Góc nội tiếp• Định nghĩa • Định lí • Hệ quả: Trong một đ/tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì
Trang 1Góc nội tiếp
• Định nghĩa
• Định lí
• Hệ quả:
Trong một đ/tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp ≤900 bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn là góc vuông
Bài tập
1 Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp đ/tròn
(O) Tia phân giác của góc B và góc C cắt đ/tròn
ở D và E
a) Chứng minh rằng ∆ACE = ∆ABD
b) Gọi I là giao của BD và CE Tứ giác ADIE là
hình gì? Vì sao?
E
C B
D A
O
2 Cho 2 đ/tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O’) lần lượt ở C và D Xác định vị trí của
CD để CD có độ dài lớn nhất
3 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC), đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AD cắt đ/tròn ngoại tiếp lần lượt ở S, N, P
a) Chứng minh rằng MP // AH
b) So sánh các góc MAP, MPA, PAS
Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc MAH
4 Cho 2 đ/tròn (O1,R) và (O2,R’) tiếp xúc trong tại A (R>R’) Tiếp tuyến của đ/tròn (O2) tại điểm M trên đ/tròn đó cắt đ/tròn (O1) tại B và C Chứng minh rằng AM
là phân giác của góc BAC
5 Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đ/tròn Kẻ MH ⊥
AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ/tròn (O) vẽ 2 nửa đ/tròn (O1), (O2) có đường kính AH và BH, cắt MA, MB lần lượt tại P và Q
a) Chứng minh rằng MH=PQ
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng PQ với 2 đ/tròn (O1) và (O2)
c) Xác định vị trí của M trên nửa đ/tròn (O) để MPHQ là hình vuông
6 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) Tia AO cắt
đ/tròn ở D Gọi I là trung điểm BC; G là trọng
tâm tam giác ABC H là trực tâm tam giác
a) Tứ giác BHCD là hình gì?
b) Chứng minh rằng OI = ½ AH
c) Chứng minh rằng H, O, G thẳng hàng B I C
D
A
G H O
Trang 27 Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O,R) M là điểm
trên cung nhỏ BC MA ∩ BC = H
a) Chứng minh rằng AB2 = AH.AM
b) Chứng minh rằng MA=MB+MC
c) Chứng minh rằng 1 1 1
MB MC+ =MH d) Tính tổng MA2 + MB2 + MC2 theo R
+/ MA2 + MB2 + MC2 = 2(MA2 - MB.MC)
+/ C/m: MB.MC = MA.MH
Þ MA2 + MB2 + MC2 = 2MA.AH = 6R2
H M
C B
A
O
8 Cho đ/tròn (O) và điểm M nằm ngoài đ/tròn Qua
M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đ/tròn (A, B là
tiếp điểm) C là một điểm nằm trên đ/tròn (M,
MA) và nằm trong (O) Các tia AC, BC cắt (O)
lần lượt tại A1, B1 Chứng minh rằng A1; O; B1
thẳng hàng
O
B1
A1
C
B
A
M
9 Cho 2 đ/tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau
tại A và B Gọi C là một điểm trên đ/tròn (O) Vẽ
hình bình hành OCDO’ Chứng minh rằng một
trong 4 điểm A, B, C, D là trực tâm của tam giác
tạo bởi 3 điểm còn lại
E B
C
O' O
10.Cho đ/tròn (O), dây AB Gọi M là một điểm trên
cung AB, K là trung điểm của MB Qua K kẻ KP
⊥AM Chứng minh rằng khi điểm M chuyển
động trên cung AB thì các đường thẳng KP luôn
A'
B A
M
11.Cho tam giác ABC nội tiếp đ/tròn (O,R), đường
cao AH Đặt AB=c, BC=a, CA=b Chứng minh
rằng
a) bc=2Rh
b) SABC=abc
4R
HD:
a) ∆ABH~∆ADC
b) Giả sử Â nhọn (nếu không sử dụng góc khác) D
B
A
O
12.Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Một
đ/tròn (O) thay đổi có bán kính bằng đường cao
AH, tiếp xúc với cạnh BC (O và A trên cùng nửa
mặt phẳng bờ BC) cắt AB, AC lần lượt ở D và E
Chứng minh rằng số đo cung DE nằm trong tam
Trang 3giác ABC không đổi.
13.Cho tam giác ABC vuông tại C Hãy tìm điểm N
trong tam giác sao cho ·NBC NCA NAB=· = ·
HD:
Giả sử ta dựng được điểm N thỏa mãn bài toán
Ta có: ·NBC NCA=·
Mà ·NBC NCB 90+· = 0 ⇒CNB 90· = 0 Vậy N ∈(O)
đường kính BC
Gọi giao điểm của tia AN với đ/tròn là M thì
CM//AB ⇒cách dựng M
O
M
N
B
A
C
14.Trong tam giác ABC có góc C nhọn Tính độ lớn
của góc C biết khoảng cách từ C tới trực tâm tam
giác bằng bán kính đ/tròn ngoại tiếp
HD:
Kẻ đường kính CD suy ra ACH=DCB nên
ACD=BCH
Gọi F là trung điểm AC, E là giao của AH với BC
suy ra tam giác COF bằng tam giác CHE (ch-gn) suy
ra CF=CE
Mặt khác EF = ½ AC Þ EF=CF=CE nên tam giác
CEF đều suy ra C=600
F
E O
D B
C
A
H
LUYỆN TẬP VỀ GÓC NỘI TIẾP
1 Cho tam giác ABC nội tiếp đ/tròn (O) Tia phân giác của góc A cắt đ/tròn tại M Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đ/tròn tại N Ch/minh rằng:
a) Tam giác MBC cân
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng
2 Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác
A và B) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈AB) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ/tròn (O) vẽ hai nửa đ/tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH
MA và MB cắt hai nửa đ/tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q
a) Ch/minh MH = PQ
b) Ch/minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng
c) Ch/minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đ/tròn (O1) và (O2)
3 Cho ∆ABC đều, đường cao AH M là điểm bất kỳ trên đáy BC Kẻ
MP ⊥ AB và MQ ⊥ AC Gọi O là trung của AM
a) Ch/minh năm điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một
đ/tròn
b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? Ch/minh
c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ
nhất
O D
C
B M
A
Trang 44 Cho đ/tròn (O) đường kính AB Lấy điểm M trên đ/tròn (M khác A và B) sao cho
MA < MB Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB) Gọi F là giao điểm của DE và AB
a) Ch/minh ∆ADF và ∆BMA đồng dạng
b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M)
Ch/minh CA = CE = CB
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA Ch/minh I là tâm đ/tròn nội tiếp tam giác AMB
HD
c) ∆CIA cân tại C nên CIA=CAI Þ IMA+MAI=IAB+BAC Þ MAI=IAB (vì IMA=BAC) Þ AI là phân giác của góc MAB
5 Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đ/tròn CA cắt nửa đ/tròn ở M, CB cắt nửa đ/tròn ở N Gọi H là giao điểm của AN và BM
a) Ch/minh CH ⊥ AB
b) Gọi I là trung điểm của CH Ch/minh MI là tiếp tuyến của nửa đ/tròn (O) c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN¼
Nâng cao phát triển
6 ∆ABC nội tiếp (O,R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (H thuộc cạnh BC) Tính bán kính đ/tròn
HD: Kẻ đường kính AD ∆AHB ∆ACD
7 Cho ∆ABC nội tiếp (O,R), gọi (I,r) là đ/tròn nội tiếp tam giác, H là tiếp điểm của
AB với (I), D là giao của AI với đ/tròn (O), DK là đường kính của đ/tròn (O) Gọi
d là độ dài của OI Ch/minh
a) ∆AHI ~ ∆KCD
b) DI = DB = DC
c) IA.ID = R2 – d2
d) d2 = R2 – 2Rr
8 Cho tam giác ABC nhọn có AB = c, BC = a, CA = b nội tiếp (O,R) Ch/minh
sin A =sinB sin C=
9 Cho đ/tròn (O) có đường kính AB = 12cm Một đường thẳng đi qua A cắt (O) ở M
và cắt tiếp tuyến của đ/tròn tại B ở N Gọi I là trung điểm của MN Tính AM biết
AI = 13cm
10.Cho (O,R), các đường kính AB, CD vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm OB Tia CI cắt đ/tròn ở E, EA cắt CD ở K Tính DK
11.Cho nửa đ/tròn đường kính BC Các điểm M, N thuộc nửa đ/tròn sao cho
BM MN NC= = Các điểm D, E thuộc đường kính BC sao cho BD = DE = EC Gọi A là giao của MD với NE Ch/minh ∆ABC đều
12.Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) các đường cao AD, BE, CF cắt đ/tròn (O) theo thứ
tự ở M, N, K Ch/minh AM BN CK 4
AD + BE + CF =
13.(O,R), đường kính AB vuông góc với dây CD Gọi M là điểm bất kì thuộc đ/tròn (MC không song song với AB) E là giao của MD với AB, F là giao của MC với
AB
Trang 5Ch/minh EA FA
EB = FB
14.* Qua điểm A trong đ/tròn (O) vẽ cát tuyến ABC Gọi E là điểm chính giữa cung
BC, DE là đường kính của đ/tròn AD cắt đ/tròn tại I, IE cắt BC tại K Ch/minh AC.BK = AB.KC
15.Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB, bán kính OC = R Các điểm M, N thứ tự thuộc các cung AC, CB Gọi E, G theo thứ tự là hình chiếu của M, N trên AB Gọi
F, H thứ tự là hình chiếu của M, N trên OC Ch/minh EF = GH
16.∆ABC nội tiếp đ/tròn (O) Vẽ dây AA’//BC, BB’//AC, CC’//AB Trên các cung AA’, BB’, CC’ lấy các cung AD, BE, CF theo thứ tự bằng 1/3 các cung trên Ch/minh ∆DEF đều
17.Các đường cao BH, CK của tam giác ABC cắt đ/tròn ngoại tiếp thứ tự ở D và E Tính số đo góc A biết DE bằng đường kính đ/tròn
18.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi H là trực tâm, I là tâm đ/tròn nội tiếp tam giác
a) Ch/minh AI là phân giác của góc OAH
b) Cho góc BAC bằng 600 Ch/minh OI = IH
19.Tính số đo của góc A của tam giác ABC biết rằng khoảng cách từ A đến trực tâm tam giác bằng bán kính đ/tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 20 Cho tam giác ABC có B=540, C = 180 nội tiếp đ/tròn (O,R) Ch/minh AC –
AB = R
20.Hai đ/tròn (O) và (O’) cùng bán kính R cắt nhau ở A và B Một đường thẳng d song song với OO’ cắt các đ/tròn trên ở các điểm C, D, E, F theo thứ tự trên d (C,
E thuộc (O), D, F thuộc (O’))
a) Ch/minh CDO’O là hình bình hành
b) Tính CD biết AB = a
c) Ch/minh số đo giác CAD không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d (d luôn song song với OO’)
21.Cho điểm C thuộc nửa đ/tròn đường kính AB, H là hình chiếu của C trên AB, Các điểm D và E thuộc nửa đ/tròn sao cho HC là phân giác của góc DHE Ch/minh
HC2 = HD.HE
22.Một đ/tròn (O) đi qua điểm A và các trung điểm D, E của các cạnh AB, AC của ∆
ABC sao cho BC tiếp xúc với đ/tròn tại K Ch/minh KA2=KB.KC
23.Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7 Ch/minh tồn tại điểm E trên cạnh
AC sao cho độ dài AE, BE, CE là các số tự nhiên
24.Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC
Ch/minh AB2 – AM2 = MB.MC (bằng cách vẽ đ/tròn tâm A bán kính AB)
25.Cho tam giác ABC, phân giác AD Ch/minh AD2 = AB.AC – DB.DC
26.Hai đ/tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các điểm M, N thứ tự di chuyển