Đề cương học kỳ 2 toán 9

CĂN BẬC HAI LÝ THUYẾT I... Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:... Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học?. ĐỊNH NGHĨA Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 CẢ NĂM CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

BÀI 1 CĂN BẬC HAI

LÝ THUYẾT

I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI

1) * a2≥0, ∀ a∈R * a2>0 ⇔a≠0

2) a2=b2⇔[ a=b

a=−b hoặc a2= b2⇔| a|=|b|

Ví dụ 1 Tìm x, biết: 4x2=25

⇔x2=25

4 ⇔x

2

=(52)2=(−5

2)2⇔[

x=5

2

x =−52

3)

a2+ b2=0 ⇔ { a=0 b=0

Ví dụ 2 Tìm x, y biết: x2−2xy+2y2−2y+1=0

⇔( x− y )2+( y−1)2=0 ⇔{x− y=0

y−1=0⇔{x = y y=1⇔{x=1 y=1

4) a2> b2⇔| a|>|b|; ∀ a,b∈R

Đặc biệt:

* Nếu a, b cùng dương thì: a2>b2⇔a>b

* Nếu a, b cùng âm thì: a2>b2⇔a<b

Ví dụ 3 72>52⇔7>5 (do 7; 5 > 0)

( −7 )2> ( −5 )2⇔−7<−5 (do −7; −5<0 )

5) ∀ a,b,c∈R ; ta có:

( abc )2= a2b2c2 ; ( a b )2= a2

b2 (b≠0)

II CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

Ở lớp 7 ta đã biết:

* Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2=a

* Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là √ a và số âm ký hiệu là

− √ a

* Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √ 0=0

1) Định nghĩa

Với số dương a (a > 0), số √ a được gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

Ví dụ 4 CBHSH của 16 là √ 16=4 (vì 4≥0 và 42=16 )

CBHSH của 1,44 là √ 1,44=1,2 (vì 1,2≥0 và 1,22=1,44 )

CBHSH của

9

25 là √ 25 9 =

3

5 (vì

3

5≥0 và ( 3 5 )2= 9

25 )

2) Chú ý

a) Với a≥0 , ta có:

Nếu x= √ a thì x≥0 và x2

=a

Nếu x≥0 và x2=a thì x= √ a

x=√a ⇔{x2=x≥0( √a)2=a

Khi viết √ a ta phải có đồng thời a≥0 và √ a≥0

b) Ta có ( − √ a )2= ( √ a )2= a

Với a>0 thì x2= a⇔[ x= √ a

x=− √ a

Ví dụ 5

( − √ 5 )2= ( √ 5 )2=5; x2= 5⇔[ x= √ 5

x=− √ 5

c) Số âm không có căn bậc hai số học

d) Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số a≥0 gọi là phép khai phương

III SO SÁNH CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

* Với các số a, b không âm (a≥0, b≥0) ta có: a2> b2⇔ a>b ⇔ √ a> √ b

Ví dụ 6 3>2⇔ √ 3> √ 2

BÀI TẬP

Bài 1 Tìm căn bậc hai số học của các số: 16; 9

64; 0; 25;

36

49; 19; −2

Bài 2 Tính: √ 49; √ 0,01; √ 25 4 ; √ 1 9

16 ; ( √ 3 )

2

; √ (−9)(−36)

( − √ 7 )2; √ 0,81+ √ 16 9 ; √ 412−402; √ 582−422

Bài 3 Giải các phương trình sau:

d) 5x2+125=0 e) x2−4x+4=113

g) x2+2 √ 2 x+2=1 h) x2−2 √ 3 x+2=0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

c) 4x2+ 4x=27−10 √ 3 d) x2+ 2 √ 5 x=16−4 √ 5

e) x2+4 √ 3 x=1−4 √ 3 f) 4x2−12 √ 2 x−33+10 √ 2=0

g) 2x2−12x +9+4 √ 2=0 h) 3x2−30x +26+8 √ 3=0

Bài 5 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

a) 6 √ 5 và 5 √ 6 b) √ 2 3 và √ 3 √ 2 c) √ 8+3 và 6

d) 2 √ 5−5 và √ 5−3 e) √ 2−2 và √ 3−3 f) √ 3+ √ 5 và √ 5+1 √ 2

Bài 6 Không dùng máy tính; hãy so sánh các số thực sau:

a) √ 17+ √ 26 và 9 b) √ 48 và 13− √ 35 c) √ 31− √ 19 và 6− √ 17

d) 9− √ 58 và √ 80− √ 59 e) √ 13− √ 12 và √ 12− √ 11 f) √ 7− √ 21+4 √ 5 và

√ 5−1

g) √ 5+ √ 10+1 và √ 35 h)

15−2 √ 10

√ 4+ √ 4+ √ 4+ + √ 4

⏟

Bài 7 Các số sau đây số nào có căn bậc hai số học? (giải thích)

BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=|A|

LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA

Nếu dưới dấu căn là một biểu thức A có chứa biến và hằng; ta gọi √ A là căn thức bậc hai; A là biểu thức dưới dấu căn

Ví dụ 1 √ 3x+2; √ 4x2+ y ; √ 9−2 √ 3

II ĐIỀU KIỆN ĐỂ √ A CÓ NGHĨA

√ A xác định (hay có nghĩa) ⇔A≥0 (A không âm)

Ví dụ 2 Tìm điều kiện có nghĩa của:

+ 2x +2

Giải

a) (Điều kiện xác định) ĐKXĐ: −2x−8≥0⇔−2x≥8⇔ x≤−4

b) ĐKXĐ: −3(4−3x)≥0 ⇔ 4−3x≤0⇔−3x≤−4 ⇔ x≥3

4

c) Vì x2+2x+2= ( x2+2x +1 ) +1=(x +1)2+1≥1>0, ∀ x nên ĐKXĐ: ∀x∈R

* Chú ý

1) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:

a) A (x) là biểu thức nguyên ⇒ A (x) luôn có nghĩa

b)

A ( x)

B ( x) có nghĩa ⇔ B (x)≠0

c) √ A (x) có nghĩa ⇔ A ( x)≥0

d)

1

√ A ( x) có nghĩa ⇔ A ( x)>0

2) Với A >0 ; ta có:

X2= A2⇔|X|= A⇔[ X= A

X=− A

X2≤ A2⇔| X|≤ A ⇔− A≤X ≤A

X2≥ A2⇔|X|≥ A ⇔[ X≥ A

X≤− A

Ví dụ 3 Tìm điều kiện xác định của:

a)

E= 1

√x2−3 b) F=√5−x1 2

Giải

a) ĐKXĐ:

x2−3>0⇔ x2>3⇔ x2> ( √ 3 )2⇔[ x> √ 3

x<− √ 3

b) ĐKXĐ:

1

5−x2>0⇔ 5−x

2>0⇔ x2<5⇔ x2<( √5)2⇔−√5 < x<√5

III HẰNG ĐẲNG THỨC √ A2=|A|

√ A2=| A|= { − A A

khi A≥0 khi A <0

Ví dụ 4 Tính:

Giải

a) √ x6= √ ( x3)2=| x3|= { x3

− x3

khi x≥0 khi x <0

b) √ ( √ 5−2 )2=| √ 5−2|= √ 5−2 (vì √ 5−2= √ 5− √ 4>0 )

c) √ 4+2 √ 3= √ ( √ 3 )2+2 √ 3+12= √ ( √ 3+1 )2=| √ 3+1| (vì √ 3+1>0 )

BÀI TẬP

Bài 8 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:

1

√ 8−x x

g) √x−2+ 1

12

Bài 9 Với giá trị nào của x thì các căn thức sau có nghĩa:

a) √ ( 2x−3) (3x−2) b) √ 3x+4 x−2 c)

1

√x2−8x+15

1

√9x2−6x+1

g) √ x2−8x+18 h) √ − x2−2x−1 i) √ 5x2−4x−8

m) √ | x−2|−4 n) √ 2−|x−3| o) √ −| x+1|−3

Bài 10 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ ( 3− √ 5 )2 b) − √ ( 1− √ 5 )2 c) − √ ( √ 2− √ 5 )2

d) √ ( 3 √ 3−2 √ 7 )2 e) √ ( 3− √ 7 )2− √ ( 2 √ 7−6 )2 f) √ ( √ 2− √ 3 )2− √ ( 2 √ 3−3 √ 2 )2

Bài 11 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 7−4 √ 3+ √ 4−2 √ 3 b) √ 3−2 √ 2+ √ 6−4 √ 2 c) √ 9−4 √ 5− √ 14−6 √ 5

d) √ 32−10 √ 7− √ 43−12 √ 7 e) √ 13−4 √ 3− √ 16−8 √

Bài 12 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 5 √ 25x6 với x≥0 b) −5 √ (−4x )6 với x<0

c) 5 √ ( x−3 )2 với x≥3 d) −2 √ ( x+5 )2 với x<−5

e) 2 √ ( x−1)2−5x+5 với x<1 f) √ 25(x−2)2+3x−6 với x≥2

g) 9 √ ( x+1 )4+3 ( x+1 )2 h) 5 √ 4 ( x−4 )6−3 ( x−4 )3 với x<4

Bài 13 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 3x− √ 9x2−6x+1 b) √ −4x2+ 4x−1

c)

√x2−10x+25

x−5 d) √ (x−2)2+√x2−4x +4

x−2

e) √ (3x−2)2+√9x2−12x+4

3x−2 f) √ x4( x−1 )2 (với x<0 )

g) √ x2−2x+1

x−1

√ y−1 √ ( y−2 √ y+1 )2

( x−1)4

Bài 14 Thu gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) √ 9x2−12x+4−6x−1 với x=12

b) √ 4a4− 4a2+1− √ a4−6a2+9 với a= √ 2

c) x+ y+ √ x2−2xy+ y2 với x=1− √ 3; y=1− √ 5

d) x−2y− √ x2−4xy+4y2 với x= √ 5−1;y= √ 2−1

e) √ x2−8x +16− √ x2−4x +4 tại x=3 √ 2−1

f) √ x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1 tại x=2 √ 7+9

BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN – CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

LÝ THUYẾT

1) Nếu A≥0; B≥0 thì √ A B= √ A. √ B

2) Nếu A≥0; B >0 thì √ B A =

√ A

√ B

Ví dụ 1 Tính:

a) √ 121.16.0,25 b) √ 1 9

16

Giải

a) √ 121.16.0,25= √ 121. √ 16. √ 0,25=11.4.0,5=22

b) √ 1 9

16 = √ 25 16 =

√ 25

√ 16 =

5 4

Ví dụ 2 Phân tích thành tích:

Giải

a) √ 21+ √ 14= √ 7 √ 3+ √ 7 √ 2= √ 7 ( √ 3+ √ 2 )

b) √ a+b− √ a2− b2= √ a+b− √ ( a−b )( a+b ) = √ a+b− √ a−b. √ a+b= √ a+b ( 1− √ a−b )

Ví dụ 3 Tính: A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10

Giải

A= √ 38−12 √ 10− √ 22−4 √ 10

= √ ( 2 √ 5 )2− 2.2 √ 5.3 √ 2+ ( 3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5 )2−2.2 √ 5 √ 2+ ( √ 2 )2

¿ √ ( 2 √ 5−3 √ 2 )2− √ ( 2 √ 5− √ 2 )2=| 2 √ 5−3 √ 2|−|2 √ 5− √ 2|

= ( 2 √ 5−3 √ 2 ) − ( 2 √ 5− √ 2 ) (do 2 √ 5−3 √ 2>0⇔2 √ 5>3 √ 2⇔20>18 và 2 √ 5− √ 2>0 )

=−3 √ 2+ √ 2=−2 √ 2

BÀI TẬP

Bài 15 Phân tích thành nhân tử:

e) √ ax− √ by+ √ bx− √ ay (a,b,x,y≥0 ) f) 7 √ ab+7b− √ a− √ b ( a,b≥0 )

g) a √ b−b √ a+ √ a− √ b ( a,b≥0 ) h) √ x2−25y2− √ x−5y ( x≥5y≥0 )

i) ( √ a )3−3a+3 √ a−1 ( a>0 )

Bài 16 Tính (rút gọn):

a) 3 √ 7 ( 2 √ 7−3 )2 b) ( √ 2 3 − √ 3 2 )2

c) ( √ 3− √ 2 ) ( √ 6+2 ) d) √ 3 √ 2+2 √ 3 √ 3 √ 2−2 √ 3

e) ( 1− √ 2+ √ 3 ) ( 1+ √ 2− √ 3 ) f) ( 5+4 √ 2 ) ( 3+2 √ 1+ √ 2 )( 3−2 √ 1+ √ 2 )

g) √ 4+ √ 8 √ 2+ √ 2+ √ 2 √ 2− √ 2+ √ 2 h) √ 47+ √ 5 √ 7− √ 2+ √ 5 √ 7+ √ 2+ √ 5

i) √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2+ √ 2+ √ 2+ √ 3 √ 2− √ 2+ √ 2+ √ 3

j) √ 31+ √ 2 √ 6+ √ 5+ √ 2 √ 3+ √ 3+ √ 5+ √ 2 √ 3− √ 3+ √ 5+ √ 2

Bài 17 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

3 √ 7+7 √ 3

2 √ 5−4 √ 10

3 √ 10 c)

3− √ 7

3+ √ 7 −

3+ √ 7 3− √ 7 d) ( √ √ 2−5 2+5 −

√ 2−5

√ 2+5 ) : √ 2

23

e)

√ 2 ( √ 2− √ 7 )2

√ 3 ( 3− √ 11 )2

√ 6 ( 3− √ 11 )

g)

( 5 √ 2+2 √ 5 )( √ 3−3 √ 2 )

5 √ 7−4 √ 35+7 √ 5

√ 35 i)

6 √ 6−2 √ 12+3− √ 2

10 √ 18+5 √ 3−15 √ 27

√ 3 ( √ 6−4 )

Bài 18 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 13+6 √ 4+ √ 9−4 √ 2 b) ( √ 3−1 ) √ 2 √ 19+8 √ 3−4

c) √ 5+2 √ 6+ √ 14−4 √ 6 d) √ 5−2 √ 6+ √ 11−4 √ 6

e) √ 23+6 √ 10+ √ 47+6 √ 10 f) √ 21−6 √ 10+ √ 21+6 √ 10

g) √ 49−20 √ 6+ √ 106+20 √ 6 h) √ 83−20 √ 6+ √ 62−20 √ 6

i) √ 302−20 √ 6+ √ 203−20 √ 6 j) √ 601−20 √ 6− √ 154−20 √ 6

Bài 19 Rút gọn các biểu thức sau:

a) √ 6−3 √ 3+ √ 2− √ 3 b) √ 15+5 √ 5− √ 3− √ 5

c) √ 24−3 √ 15− √ 36−9 √ 15 d) √ 2− √ 3− √ 2+ √ 3

e) √ 3− √ 5− √ 3+ √ 5 f) √ 9− √ 17+ √ 9+ √ 17

g) √ 7+ √ 13− √ 7− √ 13 h) √ 12−3 √ 7− √ 12+3 √ 7

Bài 20 Tính (rút gọn):

a) ( √ 3+ √ 5 ) . ( √ 10+ √ 2 )( 3− √ 5 ) b) ( 4+ √ 15 )( √ 10− √ 6 ) √ 4− √ 15

c) ( √ 6+ √ 2 )( √ 3−2 ) √ √ 3+2 d) ( 2 √ 4+ √ 6−2 √ 5 ) ( √ 10− √ 2 )

f) √ 3− √ 5

√ 2+ √ 3 3+ √ 3 h) √ 4− √ 15+ √ 4+ √ 15−2 √ 3− √ 5

Bài 21

a) Thu gọn biểu thức A= √ 8+2 √ 10+2 √ 5+ √ 8−2 √ 10+2 √ 5

b) So sánh M= √ 4+ √ 7− √ 4− √ 7 và N= √ 2+ √ 3− √ 2− √ 3

c) Cho C= √ 45+ √ 2009 và E= √ 45− √ 2009 Chứng minh rằng: C+E=7 √ 2

d) Thu gọn biểu thức

D= √ 7+ √ 5+ √ 7− √ 5

√ 7+2 √ 11 − √ 3−2 √ 2 e) Thu gọn biểu thức E= √ √ 2+2−2 √ √ 2+1+1

f) Thu gọn biểu thức F= √ 3+ √ 2− √ 8 √ 2+8− √ √ 2+1

g) Thu gọn biểu thức

G= √ 1+2 √ 27 √ 2−38− √ 5−3 √ 2

√ 3 √ 2−4

Bài 22 Rút gọn các biểu thức sau (với những giá trị của biến làm cho biểu thức có nghĩa):

a) √ ( a2+ b2−2ab )( a4+ b2−2a2b ) b)

ab+2 √ b

3 √ b :

3 √ b

ab−2 √ b

c)

√ x2+ y4−2xy2

9x2y2

Bài 23 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A= √ x−2+2 √ x−3− √ x−3 b) B= √ 2x−2 √ x2−4+ √ x−2

c) C= √ 4x2−12x +9+2x−1 với x< √ 2 d) D= √ x−4 √ x−4 với 4≤x≤5

e) E= √ x−2 √ x−1+ √ x+3−4 √ x−1 với 2< x<5

f) F= √ 2x−1− √ x ( 3x−2 ) + √ 6x−1+3 √ x ( 3x−2 ) với 32<x <1 )

Bài 24 Cho

A= √ x−1−2 √ x−2

√ x−2−1

a) Tìm x để A có nghĩa b) Tính A2 và rút gọn A

Bài 25 Cho a= 1+ √ 5

1− √ 5

2 Tính a5+b5

Bài 26 Cho

B=√x +4√x−4 +√x −4√x−4

√1−8

x+

16

x2

a) Tìm x để B có nghĩa b) Rút gọn B

c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

BÀI 4 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

LÝ THUYẾT

I ĐƯA MỘT THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

√ A2.B=|A|. √ B với B≥0

Ví dụ 1

• √ 17.51= √ 17.17.3= √ 172.3=17 √ 3

• √ 16x2y= √ 42x2y=4|x| √ y= { 4x √ y

− 4x √ y

khi x≥0 khi x<0

II ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

A √ B= √ A2.B (nếu A≥0; B≥0 )

A √ B=− √ A2B (nếu A <0; B≥0 )

Ví dụ 2

• 3 √ 5= √ 32.5= √ 45

• −2 √ 5=− √ 22.5=− √ 20

• ( x− y ) √ x− y 1 (điều kiện: x− y>0 ⇔ x> y )

= √ ( x− y )2 1

x− y = √ x− y

III KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN

√ B A = √ AB B2 =

1

| B| . √ AB (với A B≥0; B≠0 )

Ví dụ 3

• √23=√2 332 =

√6

3

•

ab √ b a =ab √ ab b2=ab

√ ab

| b| = { a √ ab

− a √ ab

khi b>0 khi b<0

IV TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

Tùy trường hợp, ta dùng một trong những cách sau:

1) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn nhân tử giống nhau:

Ví dụ 4

•

√ 2− √ 6 1− √ 3 =

√ 2 ( 1− √ 3 )

1− √ 3 = √ 2

2) Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:

A

√ B =

A √ B

B ( B>0 ) (nhân tử và mẫu với √ B )

Ví dụ 5

•

2

5 √ 3 =

2 √ 3

5 √ 3 √ 3 =

2 √ 3 5.3 =

2 √ 3 15

3) Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu

( A−B) ( A+B)= A2− B2 , trong đó A – B và A + B là hai biểu thức liên hợp với nhau

1

A+ √ B =

A− √ B

( A+ √ B ) ( A− √ B ) =

A− √ B

A2− ( √ B )2=

A− √ B

A2− B

Ví dụ 6

•

1

√ 2− √ 5 =

1 ( √ 2+ √ 5 ) ( √ 2− √ 5 ) ( √ 2+ √ 5 ) =

√ 2+ √ 5

√ 2+ √ 5 3

V MỘT SỐ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

Với A,B≥0 ; ta có:

1) A= √ A √ A 2) A± √ A= √ A ( √ A×1 )

3) A √ B±B √ A= √ A √ B ( √ A± √ B ) 4) A−B= ( √ A− √ B ) ( √ A+ √ B )

5) A +B±2 √ A B= ( √ A± √ B )2

6) A √ A+B √ B= ( √ A )3+ ( √ B )3= ( √ A+ √ B ) ( A− √ A B+B )

A √ A−B √ B= ( √ A )3− ( √ B )3= ( √ A− √ B )( A+ √ A B+B )

BÀI TẬP

Bài 27 Viết biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích hợp rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) √ 125.96a4b3 b) √ −288x4y3 c) √ −8x6y5z8

d) − √ 10x2y ( 3− √ 2 )2 e) √ 3x2−6xy+3y2 f) √ −9a5( a−7 )2

Bài 28 Đưa các thừa số vào trong dấu căn:

a)

a

b √ b3

a với a, b cùng dấu; a, b ≠ 0 b)

x− y

x √ x− y x với x > 0 và x > y

c)

x+ y

x− y √ x− y x+ y với x > 0 và x > y d)

x2 x−5 √ 3x x−5 với x>5

(x−5)2 5− y √ 5( y−5 )

Bài 29 Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) √ (2−√5)2

với x, y cùng dấu; x ≠ 0 c) √ 7x −4x2y với x < 0, y > 0 d) √ x. ( 1− 5 √ 2 ) với x < 0 e) √ 2 ( x−1 √ x−1 ) với x > 1

1

( x−1)2

Bài 30 Trục căn thức ở mẫu:

a)

√ 2− √ 3

√ 15− √ 5

2 √ 3− √ 6

2+ √ 3

2− √ 3

e)

1− √ 2

4− √ 3

x+a √ x

a √ x

h)

a−2 √ a

√ a−2

i)

x− y

√ x+ √ y j)

a √ b−b √ a

a

x

2 √ x−3 √ y

Bài 31 Các số thực sau đây có căn bậc hai không? (giải thích)

a) a=12 √ 18−4 √ 50−2 √ 98 b) b=2 √ 56−

4 √ 7

√ 2 −

30+2 √ 45

√ 15+ √ 3 c) c=2 √ 501−3 √ 11−20 √ 5+10

Bài 32 Tính (rút gọn)

a) √ 20+2 √ 45−3 √ 80+ √ 125 b) 2 √ 27−2 √ 5+ √ 243+2 √ 125

c) √ 162− √ 9 2 −

√ 8−2 √ 15

1

20 √ 20+

1

4 √ 4 5 +2 √ 5 ) :2 √ 5+1

e) ( 3

2 √ 6−2 √ 2 3 −4 √ 3 2 )( 3 √ 2 3 − √ 12− √ 6 )

Bài 33 Tính:

a)

1 3−2 √ 2 −

1

√ 3

√ √ 3−1 −

√ 3

√ √ 3+1

c) ( 1+ √ 5−5

√ 5−1 )( 1+ √ 5+5

√ 5+1 ) d) ( √ √ 5− 5+ √ √ 3 3 +1 ) : ( √ √ 5− 5+ √ √ 3 3 −1 )

e)

6 2− √ 10 +

5 √ 2−2 √ 5

−2 √ 3+5 √ 2

5 √ 2+2 √ 3 +

5 √ 2+2 √ 3

−2 √ 3+5 √ 2 g)

5

√ 2−7 −

4

3 √ 2+5 −

7

12 3− √ 6 +

15

√ 6+1 ) ( √ 6+11 ) i)

1

√ 12− √ 140 −

1

√ 8− √ 60 −

2

√ 10+ √ 84 j)

1

√ 3− √ 2 −

2

√ 7+ √ 5 −

3

√ 7− √ 40 +

2 √ 2

√ 5+ √ 21

k)

23 ( √ 3+ √ 1 2− √ 6 −

1

√ 3+ √ 2+ √ 6 ) l) √ 9+3 5 √ 5+2 √ 2+ √ √ 10 14+6 √ 6

m)

2 √ 3− √ 3+ √ 13+ √ 48

√ 6− √ 2

Bài 34 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

2+ √ 3

√ 2+ √ 2+ √ 3 +

2− √ 3

√ 2− √ 2− √ 3 b)

3+ √ 5

√ 2+ √ 3+ √ 5 +

3− √ 5

√ 2− √ 3− √ 5

c)

√ 45+27 √ 2+ √ 45−27 √ 2

√ 5+3 √ 2− √ 5−3 √ 2 −

√ 3+ √ 2+ √ 3− √ 2

√ 3+ √ 2− √ 3− √ 2 d) ( 2− √ 3 ) √ 26+15 √ 3− ( 2+ √ 3 ) √ 26−15 √ 3

e)

5 ( √ 2+ √ 3+ √ 3− √ 5− √ 5 2 )2+ ( √ 2− √ 3+ √ 3+ √ 5− √ 3 2 )2

f) ( √ 3− √ 2 ) ( √ 8− √ 5+2 √ 12−2 √ 5+ √ 3− √ 6− √ 5 )

g) √ 8−3 √ 7 ( 8 √ 2+3 √ 14 ) + √ 9,5+2 √ 21 ( 2 √ 6− √ 14 )

Bài 35 Tính giá trị của biểu thức sau:

1+ √ 1+2x +

1−2x 1− √ 1−2x biết x=

√ 3 4

Bài 36 Rút gọn rồi tính:

a)

A= a √ b−b √ a

√ a−1 )( 1− a+2 √ a

2+ √ a ) với a2=3−2 √ 2 c)

C= ( a− √ a−1 √ a +2 )( 2− √ a+a

1+ √ a ) với a2=19−8 √ 3 d)

D= a+b−2 √ ab

√ a− √ b −

a−b

√ a+ √ b e) E= ( a √ √ a+b a+ √ √ b b − √ ab ) ( √ a−b a+ √ b )2

f)

F=( √a+1)(a−√ab)( √a+√b)

(a−b )( √a3+a) với { a=2000 b=2001

g) G= a √ b+b √ a

a √ b−b √ a +

a √ b−b √ a

a √ b+b √ a h) G=

a2− √ a a+ √ a+1 −

a2+ √ a a− √ a+1 + a+1 (với a > 0)

i)

I= ( a+2 2+ √ √ a+1 a −

√ a−2 a−1 )( a √ a+a− √ a √ a−1 ) ( a>0; a≠1 )

Bài 37 Chứng minh:

a) A ∈Z biết: A= 2 √ 3+2 √ 3− √ 2+ √ 3+2 √ 2

√ 3−1 −2 √ 3

C= ( 5+2 √ 6 )( 49−20 √ 6 ) √ 5−2 √ 6

9 √ 3−11 √ 2 d) Biểu thức D không phụ thuộc vào với x>0; x≠1 : D=(2+21√x+

1 2−2√x−

x2+1

1−x2) (1+1

x)

e) Biểu thức E không phụ thuộc vào biến x, y với x>0; y>0; x≠ y

E=(2x− y√xy+

√x−√y

2( √x +√y) ) 2√x

√x +√y+

√y

√y−√x

f) F≥0 ( ∀x∈R+

và x≠1 ), biết: F= ( √ x−1 x−1 +

x √ x−1

1−x ) : ( √ x −1 )

2

+ √ x

√ x+1

g)

√ 2− √ 4y− y2

y−2 √ 4+2 √ 4y− y2= √ 55+ √ 109− √ 55− √ 109

(với 2< y<4 )

h)

2− √ x

√ x ( 1+ 1

√ x −1 ) − √ x +1

√ x +2 +

3 ( x−3 ) + √ 9x

( √ x−1 ) ( √ x+2 ) =1+ 2

√ x +2 (với x>0 và x≠1 )

Bài 38 Rút gọn các biểu thức:

a)

A= ( √ √ a−1 a+1 +

√ a+1

√ a−1 ) ( 1− 2

a+1 )2 (a>0; a≠1)

b)

B= ( a √ √ a+1 a+1 ) : (a−1)+ 2a+ √ a+1

√ a+1 −

√ a a−1 với a > 1

c)

C= ( x √ x+4x+3 √ x ) ( x √ x−1 )

(x−1) ( x √ x +x + √ x ) ( √ x+3 ) (với x > 1) d) D= √ x+2 √ x−1+ √ x−2 √ x−1

√ x+ √ 2x−1− √ x− √ 2x−1 ( x≥2 )

Bài 39 Cho

A=( √x2+4−2) (x+√x +1) ( √x2+4 +2) √x−2√x +1

x(x√x−1) a) Rút gọn A b) Hãy tìm tất cả giá trị của x để A≥0

Bài 40

a) Thu gọn biểu thức sau:

B=( a√a−3 a−2√a−3−

2( √a−3)

√a+1 +

√a+3

3−√a):(a−1 a+8) với a≥0; a≠9; a≠1

b) Thu gọn C= √ a

√ a−1 −

2 a−1 a− √ a với a>0; a≠1 So sánh C và √ C

Bài 41 Cho biểu thức:

A= 3x+ √ 9x−3 x+ √ x−2 −

√ x+1

√ x+2 −

√ x−2

√ x−1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x=3+2 √ 2

Bài 42 Cho biểu thức:

P= [ 1− x−3 √ x

x−9 ] : [ √ x−3

2− √ x +

√ x−2

3+ √ x −

9−x

x+ √ x −6 ] ( x≥0; x≠9; x≠4 )