Bài giảng cơ lưu chất full

g cũng thay đổi theo chiều cao z, z càng lớn, g càng giảm do lực hút của trái đất lên vật giảm p = −Suất đàn hồi K: ¾Hầu hết các loại chất lỏng rất khó nén nên được xem như là lưu chất k

I GIỚI THIỆU MÔN HỌC CƠ LƯU CHẤTĐối tượng nghiên cứu: chất lỏngchất khí

Phạm vi nghiên cứu : các qui luật của lưu chất ở trạng thái tĩnh và động

Mục tiêu nghiên cứu : Nhằm phục vụ trong nhiều lĩnh vực :

¾Thiết kế các phương tiện vận chuyển : xe hơi, tàu thủy, máy bay, hỏa tiễn

¾Xây dựng: như cấp, thoát nước, công trình thủy lợi (cống, đê, hồ chứa, nhà máy

thủy điện ), tính toán thiết kế cầu, nhà cao tầng…

¾Thiết kế các thiết bị thủy lực : máy bơm, tua bin, quạt gió, máy nén

¾Khí tượng thủy văn : dự báo bão, lũ lụt ,

¾Y khoa: mô phỏng tuần hoàn máu trong cơ thể, tính toán thiết kế các máy trợ tim

nhân tạo

¾Trong cuộc sống hằng ngày, cũng cần rất nhiều kiến thức cơ bản về CLC Ví dụ:

Lực hút giữa hai doàn tàu đang chạy song song nhau, nồi áp suất,…

Phân biệt lưu chất :

¾Lực liên kết giữa các phân tử nhỏ → Có hình dạng phụ thuộc vào vật chứa

¾Không chịu tác dụng của lực cắt, kéo → Lưu chất là môi trường liên tục

¾Dưới tác dụng của lực kéo → Lưu chất chảy (không giữ được trạng thái

tĩnh ban đầu)

II CÁC TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA LƯU CHẤT

¾Khối lượng riêng:

2.1 Khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng, thể tích riêng:

)m/kg(V

Δ

MΔlim

0 V

ρ

δ=

) m / N ( 10 81 , 9

n =

3 kk

3 n

m / kg 228 , 1 ρ

m / kg 1000 ρ

F*

FnFs

n

F*

F

n F s

F

F* n

F* s

Sơ đồ lực hút Trái đất, lực ly tâm và trọng lực

Sự thay đổi g theo vĩ độ và độ cao:

F*:Lực hút trái đất (F*s,F*n)

g cũng thay đổi theo chiều cao z, z

càng lớn, g càng giảm do lực hút

của trái đất lên vật giảm

p = −Suất đàn hồi K:

¾Hầu hết các loại chất lỏng rất khó nén nên được xem như là lưu chất không nén

¾Một dòng khí chuyển động với vận tốc nhỏ thì sự thay đổi khối lượng riêng không

đáng kể nên vẫn được xem là lưu chất không nén

¾Khi dòng khí chuyển động với vận tốc lớn hơn 0,3 lần vận tốc âm thanh (khoảng

100 m/s) thi mới xem là lưu chất nén được

2 Đối với chất khí, xem như là khí lý tưởng: pV = RT Hay: p = ρ RT

¾Trong trường hợp khí nén đẳng

Lưu ý: Trong các công thức trên, áp suất p là áp suất tuyệt đối

Ví dụ 1: Nồi áp lực gồm phần trụ tròn có đường kính d=1000mm, dài l=2m; đáy và

nắp có dạng bán cầu Nồi chứa đầy nước với áp suất p0. Xác định thể tích

nước cần nén thêm vào nồi để tăng áp suất trong nồi từ p0=0 đến

p1=1000at Biết hệ số nén của nước là βp=4,112.10-5 cm2/kgf=4,19.10-10

m2/N Xem như bình không giản nở khi nén

V1; p1là thể tích và áp suất nước ở trạng thái sau;

Như vậy sau khi nén thêm nước vào, thể tích nước V1trong bình chính làthể tích bình:

3 2

3

2

d2

dπ3

V.pΔ.βVΔp

Δ

)VΔV/(

VΔp

Δ

V/VΔβ

p

1 p

1 0

Thế số vào ta được : ΔV =V1-V0 = -89.778lít

Vậy cần nén thêm vào bình 89.778 lít nước

Ví dụ

2: Dầu mỏ được nén trong xi lanh bằng thép thành dày tiết diện đều như hình

vẽ Xem như thép không đàn hồi Cột dầu trước khi nén là h=1,5 m, và

mực thuỷ ngân nằm ở vị trí A-A Sau khi nén, áp suất tăng từ 0 at lên 50 at,

thì mực thuỷ ngân dịch chuyển lên một khoảng Δh=4 mm Tính suất đàn

hồi của dầu mỏ

Giải:

Hg

Dầu mỏ Thép

nước

N/m10-5.44Eh

.pΔ

hΔp

Δ

h.S/hΔ.Sp

Δ

V/VΔ

2 p

N/m09

1.84Eβ

1

⇒

Giải cách 1:

Ví dụ 3: Một bình thép có thể tích tăng 1% khi áp suất tăng thêm 70 MPa Ở

điều kiện chuẩn, bình chứa đầy nước 450 kg ( ρnước=1000kg/m3) Biết

Kn=2,06.109 Pa Tìm khối lượng nước cần thêm vào (ở điều kiện

chuẩn) để tăng áp suất trong bình lên 70 MPa

0,45 m3 cũng chính là thể tích nước ban đầu trong bình ở đ.k chuẩn

Gọi V0 ; p0 là thể tích và áp suất nước ở trạng chuẩn; để sau khi nén trở thành

V1; p1(là thể tích và áp suất nước ở trạng thái sau);

Ta co thể lý luận được V1chính là thể tích bình lúc sau:

p Δ K

V K V

V V

p Δ V

Tương ứng với khối lượng: Δ M = 20.48744kg

Ví dụ 3: Một bình thép có thể tích tăng 1% khi áp suất tăng thêm 70 MPa Ở điềukiện chuẩn, bình chứa đầy nước 450 kg ( ρ

nước=1000kg/m3) Biết

Kn=2,06.109 Pa Tìm khối lượng nước cần thêm vào (ở điều kiện chuẩn)

để tăng áp suất trong bình lên 70 MPa

Giải cách 2:

Gọi V0; p0là thể tích và áp suất nước trong bình ở trạng ban đầu; V0=VB

V1; p1là thể tích và áp suất nước nước trong bình ở trạng thái sau;

Như vậy sau khi nén trong bình còn rỗng một thể tích là:

Ta có:

Như vậy, thể tích nước cần nén thêm vào bình (tính với điều kiện chuẩn p 0 ) : là:

3

0 0.020487m V

B B

1 0

0 1

0

K

pΔ.VVΔK

pΔ.VV

ΔVΔ

pΔV

Tương ứng với khối lượng: ΔM = 20.48744kg

ΔV1là thể tích phần rỗng mà ta cần bổ sung nước thêm vào bình ứng với áp suất p1

Để tính thể tích nước ΔV0tương ứng đó với điều kiện áp suất p0, ta cần tính lại một

0

1 0

0 1

pΔK

VΔ.KVΔVΔVΔ

pΔV

Ví dụ 4: Nén khí vào bình thép có thể tích 0,3 m 3 dưới áp suất 100at Sau thời gian bị

rò, áp suất trong bình còn lại 90 at Bỏ qua sự biến dạng của bình Tìm thể tích

khí bị rò ứng với đ kiện áp suất khí trời pa=1at Xem quá trình nén là đẳng

nhiệt

Giải

Gọi V0; p0là thể tích và áp suất khí trong bình ở trạng chuẩn ban đầu;

V1; p1là thể tích và áp suất cũng của khối khí đó ở trạng thái sau;

Ta có:

3 a

1

p

V.pΔV

3 1

0 1 1

1 0

p

pVVp

Vp

(V1-V0)=ΔV là thể tích khí bị mất đi (vì bình chỉ còn chứa lại V0), ứng với áp suất 90 at :

Để tính thể tích khí ΔVatương ứng đó với điều kiện áp suất pa, ta cần tính lại một

lần nữa :

Một bình gas ban đầu có khối lượng M = 15 kg có áp suất dư po = 500 kPa Sau

một thời gian sử dụng , ấp suất dư trong bình còn lại p = 300 Kpa Biết vỏ bình

gas có khối lượng 5 kg và không bị thay đđổi khi áp suất thay đổi Tính khối

lượng gas đã sử dụng trong thời gian trên

Ví dụ 4a: (xem Baitáp+2.xls, SV tự giải)

3.343922426.656078

105

300500

15

MgazsudungMgaz1

Mgaz0Mvo

p1, Kpap0,Kpa

M

2.3 Tính nhớt:

Hệ số nhớt phụ thuộc vào nhiệt độ Chất lỏng: μ giảm khi nhiệt độ tăng

Chất khí: μ tăng khi nhiệt độ tăngHệ số nhớt phụ thuộc vào áp suất: Chất lỏng: μ tăng khi p tăng

Chất khí : μkhông đổi khi p thay đổi

Tính chất của hệ số nhớt μ :

τ

du/dn

l.c Bin gha m

l.c lý tưởng

l.c Ne

wt on l.c Phi

N ew

ton l.c Ph

i N ew ton

Chất lỏng Newton và phi Newton

Hầu hết các loại lưu chất thông thường như nước,

xăng, dầu … đều thỏa mãn công thức Newton, tuy

nhiên có một số chất lỏng (hắc ín, nhựa nóng chảy,

dầu thô ) không tuân theo công thức Newton được

gọi là chất lỏng phi Newton, hoặc đối với chất

lỏng thông thường khi chảy ở trạng thái chảy rối

cũng không tuân theo công thức Newton

n

uA

Chất lỏng Newton chảy tầng⇒Định luật ms nhớt Newton: τ ="−"μdndu

Aτ

Fms =Như vậy lực ma sát nhớt sẽ tính bằng

5: Đường ống có đường kính d, dài l, dẫn dầu với hệ số nhờn μ, khối lượng

riêng ρ Dầu chuyển động theo quy luật sau:

u=ady-ay2 (a>0; 0<=y<=d/2) Tìm lực ma sát của dầu lên thành ống

Giải

) 2

Chọn trục toạ độ như hình vẽ, xét lớp chất lỏng bất kỳ có toạ

độ y (lớp chất lỏng này có diện tích là diện tích mặt trụ có

đường kính (d-2y)) Ta có:

Tại thành ống: y=0; suy ra:

y

x d

2

) ).(

A

Ví dụ

6: Tấm phẳng diện tích A trượt ngang trên mặt phẳng trên lớp dầu bôi trơncó bề dày t, hệ số nhớt μ với vận tốc V Tìm phân bố vận tốc lớp dầu theo

phương pháp tuyến n của chuyển động

Giải

Phân tích lực tác dụng lên lớp chất lỏng bất lỳ

có toạ độ n như hình vẽ, ta có:

F u dn A

F du dn

du A F

μ μ

μ

Tại n=0 ta có u=0, suy ra C=0

Tại n=t ta có u=V, suy ra:

t

VA F

t A

V

u =

Nhận xét thấy ứng suất tiếp τ=const trên phương n

Ví dụ

7: Tấm phẳng diện tích A=64 cm

2 ; nặng Gp=7,85N trượt trên mặt phẳngnghiêng góc α=120 trên lớp dầu bôi trơn có bề dày t=0,5mm, với vận tốc

đều V=0,05 m/s Tìm hệ số nhớt μ của lớp dầu và công suất để kéo tấm

phẳng ngược dốc với vận tốc nêu trên Cho γdau=8820 N/m3

Giải

α γ

Tại n=0 ta có u=0, suy ra C=0

Tại n=t ta có u=V, suy ra:

Bây giờ tấm phẳng chuyển động nhờ lực trọng

trường G chiếu trên phương chuyển động:

dn n

t A

=

⇒

μ

α γ α μ

γ μ

sin sin

C

n n

t A

=

⇒

2

sinsin

2

μ

αγαμ

γμ

2

sin sin

2

t t

t A

G

μ

α γ α μ

Để kéo tấm phẳng ngược lên với vận tốc V=0,05

m/s, ta cần tác động vào tấm phẳng một lực

ngược lên theo phương chuyển động có giá trị

bằng Fk:

α γ

α μ

dn

du A F

G

2

sin sin

2

sin sin

t A G

t

VA F

A

t A t A

At G

α γ

α

+ +

=

⇒ +

−

−

=

⇒

Thế công thức tính μ vào ta được: Fk = 2 G sin α + γ A sin α t

Như vậy ta cần một công suất là :

V F V

N = k = 2 sin α + γ sin α = 0 164

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét lực tác dụng lên một lớp vi phân chất lỏng

cân bằng, ở toạ độ y :

Ví dụ

8: Một loại nhớt có ρ, μ chảy đều trên mặt phẳng nghiêng 1 góc α so với mặt

phẳng ngang Tìm bề dày t của lớp nhớt

Giải

αγ

du=⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞

μ

αγ

μ

α

γμ

αγ

Ví dụ

9: Một trục có đường kính d=10cm được giữ thẳng đứng bởi một ổ trục dàil=25cm Khe hở đồng trục có bề dày không đổi bằng h=0,1mm được bôi

trơn bằng dầu nhớt có μ=125cpoise Trục quay với tốc độ n=240 vòng/ph

Tìm ngẫu lực cản do ổ trục gây ra và công suất tiêu hao

Tại y=0

thì u=0:

)(

)(

1

y h r l

h r l y

h r A

M ms =τ ( + − )=2π ( + − )2μ

μ=125cpoise=1,25 poise=1,25dyne.s/cm2=0,125 Ns/m2

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét một lớp chất lỏng ở toạ độ y tính từ thành

rắn, ta tìm moment lực ma sát của lớp chất lỏng này:

d l

h

u

y r

0

h y

Khi trục quay ổn định thì M ms =M trục =const

C y h r l

M

−+

=

⇒

)(

=

⇒+

−

=

h r y h r l

M u h r l

M

2)

1r

1lπμ2

M30

nrπ

30

.

2

3 2

rl h

r r

A

M τtru tru μ ω π π μ

6.156166Nm )

( 15

2 2

Suy ra moment ma sát:

Ví dụ 10: Khe hở bề dày t giữa hai đĩa tròn đường kính d nằm ngang cùng trục

được bôi trơn bằng dầu nhớt có μ,ρ Một đĩa cố định, một đĩa quay với tốc độ n vòng/ph Tìm ngẫu lực cản và công suất

d

y

r 0

y

dr

n

rdr dy

du dA

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ Xét một vi phân lớp chất lỏng hình vành khuyên

dày dr ở toạ độ y tính từ đĩa cố định ở dưới, lực ma sát tác dụng lên vi phân này là:

Đây là chuyển động tương đối giữa hai tấm phẳng ngang, nên ta chấp nhận được

quy luật tuyến tính của vận tốc theo phương y:

dr r t

rdr t

M M

N

.2880030

4 2

ππ

t dr r t M

r r

dF

.2

t

π μ

=

Là áp suất hơi trên bề mặt chất lỏng kín Khi tốc độ bốc hơi của các

phân tử lưu chất bằng tốc độ ngưng tụ thì trên bề mặt lưu chất đạt tới

áp suất hơi bão hoà.

¾Áp suất hơi bão hoà tăng theo nhiệt độ

Ví dụ ở 20 0C, pbão hoà của nước là 0,025 at=0,25 m nước

ở 1000C, pbão hoacủa nước là 1at=10mnước

¾Khi áp suất chất lỏng ≤ Áp suất hơi bão hoà ⇒ chất lỏng bắt đầu sôi (hoá khí).

Ví dụ có thể cho nước sôi ở 200C nếu hạ áp suất xuống còn 0,025at

¾Trong một số điều kiện cụ thể, hiện tượng Cavitation (khí thực) xảy ra khi áp suất

chất lỏng nhỏ hơn P bão hoà

2.4 Áp suất hơi:

2.5 Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn:

F khí

F nước

Xét lực hút giữa các phân tử chất lỏng và khí

trên bề mặt thoáng:

Fkhí< Fnước ⇒còn lực thừa hướng vào chất lỏng,;

⇒làm bề mặt chất lỏng như màng mỏng bị căng ;

⇒Sức căng bề mặt σ: lực căng trên 1 đơn vị chiều dàinằm trong bề mặt

cong vuông góc với đường bất kỳ trên bề mặt

→ hạt nước có dạng cầu

III CÁC LỰC TÁC DỤNG TRONG LƯU CHẤT

Ví dụ về lực khối:

¾Lực khối là lực trọng trường G : F x =0, F y =0, F z =-g

¾Lực khối là G+F qt (theo phương x): F x =-a, F y =0, F z =-g

¾Lực khối là G+F ly tâm : F x =ω 2 x, F y =ω 2 y, F z =-g

σ G =

I HAI TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THUỶ TĨNH

1 p ⊥ A và hướng vào A (suy ra từ định nghĩa).

2 Giá trị p tại một điểm không phụ thuộc vào hướng đặt của bề mặt tác dụng.

Xem phần tử lưu chất như một tứ diện vuông góc đặt tại gốc toạ độ như hình vẽ:

Các lực lên phần tử lưu chất:

Lực mặt : pxδyδz; pyδxδz; pzδyδx; pnδyδs

Lực khối: ½Fδxδyδzρ

Tổng các lực trên phương x phải bằng không:

pxδyδz - pnδyδs(δz/δs) + ½Fxδxδyδzρ = 0

Chia tất cả cho δyδz :

px- pn+ ½Fxρδx = 0 ⇒ p x = p n khi δx → 0.

Chứng minh tương tự cho các phương khác

p x =p y = p z = p n

Suy ra:

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN

W A

p n

Xét lưu chất ở trạng thái cân bằng có thể tích W giới hạn bởi diện tích A

Ta có tổng các lực tác dụng lên lưu chất =0:

Lực khối + lực mặt = 0:

0dApdwF

A w

)p(F0

x

)np(

F

0z

np(y

)np(x

)np(F

0dw)n.p(divdw

F0

dApdw

F

x p

p p p xx

x x

xz z xy

y xx

x x

W

x w

x

Gauss d b A

x w

x

z y

∂

∂

−ρ

∂

∂+

F0

dApdw

F

W w

A w

=

−ρ

0 1

0 1

0 1

= ρ

− +

+

⇒ +

−

dp )

dz F dy F dx F ( dz

z

p F

dy y

p F

dx x

p F

z y

x z

y x

pz

pzconst

pz:

hay

const

pgzdp

1gdz

B B

A A

const

γ+

=γ+

⇔

=γ+

=ρ+

⎯

⎯ →

⎯ρ

¾Chất khí nằm trong trường trọng lực, nén được:

dpp

RTgdz

Nếu biết được hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao, ví dụ: T=T0– az; a>0,

T0là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (thông thường là mực nước biển yên lặng):

aR

g)azT(Cp

)Cln(

)azTln(

aR

gpln)azT(R

dzg

p

dpdpp

)azT(Rgdz

0

Gọi p0 là áp suất ứng với z=0:

aR g aR

g

T

pCCT

p

0

0 0

aR g

T

azT

287

* 0065 0 81 9 aR

g

0

1 0 0 1 aR g

0

0 0

p

5 , 216

11000

* 0065 0 5 , 216 76 0 T

az T p p T

az T p p

T0là nhiệt độ ứng với độ cao z=0 (mặt biển yên lặng):

Ta tìm hàm phân bố nhiệt độ theo độ cao: T=T0– az; với a=0, 0065

Cao độ ứng với nhiệt độ T1=216,5 độ K là z1= 11000m

Suy ra: 216,5=288 – 0,0065z1

Như vậy từ z0=0 đến z1=11000m, áp suất biến thiên theo phương trình khí tĩnh:

3 3

1

1

5.216

*287

10

*81.9

*6.13

*1695.0RT

pρ

RTρ

Từ:

Từ z1=11000 m đến z2=14500m, nhiệt độ không đổi nên:

z g

RT g

RT 1

1

g

RTz

p

dpg

RTdz

dpp

RT

gdz

1 1

1

1

RT

g ) z z ( 1 g

RT 1

z

e p

p p

e

Như vậy tại độ cao z2=14500m ta tính được:

97.52mmHg mHg

9752 0 0

e

* 17 0 e

p

81 9 ) 14500 11000 ( RT

g ) z z ( 1

2 1

p

ρ p

vàø:

IV MẶT ĐẲNG ÁP, P TUYỆT ĐỐI , P DƯ , P CHÂN KHÔNG

¾Mặt đẳng áp của chất lỏng nằm trong trường trọng lực là mặt phẳng nằm

¾p trong phương trình thuỷ tĩnh là áp suất tuyệt đối pt đ hoặc áp suất dư

¾Các điểm nào (?) cĩ áp suất bằng nhau;

trong đoạn ống 2-5-6 chứa chất khí hay

B

td B

p = +γ

h dư A

A

pa

B

h ck A

A

B

ck A ck ck B du A

1 Các áp kế:

du du B du A

Tại một vị trí nào đó trong lưu chất nếp áp

suất tăng lên một đại lượng Δp thì đại lượng

này sẽ được truyền đi trong toàn miền lưu chất

→ ứng dụng trong máy nén thủy lực.

4 Biểu đồ phân bố áp suất chiều sâu:

p a

h

p a +γh

p a h

p dư =γh

p a h

p dư /γ=h

p ck h

AB 1 BC 2 C AB 1 B A a

hh

p

hh

ph

ppp

p

γ

−γ

+

=

γ

−γ

+

=γ

z ) (

.Ah

A

ah ) (

h

p = γ1− γ2 + γ1+ γ2Δ

⇒

VI LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH PHẲNG

¾Giá trị lực

A p A h A y sin ydA sin

dA sin y hdA dA

p

F

du C C

C A

= α γ

= α

γ

=

α γ

= γ

Ix

x

c

' y ' x C

¾Điểm đặt lực

xx A

A y I A y

I F

I sin y

C

2 C C C

xx xx

D

+

=

= α γ

=

Ay

Iyy

C

C C

A p

C

du =

A y

A y x I A y

I F

I sin x

C

C C ' y ' x C

xy xy D

+

=

= α γ

=

I c : M q tính của A so với trục //0x và qua C

I x’y’ : M q tính của A so với trọng tâm C

¾Lực tác dụng lên thành phẳng chữ nhật đáy nằm ngang:

C

+ γ

=

b ) AB ( 2

h h Ap

C

+ γ

A z

2 2 2

z y

F

x cx Ax

x A

x

A A

x x

A p hdA

hdA

) ox , n cos(

pdA dF

F

= γ

= γ

¾Thành phần lực theo phương x

¾Thành phần lực theo phương z

WhdA

)oz,ncos(

hdAdF

F

A

z

A A

z z

γ

=γ

W: thể tích vật áp lực: là thể tích của vật thẳng đứng giới hạn bởi mặt cong A

và hình chiếu thẳng đứng của A lên mặt thoáng tự do (A z )

VII LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG ĐƠN GIẢN

W 2 (phần gạch chéo)

Archimede 287-212 BC

ổn định: MD>CD

→M cao hơn C

D

Ar M C G

D C G

Ar M

không ổn định: MD<CD

→M thấp hơn C

M: Tâm định khuynh

Iyy: Moment quán tính của diện tích mặt nổi A so với trục quay yy

W: thể tích nước bị vật chiếm chỗ

VIII SỰ CÂN BẰNG CỦA MỘT VẬT TRONG LƯU CHẤT

¾Vật chìm lơ lửng

C D Ar

G

D C G

Suy ra: (z+0.4)=(pA– pa )/ γnb

=(1.64 γHg- 0.76 γHg)/ γnb

=0.88(γHg/ γnb)

=0.88.133000/11200=10.45mSuy ra z = 10.05 m

pa

z

40cm 40cm

Ví dụ 3: Bình đáy vuông cạnh a=2m Đổ vào bình hai chất

lỏng khác nhau, δù1 =0,8; δ 2=1,1 V1=6m3; V2=5m3

Tìm pB

γ1 = δù1γn =0.8*9.81*10 ^3 N/m 3

γ2 = δù2γn =1.1*9.81*10 ^3 N/m 3

Giải:

Gọi h 2 là bề dày của lớp chất lỏng 2: h 2 =(5/4)m.

Gọi h 1 là bề dày của lớp chất lỏng 1: h 1 =(6/4)m.

h2

h1A

pa

Suy ra: p du

B = 0+ γ1*(1.5) + γ 2 *(0.25)=9.81*10 3 (0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nước

Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong

qủa cầu bằng khơng

Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn khơng tách bán cầu ra được Vậy phải cần 1 lực

bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu khơng

Ví dụ 4: Van phẳng AB hình chữ nhật cao 1,5m, rộng 2m, quay quanh trục A nằm ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van Tính lực F

(xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

4.294m 2

* 5 1

* 25 4 12

5 1

* 2 25

4 A y

I y

y

3

C

C C

KN125.0775

2

*5,1

*)2/5,15(

*10

*81.9AhAp

C

du C

du n

=

−

=γ

A

B C

5 1 5 3 5

5 3

* 2 5 3

AB h h

h 2 h DB

A B

+

=

Để tính lực F giữ van yên, ta cân bằng moment: F n (AD)=F(AB)

Suy ra: F=F n (AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN

p a

Ví dụ 5: Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm ngang

như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

h C = 3+2/3 = 3.666m

m 31 2 3

4 2 3

2 ) sin(60

.3

*234.436

31.2

*667.2234.4Ay36

h

*byAy

Iyy

C C

=

AB chính là chiều cao của tam giác đều,

Cạnh đáy AE của tam giác: AE=2*AB/tg(60 0 )=2.667m

E A

Ví dụ 6: Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm ngang

như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

h C = 1+ 3+2/3 = 4.666m

m 31 2 3

4 2 3

2 ) sin(60

3

* 389 5 36

31 2

* 667 2 389 5 A y 36

h

* b y A y

I y y

C C

=

AB chính là chiều cao của tam giác đều,

Cạnh đáy AE của tam giác: AE=2*AB/tg(60 0 )=2.667m

F n (AD)=F(2)

Suy ra: F=F n (AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 = 58.133 KN

Ghi chú: OA=4/sin(60 0 )

h C

A D

y O F

F n

B

Ví dụ 7: Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm

ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm

đặc lực D Tính lực F ngang (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

* 694 2 36

31 2

* 667 2 694 2 A y 36

h

* b y A y

I y y

C C

− +

−

= +

= +

=

=

F n (AD)=F(2)

Suy ra: F=F n (AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 = 23.25 KN

Ghi chú: OA=3/sin(60 0 )

AB =2.31 m

AE= 2.667m

A=3.079 m2

ĐS: h D =1,53m

Ví dụ 8:

Van tam giác đều ABM cạnh AB=1m đặt giữ nước như hình vẽ (cạnh AB thẳng đứng) Aùp

suất trên bình chứa là áp suất khí trời Biết hA=1m Gọi D là vị trí điểm đặt lực F của nước

tác dụng lên van ứng với độ sâu là hD Xác định hD

Hdẫn: Ta để ý thấy cơng thức tính moment quán tính

đối với tam giác như trong phụ lục:

3(*)36

c

bh

I =

so với trục song song với một trong 3 cạnh (đáy b)

Trong khi đĩ, từ lý thuyết đã chứng minh, để xác định vị trí D ta áp dụng cơng thức:

Với Ic là moment q tính của diện tích A so với trục song song Ox và qua trọng tâm C của A

Như vây, muốn ứng dụng cơng thức (*) trong tính tốn yDcần phải cĩ một trong 3 cạnh của

tam giác phải song song với Ox (cụ thể là nằm ngang)

Trong hình vẽ của bài tốn, khơng cĩ cạnh nào của tam giác nằm ngang, nên trước tiên cần

chia tam giác ra hai sao cho một cạnh của mỗi tam giác nhỏ nằm ngang Sau đĩ tính lực và

vị trí điểm đặt lực riêng đối với từng tam giác nhỏ Cuối cùng tìm vị trí điểm đặt lực tổng

nước vào ống đường kính D = 0,3 m

được thiết kế bằng một cửa chắn chữ

L Cửa chắn cĩ bề rộng (thẳng gĩc với

trang giấy) b = 1,2m và quay quanh O

Biết áp suất trong ống là áp suất khí

trời và trọng lượng cửa khơng đáng kể.

a) Giải thích cơ chế hoạt động của cửa

khi độ sâu h thay đổi

b) Xác định độ sâu h tối thiểu để cửa

bắt đầu quay

Trục quay

Cửa cĩ bề rộng b Cửa chắn nước vuơng gĩc

Nước

D

L=1m

ống lấy nước

HD: Chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương

Phân tích các lực tác dụng lên cửa gồm hai lực:

Fxtác động lên phần van chữ nhật thẳng đứng, moment so với O sẽ là: Fxh/3

Fztác động lên phần diện tích trịn đường kính D, moment so với O sẽ là: FzL

Để van cĩ thể lấy nước vào ống thì tổng moment: Fxh/3-FzL = γh 3 b/6 - γ LhπD 2 /4 >0

Suy ra: h(γh 2 b/6 - γ LπD 2 /4) > 0 suy ra: γh 2 b/6 > γ LπD 2 /4 suy ra: h 2 > (LπD 2 /4) / (b/6 )

3

0,562

Ví dụ 10: Một cửa van cung có dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài L=3m

quay quanh trục nằm ngang qua O Van có khối lượng 6000 kg vàtrọng tâm đặt tại G như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D Xác định moment cần mở van

Giải:

KN 10 33 3

* 5 1

* 2

5 1

* 10

* 81 9 A h A

p

cx x

cx

KN 52 3

* 4

5 1

* 10

* 81 9 L 4

R W

F

2 3

2

KN65.165233.10

FF

1.33

52F

.0

*6000

*81.96.0

*

G

Ví dụ 11: Một hình trụ bán kính R=2m; dài L=2m Ở vị trí cân bằng như hình

vẽ Xác định trọng lượng của phao và phản lực tại A

Giải:

KN39.24

2

*2

*2

2

*10

*81.9

AhA

pF

R

3

x cx x

cx x A

) R R

4

3 (

* L

* 9.81 W

W G

-0 F

F

G

2 2

1 2

2 z 1

z

=

+ π

= γ γ

=

⇒

= +

Ví dụ 12:

Giải:

KN44.145

2

*12.2

*2

12.2

*10

*81.9

AhA

p

F

3

cx x

cx x

2

*2

5.14

5.1

*

*10

*81.9

L2

R4

RW

F

2 2

3

2 2 z

=γ

=

KN45.9160

.12145.44F

15 44

6 12 F

F ) (

2.12m5

.1

*2R

2

Một cửa van cung có dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài L=2m quay quanh trục nằm ngang qua O như hình vẽ Tính áp lực nước tácdụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Một ống tròn bán kính r = 1 m chứa nước đến nửa ống như hình vẽ

Trên mặt thóang khí có áp suất dư po= 0,5 m nước Biết nước ở trạng

thái tĩnh Tính tổng áùp lực của nước tác dụng lên ¼ mặt cong (BC) trên

1m dài của ống

Ví dụ 13

r

p o

B C

Giải:

N 9810 1

* ) 5 , 0 5 , 0 (

* 9810 1

r 2

r 5 , 0 ( γ A p

N 12605.85 1.285

* 9810 1

).

r 5 , 0 4

r π ( γ W γ F

2

N 15973.2 F

F

=

Một vật hình trụ đồng chất có tiết diện hình vuông, cạnh là a =

1m, chiều cao là H = 0,8m Khi cho vào nước, mực nước ngập

đến độ cao là h=0,6m Lực tác dụng lên một mặt bên của vật và

tỷ trọng của vật là:

h H

a a

Hình câu 14

Ví duï 15:

ĐS: F=1765,8 N; δ=0,75

ĐS:

Ví duï 16: Một quả bóng có trọng lượng 0,02 N, phía dưới có buột một vật nhỏ (bỏ qua thể tích)

trọng lượng 0,3N Cho γkhong khi=1,23 kg/m 3 Nếu bơm bóng đầy bằng khí có γ khi =0,8

kg/m 3 thì đường kính D quả bóng phải bằng bao nhiêu để bóng có thể bay lên được

Hdẫn:

0.52522 0.14

0.076 0.8

1.23 0.3

0.02

D

D 3

Wb gamak

gamakk Gv

Gb

b Vat b

Vật đồng chất nằm cân bằng lơ lửng trong môi trường dầu-nước như hình vẽ.

Biết tỷ trọng của dầu là 0,8 Phần thể tích vật chìm trong nước bằng phần thể tích

vật trong dầu Tỷ trọng của vật ?

Hướng dẫn: Trọng lượng của vật cân bằng với với lực

đẩy Archimede do dầu tác dụng lên nửa cầu trên và

nước lên nửa cầu dưới

δN = 1 , ống chìm đến vạch A, và khi bỏ vào trong dầu có tỉ trọng δD =

0,9 ống chìm đến vạch B Tìm khỏang cách đọan AB

Giải:

Ví dụ 18

) ω L W ( γ W γ gM

G L

; γ

G W

d n

AB n

17.24mm 1000

* 1 9 0

1 9810

* 10

* 290

045 0

* 81 9

Ví dụ 19: Bình trụ tròn chứa chất lỏng trong đó có thả phao hình cầu Bình này lại

được nhúng nổi trên mặt thoáng bể chứa cùng loại chất lỏng Biết :

Trọng lượng của bình là G1; Trọng lượng của chất lỏng chứa trong bình

là G2;

TyÛ số các chiều sâu (như hình vẽ) k=z1/z2; Tìm trọng lượng của phao

Theo định luật Ar.; toàn bộ hệ chịu tác dụng của

lực đẩy Ar, hướng lên, bằng trọng lượng của khối

chất lỏng bị vật chiếm chỗ

Trong khi đó lực theo phương thẳng đứng tác

dụng lên toàn bộ hệ bao gồm G+G1+G2

Vậy: G + G 1 + G 2 = Ar = z 1 A γ

với A là tiết diện ngang của bình

Xét riêng hệ gồm chất lỏng trong bình và phao,

ta có trọng lượng của phao cũng bằng trọïng

lượng của khối chất lỏng bị phao chiếm trong

bình : G = z 2 A γ -G 2 ⇒ Aγ = (G+G 2 )/z 2

G 1 G

z 2 z 1

Ar

G 2

G

Một bình bằng sắt hình nón cụt không đáy ( δ=7.8) được úp như hình

vẽ Đáy lớn R=1m, đáy nhỏ r=0,5m, cao H=4m, dày b=3mm Tính giới

hạn mực nước x trong bình để bình khỏi bị nhấc lên

Giải:

3 / ) Rr r R ( H π

b R ( ) b r ) b R ((

H π

* 8 7

* 1000 )

V V

( δ γ V

δ

γ

0 96 441 x

7 392 x

36

⇔

3 2

2 n

2 2

n

x

2 x 2 2

n n

z

x 36 16 x 7 392 x

H

) R ( x H

) R ( R 3 3

x π

γ

)) r R ( H

x R ( R )) r R ( H

x R ( R 2 3

x π

γ

) Rr r R ( 3

x π x π R γ W

xRrrR

rRH

VIII TĨNH HỌC TƯƠNG ĐỐI

1.Nước trong xe chạy tới trước nhanh dần đều:

•Phân bố áp suất:

0 dp ρ

1 ) dz F dy F

A B B

B A

ρ

=+

ρ

•P.tr Mặt đẳng áp:

Cxg

az

Cgzax)

gdzadx

C

pgzaxdp

)gdzadx

ρ++

⇒

=ρ

z

r

gω

A B

Ở đây: Fx=ω2x; Fy=ω2y; Fz=-g

Suy ra:

Cg

rωγ

pz0dpρ

1)gdzydyωxdxω

(

2 2 2

Đối với hai điểm A,B thẳng đứng:

* a AB

A B

2 B

2 B B

2 A

2 A

g

r ω γ

p z g

r ω γ

p

•P.tr Mặt đẳng áp:

C g

r z

C g

r z )

gdz ydy xdx

2 2

0

2 2 2

2 2

2

•Phân bố áp suất:

Nguyên lý lắng ly tâm :

IX ỨNG DỤNG TĨNH TƯƠNG ĐỐI

¾Hạt dầu quay cùng trong nước sẽ nổi lên mặt thoáng và ở tâm bình trụ.

¾Hạt cát quay cùng trong nước sẽ chìm xuống và ở mép dáy bình trụ.

Ví dụ 21:

Một thùng hình trụ hở cao H = 1,2 m chứa nước ở độ sâu ho=1m và di chuyển

ngang theo phương x với gia tốc a = 4m/s2 Biết bình có đường kính D = 2m

Tính áp lực của nước tác dụng lên đáy bình trong lúc di chuyển với gia tốc trên

Giải

xg

a

Chọn gốc toạ độ là giao điểm của trục bình và mặt thoáng , p.tr mặt thoáng:

Tại x=-D/2: z−D / 2 = 9.4811=0.407m>H−h0 =1.2−1=0.2m

Vậy khi bình chuyển động nước tràn ra ngoài Sau khi

tràn ra xong, mặt thoáng nước phải vừa chạm mép sau

bình Giả sử lúc ấy bình dừng lại, thì mực nước trong

bình còn lại là h1 Ta có:

m793.0407.02.12

hΔHhm407.0181.9

4z

2

h

Δ

1 2

h 1

D

x HΔh

Δh/

Quả bóng không trọng lượng được buộc trong thùng kín đầy nước Thùng chuyển

động tới nhanh dần đều với gia tốc a Quả bóng sẽ chuyển động như thế nào? Và ở

vị trí nào thì đạt được giá trị cân bằng Lực căng T tác động lên sợi dây

Ví duï 22:

Do thùng chuyển động nhanh dần đều, áp suất tác dụng lên các điểm ở nửa mặt trước quả

bóng nhỏ hơn nửa mặt sau (xem lại lý thuyết thùng nước chuyển động tới nhanh dần đều

trong tĩnh tương đối) Như vậy bóng sẽ chuyển động về phía trước

Khi sợi dây đạt tới vị trí nghiêng một góc α với phương ngang như hình vẽ thì bong bóng

sẽ cân bằng với góc α được tính như sau: cotg α = g/a

Giá trị lực căng T sẽ tìm được trên cơ sở cân bằng lực trên phương của lực căng T

Ví duï 23: Một bình bên trái đựng nước, bên phải kín khí với áp suất dư p

0 Trên vách ngăn giữa hai bên có một van hình vuông nằm ngang, có thể quay quanh trục nằm ngang qua A,

cạnh b=0,2m Khoảng cách thẳng đứng từ trọng tâm van tới bề mặt nước của ngăn bên

trái là hC=1m Toàn bộ bình được đặt trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều

với gia tốc a=2m/s 2 Nếu áp suất bên trên mặt nước của ngăn trái là pck=2 m nước thì

để van ở trạng thái cân bằng như hình vẽ, áp suất p0phải là bao nhiêu?

393.92 9848

0.04 2

-1962 -0.2

1 0.2

0.103997 11029

8667 1.1

Ví dụ 24: Xe chở nước dài 3m, cao 2m Nước trong bình lúc xe đứng yên là 1,5m Xe đang chuyển động

đều trên mặt phẳng ngang đến một dốc nghiêng lên 30 0 a) Hỏi nếu xe vẩn chuyển động đều thì nước có tràn ra không?

b) Để nước không tràn ra thì xe phải chạy chậm dần đều với gia tốc a=bao nhiêu?

c) Tính áp lực tác dụng lên thành trước và sau xe khi xe chuyển động chậm dần đều như

câu b Cho bề rộng xe b=1m

Hdẫn:

Nhận xét thấy khi xe đứng yên trên dốc thì nước đã tràn ra rồi (tính ra Δh=1,5*tg(30 0 )=0,866m>0,5m)

Nên để nước không tràn ra ngoài thì xe phải chạy chậm dần đều với giai tốc a Ta chọn hệ trục xoz

như hình vẽ và phân tích lực khối của phần tử lưu chất, và chiếu lên phương x, z(xem hình vẽ).

Để nước không tràn ra ngoài nên mặt thoáng phải đi qua B(-1,5; 0,5) và A(1,5; -0,5), thế vào ptr mặt đ

áp Suy ra gia tốc a=2,07m/s 2

Ptr phân bố áp suất:

Ptr mặt đẳng áp:

Từ ptr phân bố áp suất nhận xét thấy trên thành xe sau hoặc trước, áp suất của một điểm bất kỳ được

tính theo áp suất của điểm trên mặt thoáng như sau:

Khi mực chất lỏng giữa bình hạ thầp xuống 200mm (so với lúc tĩnh) thì bình

quay với vận tốc bao nhiêu? Nếu quay bình với n=800v.ph mà không muốn

đáy bị cạn thì chiều cao tối thiểu của bình phải bằng bao nhiêu?

Giải

ω2 r

H

0.2 m

0.2 m O

z

r

gω

A B

Phương trình mặt thoáng:

g 2

R ω H g

r ω z

2 2 2

) 05 0 (

81 9

* 2

* 4 0 ω 81 9

* 2

) 05 0 ( ω

9

* 2

) 05 0 ( ) 76 83 ( H

2 2

=

=Vây chiều cao tối thiểu của bình phải là 0.896 m

Ví dụ 26: Một hệ thống gồm 3 ống nghiệm thẳng đứng bằng và thông nhau quay

quanh Oz qua ống giữa như hình vẽ Vận tốc quay n=116 vòng/ph Bỏqua độ nghiêng mặt nước trong ống Tìm pC, pO, pBtrong hai trườnghợp nút kín và không nút C, C’,

Giải:

Nếu nút kín C,C’ thì khi quay, nước không di chuyển,

nhưng áp suất tại C và C’ sẽ tăng lên Phương trình mặt

đẳng áp – áp suất pC (chọn gốc toạ độ tại đáy parabol):

m 0.30 81

9

* 2

2 0

* 12.15 h

g 2

r ω

z

2 2

2 2

* 9810 h

γ p

' C

du

N/m6875)

3.04.0(

*γp

3924N/m0.40

*98104

.0

*γp

2 du

B

2 du

D

=+

Nếu không nút C,C’ thì khi quay, nước tại A sẽ hạ thấp

xuống h, và nước tại C và C’ sẽ dâng lên h/2 Phương

trình mặt đẳng áp – áp suất khí trời (chọn gốc toạ độ tại

0.2m h

m 0.30 81

9

* 2

2 0

* 12.15 h

2

3 g

2 2

1 0 4 0 (

* γ p

1967.5N/m 0.2

* 9810 )

2 0 4 0 (

* γ p

2 du

B

2 du

D

= +

H

Một hệ thống gồm bình trụ hở bán kính R chứa nước cao so với đáy là H Cho

bình quay đều quanh trục thẳng đứng qua tâm vừa đủ để nước khơng tràn ra Sau

đĩ đặt tồn bộ hệ thống quay này trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều

với gia tốc a Cho biết : R=0,4m; H=1,2m; a=2m/s 2

a) Gọi A là điểm ở đáy parabol mặt thống nước So với khi chưa đặt hệ thống vào

thang máy, thì vị trí của A như thế nào?

b) Lực tác dụng lên đáy bình khi bình trong thang máy?

Ví dụ 27:

Khi thùng chuyển động lên nhanh dần đều, nếu chọn gốc tọa độ

tại đáy của mặt thống thì phương trình mặt thống trở thành:

Vậy paraboloit mặt thống trở nên cạn hơn, nên nước sẽ khơng

tràn ra ngồi, điểm A sẽ di chuyển lên trên

2 2

r z

Câu 14: Một bình hình trụ bán kính R=0,6m, chiều cao là H=0,7m; đựng nước đến độ cao h =

0,4m Bình quay trịn với vận tốc N (vịng / phút) được treo trong thang máy chuyển động lên

chậm dần đều với gia tốc khơng đổi là a = 1,5 m/s2 Xác định N tối đa để nước khơng tràn ra

Giải

b

g 2

r ω

* h

2 2

A h*

Mặt đẳng áp - p a

C

Lực tác dụng lên vi phân dAxbằng:

bdyg

2

)4

ay(ω2

bγdA

p

dF

2 2 2 x

8

a24

ag2

ω4

abbγ2

2

a4

a3

2/ag2

ω2

a2

bbγ2

dy)4

ay(g2

ω2

bbγ2F

3 3 2

2 3 2

2 / a

0

2 2 2

=

g 6

a ω 2

b ab γ F

2 2

Ví duï 30:

Một hệ thống ống nghiệm gồm ba ống thông nhau, cách đều nhau với khoảng cách L, chứa

nước độ cao H Hệ thống quay đều quanh trục thẳng đứng quanh ống một với tốc độ n

(vòng/phút) (xem hình vẽ) Giả sử khi quay nước không tràn ra ngoài Cho H=1m, L=0,3m;

n=80 vòng/phút.Cột nước trong ba ống khi đã quay?

h3=1.75 m h2=0.79 m;

DS: h1= 0.46 m;

HDẫn:

Phương trình mặt thoáng (qua 3 điểm trên mặt thoáng ba ống ) có dạng:

Chọn gốc tọa độ tại O (đáy của ống nghiệm 1) như hình vẽ,

thế tọa độ của 3 điểm trên mặt thoáng ba ống , lần lượt ta có:

Với h1, h2, h3lần lượt là cột nước trong ba ống

Lưu ý rằng: h1+ h2+ h3=3H

Vậy:

2 2 2

56

Mặt chõm cầu có chiều cao là h tương ứng với bán kính cầu là R, tiếp xúc với nước như hình

vẽ Mặt đáy của chõm cầu nghiêng với phương ngang α và có đường kính d Tìm lực thẳng

đứng của nước tác dụng lên mặt chõm cầu.

HDẫn:

Nhận xét thấy nếu tiến hành phân tích và vẽ vật áp lực để tìm lực Fz tác dụng lên mặt chõm cầu,

ta sẽ rất khó tính thể tích vật áp lực Trong trường hợp này, nếu xem toàn bộ các mặt bao quanh

chõm cầu đều tiếp xúc với nước, ta có: ∑FJJG JJG JJJG JJGz = F z1+ F z2 = Ar

Trong đó Fz1 và Fz2 lần lượt là áp lực theo phương z tác động lên mặt chõm cầu (hướng

lên) và mặt đáy tròn (hướng xuống) Chiếu trên phương z (hướng lên) ta có: Fz1-Fz2 = Ar

Như vậy, để tìm Fz1 ta chỉ cần tìm lực đẩy Ar tác dụng lên chõm cầu và áp lực nước

(tưởng tượng là có) tác động lên đáy chõm cầu Fz2(nhớ là chiếu trên phương z!)

Để tìm lực đẩy Ar, ta cần thể tích chõm cầu:

Với h là chiều cao chõm cầu, R là bán kính cầu tương ứng.

Để tìm lực Fz2 ta cần biết áp suất tại trọng tâm C của mặt đáy

chõm cầu (đường kính d) Trong hình vẽ:

A

hA

C

hC

1 Phương pháp Lagrange (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883)

¾Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển

động chỉ phụ thuộc vào thời gian , VD: u = at2+b

)t,z,y,x(xy

)t,z,y,x(xx)

0 0 0

0 0 0 0

dyudt

dxudt

rdu

z y

xG

2

2 y

2

2 x

2 2

dt

z d a dt

y d a dt

x d a

dt

r d dt

u a

G G

)t,z,y,x(uu

)t,z,y,x(uu)t,z,y,

y y

x xG

dzu

dyu

dx

=

=

(L Euler, nhà toán học người Thụy Sĩ, 1707-1783)

2 Phương pháp Euler

Ví dụ 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y);

) y 2 xy

(

dy x

2 y x

dx

2

Trong trường hợp này ta không thể chuyển các số hạng có cùng biến x, y về

cùng một phía, nên không thể lấy tích phân hai vế được, ta sẽ giải bài toán này

sau trong chương thế lưu

Ví dụ 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0

xy 6

dy x

3

dx

2 = −Thiết lập phương trình đường dòng:

y

dy x

dx 2 y

dy x

xdx 2

Chuyển các số hạng có biến x về vế trái, biến y về vế phải:

C y x C ln ) y ln(

) x ln(

2

y

dy x

dx 2

2 =

⇔+

Tích phân hai vế:

Vậy phương trình đường dòng có dạng: x 2 y = C

Thiết lập phương trình đường dòng:

II CÁC KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG

udA dA

u Q

uot c / Am Abatky

Bán kính thủy lực R=A/P

Nhận xét: Lưu lượng chính là thể tích

của biểu đồ phân bố vận tốc :

¾Thí nghiệm Reynolds

III PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG:

1 Theo ma sát nhớt: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát

Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát

-Re=VD/ν=V4R/ν:tầng(Re<2300) -rối (Re>2300)

2 Theo thời gian: ổn định-không ổn định

3 Theo không gian: đều-không đều

4 Theo tính nén được: số Mach M=u/a

a: vận tốc truyền âm; u:vận tốc phần tử lưu chất

dưới âm thanh (M<1) - ngang âm thanh (M=1)

trên âm thanh (M>1) - siêu âm thanh (M>>1)

t.ph.cục

-z

u u y

u u x

u u t

u dt

du a

z

u u y

u u x

u u t

u dt

du a

z

u u y

u u x

u u t

u dt

du a

z z

z y

z x z

z z

y z

y y

y x y y

y

x z

x y

x x x x

x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

u d a

) t , z , y , x ( u

G G

IV GIA TỐC PHẦN TỬ LƯU CHẤT :

•Theo Euler:

•Theo Lagrange: