De thi chon HSG 12

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2.. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp A’AMN... Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp A’AMN.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG

Năm học: 2016 – 2017

-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN THI: TOÁN, LỚP 12

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (2.0 điểm)

1) Cho P x( )=x3−4x−1 và Q x( )=x3+x2 −2x−2 Chứng minh rằng ( ) 0P x = có 3

nghiệm x x x và tính 1, ,2 3 Q x Q x Q x ( ) ( ) ( )1 2 3

2) Cho hàm số 3 2

y x= − mx + mx− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt A(1; 0), B và C sao cho k + k =BC 51 2 trong đó k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B và C với đồ thị hàm số (1)

Câu II (2.0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2

3

( ) 1

x y x

x y







2) Giải phương trình: x2 +2 sinx x−2cosx+ =2 0

Câu III (2.0 điểm)

1)Tính tổng: C20131 +22C20132 +32C20133 + + 20132C20132013

0 2; n 1 4 n 15 n 60

tổng quát của dãy.

Câu IV (3.0 điểm)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền

2

AB= Mặt phẳng (A A’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , AA’ = 3.Góc · 'A ABlà góc nhọn và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600

1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

2 Gọi O là tâm của mặt bên BCB’C’ mặt phẳng (P) đi qua AO cắt các cạnh A’B, A’C lần lượt tại M, N Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp A’AMN

Câu V (1.0 điểm)

Cho các số thực x y, thỏa mãn x y+ − =1 2x− +4 y+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +(x y)2− 9− − +x y x y1 ×

+

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được sử dụng máy tính cầm tay.

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2016 - 2017

TỔ TOÁN - THPT HỒNG QUANG

(Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)

I.1

1)Cho P x( )=x3−4x−1 và Q x( )=x3+x2 −2x−2 Chứng minh rằng ( ) 0P x = có 3

nghiệm x x x và tính 1, ,2 3 Q x Q x Q x ( ) ( ) ( )1 2 3 (1,0đ)

Lập bảng biến thiên của P x ( ) hoặc sử dụng định lí về tính liên tục của hàm số chứng minh

( ) 0

Lúc đó P x ( ) ( = − x x x x1)( − 2)( x x − 3)

2 ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 2)

( ) ( ) ( )

Q x Q x Q x

(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)(x 2)(x 2)

( 1 x )( 1 x )( 1 x ) P( 1) ( 2) (P P 2)

0,25

2.( 1 2 2)( 1 2 2) 14

I.2

2) Cho hàm số 3 2

y x= − mx + mx− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A(1; 0), B và C sao cho k + k =BC 51 2 trong đó k1, k2 lần lượt là hệ số góc

của tiếp tuyến tại điểm B và C với đồ thị hàm số (1) (1,0đ)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là

3 2 2 2 1 0 ( 1) 2 (1 2 ) 1 0

(1 2 ) 1 0(*)

x

=



Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔pt(*) phải có 2 nghiệm phận biệt khác 1.

⇔ x2+ −(1 2 )m x+ =1 0 phải có 2 nghiệm phận biệt khác 1 3 hoÆc -1

Giả sử: B(xB ; 0); C(xC ; 0) Vì xB, xC là 2 nghiệm phân biệt của pt(*) nên theo định lí viet ta

có: xB + xC = 2m -1 và xBxC =1

Tính được : BC == 4m2−4m−3; k1 + k2 = 4m2−4m−3

0,25

Theo giải thiết ta có: k1 + k2 = BC 5

2

4 4 3 5(4 4 3) 4 4 3 5 v× 4 4 3 0

1 (tho¶ m· n)

2 0

2 (tho¶ m· n)

m

m m

m

= −



Vậy với 1

2

= −



 =



m

m thoả mãn yêu cầu bài toán

0,25

II.1

1) Giải hệ phương trình:

2 2

2

3

( ) 1

x y x

x y







2 2

2

3

( ) 1

3

x y

x y







Đặt u x y 1 (u 2);v x y

x y

+

ta được hệ

2 2

3

u v

u v



Giải hệ ta được u = 2, v=1 ( do u ≥2)

0,25

Từ đó ta có hệ

1

1

x y

x y







0,25

II.2

Giải phương trình: x2 +2 sinx x−2cosx+ =2 0 (1,0đ)

- Phương trình ⇔ x2+2 sinx x+sin2x c+ os2x−2cosx+ =1 0 0,25

cos 1 0

x

x x



− =

III.1

1) Tính tổng:

2013 2 2013 3 2013 2013 2013

( )

( )

( )

2013 2013 2013 2013

2013.2012 1 2 3.2 4.3 2013.2012 (2)

0,25

( )2012 1 2 3 2013

2013.2012 1 1+ =2C +3.2C +4.3C + + 2013.2012C 0,25

2013.2014.2 C 2 C 3 C 2013 C

III.2 Cho dãy số { }a n có 2

0 2; n 1 4 n 15 n 60

quát của dãy.

(1,0đ)

1 4 15 60 1 8 1 60 0 1

gt⇒ a + − a = a − ⇔a + − a a + + +a =

Thay n bởi n+1 với mọi n ta được

( )

2 8 1 2 1 60 0 2

a + − a + a + +a + + =

(1) và (2) suy ra a a n, n+2 là nghiệm của PT 2 2

8 n n 60 0

t − a t a+ + + + =

0,25

Vi et t1+ =t2 8a n+1⇒ +a n a n+2 =8a n+1 ⇔a n+2−8a n+1+a n =0

Xét PT x2− + =8x 1 0 có hai nghiệm x1 = −4 15,x2 = +4 15 0,25

Đặt u n =α(4− 15) (n+β 4+ 15)n với u0 =a0 =2;u1 = =a1 8 0,25

(4 15) (4 215) 8 11

+ =





(4 15) (n 4 15)n

n

u

u + = u + u −

IV.1

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền AB= 2

.Mặt phẳng (A A’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , AA’ = 3.Góc · 'A ABlà góc nhọn

và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600

Gọi K., M là hình chiếu của A’ trên AB và AC

có : (AA B' ) (⊥ ABC)⇒A K' ⊥(ABC) Ta có A’M⊥AC và KM ⊥AC ·A MK' =600

0,25

=

'

A K x ta có AK = A A' 2−A K' 2 = 3−x2 , MK = sin· = 3− 2. 2

2

3

x

MK A K vậy ta có pt 3− 2. 2= ⇔ = 3

x

Λ

' ' '

ABC A B C ABC

IV.2 2 Gọi O là tâm của mặt bên BCB’C’ mặt phẳng (P) đi qua AO cắt các cạnh A’B, A’C lần

lượt tại M, N Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp A’AMN (2,0đ)

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ => O là trung điểm IJ Gọi G là giao

' 3

A G

A J =

0,25

Gọi V là thể tích của lăng trụ, V1 là thể tích chóp A’AMN ta có

1

A ABJ A A A ABC

V

0,25

Đặt ' , ' ( , (0;1])

'.

'.

'.

A AMG

A AMG

A ABJ

V

0,25

A AGN A AMG A AGN

1

1 '.

A ABC

0,25

9

xy≥ xy ⇔xy≥ ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=2

3

0,25

1

3 27

4

V

3

0,25

27 45

V Cho các số thực x y, thỏa mãn x y+ − =1 2x− +4 y+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: S= +(x y)2− 9− − +x y x y1 ×

+

(1,0đ)

Điều kiện: x≥2;y≥ −1;0< + ≤x y 9;

Ta có

2

Đặt t= +x y t, ∈[1; 4], ta có 2 1

9

t

0,25

1 1

2 9 2

t t t

0,25 Suy ra

2 max

min

1 33 2 5

2 4

(1) 2 2 2 2; 1

−

0,25

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa

(Đáp án gồm 5 trang)