Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.. Tìm tỉ số AD AK... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm gồm 04 trang 1... Gọi D, E lần lượt là các BD BC; AE AC uuu
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1.(5,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2− + =5x m 0 (1) với x là ẩn số
a) Giải phương trình (1) khi m = 6
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 + x2 x1 = 6
Câu 2 (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
4 2
1 (2 1) 1
Câu 3.(5,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa mãn tan α = 2 Tính giá trị biểu thức 3 3
4sin cos sin 2cos
−
=
+
b) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các BD 2BC; AE 1AC
uuur uuur uuur uuur
Điểm K trên đoạn
thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD
AK
Câu 4 ( 5,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x: − + = 3y 1 0, 16;1
3
a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm
Câu 5 (2,0 điểm) Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1
Hết
Họ tên thí sinh : Số báo danh :
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
1 Phương trình x2 − 5x m+ = 0 5,0
Khi m= 6 PT (1) có dạng: x2 − 5x+ = 6 0 0,5
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2 và x2 = 3 0,5
Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x x1 , 2 khi ∆ ≥ 0 hay m ≤ 25
4
0,5
Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1+ =x2 5; x x1 2 =m
Hai nghiệm x x1 , 2dương khi 1 2
1 2
x x 0
x x 0
ì + >
ïï
íï >
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m ≤ 25
4 (*) 0,5
Ta có: ( )2
x + x = x + x + 2 x x = + 5 2 m Suy ra x1 + x2 = 5 2 m +
Ta có x x1 2 +x2 x1 = ⇔6 x x1 2( x1+ x2) =6
Hay m 5 2 m+ = ⇔6 2m m 5m 36 0+ − = (1)
0,5
Đặt t= m 0≥ , khi đó (1) thành:
⇔ 2t3 + 5t2 - 36 = 0
⇔ (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
0,5
⇔ t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*))
Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm
0,5
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5
Trang 31 2 2 1
x x + x x = 6
2 Giải hệ phương trình:
4 2
1 (2 1) 1
Hệ
2 2
1
⇔
Đặt
2
b xy
= −
=
Hệ trở thành: 2
1 1
a ab b
+ + =
+ =
Hệ
(*)
Từ đó tìm ra ( ; )a b ∈{(0; 1); (1; 0); ( 2; 3) − − }
0,5
Với ( ; ) (0; 1)a b = ta có hệ 2 0 1
1
x y xy
− =
⇔ = =
=
Với ( ; ) (1; 0)a b = ta có hệ 2 1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
0
x y xy
=
0,5
Với ( ; ) ( 2; 3)a b = − − ta có hệ
2
2
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y ∈{(1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) − − − } .
0,5
a) Cho góc α thỏa mãn tan α = 2 Tính giá trị biểu thức 4 sin3 cos3
−
=
4sin cos sin cos 4sin cos
sin 2cos sin 2cos
−
4sin3 sin2 cos3 4sin cos3 2 cos3
sin 2cos
=
4 tan3 tan32 4 tan 1
tan 2
α
=
4.8 4 4.2 1 7
− + −
+
0,5
Trang 4b) b) Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các
BD BC; AE AC
uuur uuur uuur uuur
Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD
AK
2,5
(1)
AE= AC⇒BE= BC+ BA
uuur uuur uuur uuur uuur
0,5
Giả sử uuurAK =x ADuuur⇒uuurBK =xBDuuur+ −(1 x BA)uuur (1) 0,5
Mà BD 2BC
3
=
uuur uuur
nên AK x.AD BK 2xBD (1 x)BA
3
uuur uuur uuur uuur uuur
0,5
Do BC; BA uuur uuur
không cùng phương nên m 2x 0 &1 x 3m 0
Từ đó suy ra x 1; m 8
= = Vậy AK 1AD AD 3
uuur uuur
0,5
4.
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
: 3 1 0
CD x− + =y , 16;1
3
5,0
a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giaocủa CD và BE. 2,5
Ta có BA EA 2 E
BC = EC = ⇒ là chân đường phân giác trongA 0,5
D
E I
A
B
C D
E K
Trang 5Do BD = BC ⇒BE⊥CD⇒BE: 3x y+ − 17 0 = 0,5
I =BE CD∩ ⇒ tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ 3 1 0
3 17 0
x y
x y
− + =
+ − =
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm 2,5
3
a
Do · 450
2 2
BC a CBE= ⇒IB IC= = = (1)
Tam giác EIC vuông tại I 2 2 2
3 2
a
IE EC IC IE
⇒ = − ⇒ = (2)
0,5
Từ (1) và (2) ⇒uurIB= − 3IEuur⇒B(4;5) 0,5
Gọi C c(3 − 1; )c từ 2 1
3
c
c
=
Với c= ⇒ 1 C(2;1), (12;1) (KTM)A
Với c= ⇒ 3 C(8;3), (0; 3) (TM)A −
Vậy A(0; 3), (4;5), (8;3) − B C
0,5
5.
Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn a+b+c= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1
2,0
Áp dụng BĐT AM- GM ta có
3 a 2 b 2 c 2 3
ca bc
1= a + b + c 3 abc abc
3
≥ ⇒ ≤ ⇒ab+bc+ca ≥33 abc 3 abc ≥9abc
0,5
ca bc ab
9 c
b a
1
+ +
+ + +
≥
+ + +
+ + +
≥
⇒
ca bc ab
1 c
b a
1
ca bc ab
7 ca
bc ab
1
+ +
+ + +
0,5
Trang 6( ) 30
3
c b a
7 ca
2 bc 2 ab 2 c
b
a
9
2 2
2
+ +
+ + + + +
+
≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại
3
1 c b