qua 3điểm M;N;P PP: ( ) ,
P
∈
r uuuur uuur 2)mp(P)đi qua 2 điểm A;B và song song trụcox PP:
3)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song oy PP:
4)mp(P) đi qua 2điểm A;B song song oz PP:
5)mp(P)đi qua 2 điểm A;B song song d PP:
6)mp(P) đi qua 2 điểm A;B và vuông góc mp(Q) PP :
7)mp(P) đi qua 2điểm A;B và song song đường thẳng CD pp:
8)mp(P) đi qua điểm A song song mp(Q) PP:
9)mp(P) đi qua A và vuông góc với d PP: ( )
∈
=
r uur
Trang 610)mp(P) đi qua A song song oy và vuông góc mp(Q) PP:
11)mp(P) đi qua A song song d1 và d2 (chéo nhau) PP:
12)mp(P) đi qua A vuông góc mp(Q)và vuông góc (R) PP:
13)mp(P) đi qua A và chứa d (M thuộc d ) PP:
( ) ,
∈
r uuuur uur
14)mp(P) chứa d và vuông góc (Q) ( M ∈ d ) PP:
( ) ,
∈
=
uur uur uur
15)mp(P) chứa d v d1 à 2cắt nhau tại M PP:
16)mp(P) chứa 2 đường thẳng d songsongd1 2(biết M∈ d v1 àN ∈ d2) PP:
*17)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q); (R ) và đi qua A PP:
*18)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q) ; (R ) và vuông góc (G) PP:
III Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
( , ( )) Ax By Cz D
d M P
A B C
=
+ +
Bài tập:
Loại 1 : Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0:
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia
1 Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0 3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q)
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (α): 2x+y−2z+2=0 bằng 2
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Trang 77.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD
8 ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương trình:
2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P)
9 (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2 + (y -2)2+ (z -2)2 = 36 và mặt phẳng (P):
x +2y + 2z + 18 = 0 Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P)
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11 (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và
D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách
từ D đến (P)
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0 (P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích tứ diện
ABCD
13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0; 0),
C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này
b) Tìm tọa độ điểm B’ Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan: AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước
Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt
cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm
D và tiếp xúc mp (ABC)
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là
gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α)
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0;
0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm toạ độ điểm A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu d I P ( , ( ) ) > Rthì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu d I P ( , ( ) ) = R thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc c) Nếu d I P ( , ( ) ) < R thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính r = R 2 − d 2 ( I P , ( ) )
Trang 819 Cho mặt cầu (S): (x−3) (2+ +y 2) (2+ −z 1)2=100 và mặt phẳng ( ) α 2x – 2y – z + 9 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn (C) Hãy tính bán kính của đường trịn (C)
20 Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2−6x+4y−2z+5=0 và mặt phẳng ( ) α x + 2y + 2z + 11 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α khơng cắt mặt cầu (S)
21 Cho mặt cầu (S): x2 + y 2 + z 2−4x+6y+6z+17= 0 và mặt phẳng ( ) α x – 2y +2z + 1 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( ) α cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn (C) Hãy tính bán kính của đường trịn (C)
22 Cho tứ diện ABCD cĩ A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
23 (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x +4y +2z -3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường trịn cĩ bán kính bằng 3
24.Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) cĩ phương trình: 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S):
( x − 1 ) ( 2 + + y 1 ) ( 2 + − z 1 ) 2 = 9 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Nhắc lại cơng thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d I P ( , ( ) ) = R
25 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt cĩ phương trình
x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong khơng gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x 2 + y 2 + z 2 –3x – 6y – 2z + 7 =0 b) 21 1 0
2
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.
Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
Định ngĩa : Vecto cĩ giá nằm trên đường thẳng hoặc song song với đường thẳng gọi là veto chỉ phương
(VTCP) của đường thẳng đĩ
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ cĩ giá song song hoặc trùng với đường thẳng đĩ B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +
PTCT: x x0 y y0 z z0
2.
Chú ý.
Để viết phương trình đường thẳng ta phải VTCP và điểm đi qua
a)
Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đĩ đt d cĩ VTCP: ' ; ;
B C C A A B
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x 0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d cĩ VTCP là uuur AB
c) Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng(P) thì d cĩ VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ thì d và ∆ cĩ cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuơng gĩc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuơng gĩc
2.CÁC DẠNG TOÁN
Trang 9Dạng 1: Đường thẳng (d) đi qua A,B
= AB a
Vtcp
hayB quaA
d
d
) (
)
(
Dạng 2: Cách viết pt đường thẳng (d) qua A và song song ( ∆ ).
B1: Tìm u∆
uur B2: Vì d// ∆ nên u uur uurd = u∆ .Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp α
B1: Tìm VTPT của ( α ) là n uurα .
B2: Vì d ⊥ ( ) α nên u uur uurd = nα .Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 4: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
B1: Tìm u uur uurd1, ud2
B2:Vì d vuông góc với d1 và d2 nên d có
VTCP u uurd = u uur uurd1, ud2
Sử dụng công thức (*) hoặc (**) để viết pt của (d).
Dạng 5: Hình chiếu của điểm M
1 H là hình chiếu của M trên mp : α
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp( α ) :( như dạng 3)
Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt : Ptr d ( )
Ptr ( )
α
2.H là hình chiếu của M ( M x y z trên đường thẳng d ( ; ; )1 1 1 :
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
.
B1
:Tìm VTCP của d.
B2 : Lấy H x ( 0+ at y , 0+ bt z ; 0+ ct ) ∈ d ; Tính MH uuuur
B3 : H là hình chiếu của M lên d ⇔ MH uuuur ⊥ u uurd ⇔ MH u uuuuruur d = 0 .Giải pt tìm t thay vào H ta được hình chiếu H
Dạng 6 : Điểm đối xứng
a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
• Lập pt đt (d) đi qua điểm M và vuông góc mp(P).
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P)
• A/ đối xứng với A qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM/ nên :
/
/
/
2 2 2
M
M
M
b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) :
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P)
• A/ đối xứng với A qua (d) ⇔ H là trung điểm của MM/ nên :
/
/
/
2 2 2
M
M
M
Trang 10
BÀI TẬP:
1 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7) b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu cĩ) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuơng gĩc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuơng gĩc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu cĩ) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4 1 3
=
∆ = −
= +
b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
3 2
1 5
y
= −
∆ =
= − +
4 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0 b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuơng gĩc
:
x y + z −
' :
x − y z +
−
6 (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng d qua M và vuơng gĩc với (P) Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7. (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1 =
0 Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với mp(P)
8 (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0 Viết phương trình tham
số của d đi qua T và vuơng gĩc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9 (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y 3 z 3
− = + = −
−
và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2
10.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuơng gốc của M=(1;-1;2) trên mặt phẳng
1 2 1 2
t
α α
− + + = + − − =
= +
= − −
( ) : 2 α x y − + 2 z + = 11 0
11.Cho điểm M ( 2;1;0) và mặt phẳng ( ) : α x + 3 y z − − 27 0 = Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua ( ) α
12.Tìm tọa độ A’ đối xứng với A(1;-2;-5) qua đường thẳng d cĩ phương trình
1 2 1 2
t
= +
= − −
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
= +
= +
= +