Tìm hiểu mô hình lạm phát trong vũ trụ học

Má đau1.1 Lí do chon đe tài Thuyet tương đoi r®ng GR [1, 2]đã đưoc chap nh¾n r®ngrãi như môt lý thuyet cơ bán đưoc mô tá bói tính chat hình hoccna không thòi gian.. Mô hình vũ tru chuan

Hà N®i - 2013

b® giáo d±c và đào tao trưèng đai hoc sư pham hà n®i 2

Lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

nguy›n thi hong khuyên

Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±

hoc

lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

b® giáo d±c và đào tao trưèng đai hoc sư pham hà n®i 2

nguy›n thi hong khuyên

Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±

hoc

Chuyên ngành : V¾t lí lí thuyet và V¾t lí

toán Mã so: 60.44.01.03Lu¾n văn thac sĩ khoa hoc v¾t chat

Cán b® hưáng dan khoa hoc: TS Đo Th% Hương

Tìm hi›u mô hình lam phát cúa vũ tr±

hoc

Ngày 28 tháng 12 năm 2013

Mnc lnc

Lài

cám ơn 3

Lài cam đoan 4

Lài nói đau 5 0.1 Lí do chon đe tài 5

0.2 Muc đích nghiên cúu 7

0.3 Nhi¾m vu nghiên cúu 8

1.4 Đoi tưong và pham vi nghiên cúu 8

1.5 Phương pháp nghiên cúu 8

0.6 Giá thiet khoa hoc 8

1 Mô hình vũ trn hoc chuan 9 1.1 Lý th uye t tương đoi 9

1.1.1 Phép bien đoi toa đ® tong quát 9

1.1.2 D%ch chuyen song song và đao hàm hi¾p bien 10

1.2 Tensor đ® cong và đ® cong vô hưóng 11

1.2.1 Phương trình Einstein 13

1.3 Mô hình vũ tru chuan hoc 17

1.3.1 Các nguyên lý cơ bán cna vũ tru 17

1.3.2 Metric Robertson Walker 17

1.3.3 Mô hình vũ tru chuan hoc 21

2 Mô hình lam phát 41

2.1 Lich sú phát trien cna các mô hình lam phát 412.2 Cơ só đ®ng hoc cna quá trình lam phát 422.3 Cơ só thnc nghi¾m 432.4 Moi liên h¾ giua tham so thnc nghi¾m và lý thuyet 442.5 Vũ tru se giãn nó theo quy lu¾t hàm mũ vói the

năng cna trưòng vô hưóng thóa mãn đieu ki¾n

cu®n

ch¾m 472.6 Mô hình lam phát cái tien 50

Lài cám ơn

Lòi đau tiên tôi xin gúi lòi cám ơn tói Trưòng Đai hoc Sư Pham

Hà N®i 2 đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tôi hoàn thànhkhóa hoc cna mình Qua đây tôi xin bày tó lòng biet ơn tói toànthe các thay cô trong nhà trưòng đã giáng day, chí báo t¾n tìnhtrong quá trình tôi hoc t¾p tai trưòng

Tôi xin gúi lòi cám ơn tói toàn the các thay cô trong ToV¾t lí lí thuyet khoa V¾t lí Trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i

2 đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tôi hoàn thành lu¾nvăn cna mình Đ¾c bi¾t, tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sacnhat tói cô giáo TS Đo Th% Hương, ngưòi đã trnc tiep chí báo

và hưóng dan tôi t¾n tình trong suot quá trình thnc hi¾n lu¾nvăn

Cuoi cùng tôi xin đưoc cám ơn gia đình, ban bè, các đongnghi¾p, nhung ngưòi đã luôn ó bên đe giúp đõ và chia sé nhungkhó khăn vói tôi trong suot thòi gian hoc t¾p hoàn thành lu¾nvăn cna mình

Hà N®i, tháng 11 năm 2013

Tác giá

Nguyen Th% Hong Khuyên

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan rang so li¾u và ket quá nghiên cúu tronglu¾n văn này là trung thnc và không trùng l¾p vói các đe tài khác.Tôi cũng xin cam đoan rang các thông tin trích dan và sn giúp

đõ trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc

Tác giá

Nguyen Th% Hong Khuyên

Má đau

1.1 Lí do chon đe tài

Thuyet tương đoi r®ng (GR) [1, 2]đã đưoc chap nh¾n r®ngrãi như môt lý thuyet cơ bán đưoc mô tá bói tính chat hình hoccna không thòi gian Mô hình vũ tru chuan hoc dna trên cơ sócna lý thuyet tương đoi r®ng và giá thiet không gian vũ tru làđong nhat và đang hưóng Mô hình vũ tru chuan đã xác nh¾n

vũ tru chúng ta đang song đã trái qua 15 nghìn tí năm ke tùkhi mói sinh ra Thòi điem ban đau khi mòi hình thành, vũ truton tai trong m®t nen nhi¾t đ® và m¾t đ® v¾t chat là vô han.Cùng vói sn giãn nó nhanh cna vũ tru đã làm cho m¾t đ® v¾tchat và nhi¾t đ® nen cna vũ tru giám rat nhanh Lý thuyet

mô tá mô hình vũ tru chuan hoc thnc sn có ý nghĩa và đưoc

sn quan tâm r®ng rãi khi các tiên đoán ve búc xa nen cna vũ trutai thòi điem hi¾n tai là hoàn toàn phù hop vói khám phá thncnghi¾m [5] Tuy nhiên,đen cuoi nhung năm 70, khi v¾t lý hat

cơ bán phát trien, lý thuyet mô tá vũ tru lai g¾p nhung khó khănkhi so sách vói lý thuyet cna v¾t lý hat cơ bán ve các van đenhư phân cnc tù, van đe hap dan Hơn nua, mô hình vũ truchuan hoc còn g¾p nhung khó khăn cơ bán khi giái thích cácvan đe ve vũ tru phang, van đe đưòng chân tròi Tuy nhiên tat

cá các van đe này đeu có the giái quyet trên vien cánh lam pháttrong vũ tru Vien cánh lam phát trong vũ tru giái quyet cáckhó khăn trên cna mô hình vũ tru chuan hoc đã đưoc nghiêncúu rat ky trong các tài li¾u [7, 8] Vien cánh lam phát trong vũtru dna trên ý tưóng vũ tru tai thòi kỳ đau, nó giãn nó ratnhanh vói h¾ so giãn nó phu thu®c vào thòi gian theo hàm so

mũ vói h¾ so dương Sn giãn nó nhanh đã tao ra vũ tru làphang, đong nhat, đang hưóng như hi¾n tai Hơn

nua sn mó r®ng nhanh trong vũ tru đã tao ra m¾t đ® đơn cnc tù,m¾t đ® hap dan giám nhanh và tao ra m®t m¾t đ® vô cùng nhó

đe tron thoát khói thnc nghi¾m cna chúng ta

Đe xây dnng lòi giái cna vũ tru lam phát chúng ta có the xâydnng dna trên các quan điem sau đây

• Cách đơn gián nhat đe có lòi giái vũ tru giãn nó theo hàm

so mũ là chúng ta can có m®t dang v¾t chat mói trong vũtru thóa mãn đieu ki¾n P = ωρ vói ω < 0 Đieu ki¾n này

có nghĩa là vũ tru có the b% thong tr% bói năng lưong taonên

hang so vũ tru, ω = −1 Trong trưòng hop này, lòi giái

cna

phương trình Einstein tao ra vũ tru giãn nó theo hàm so mũ.Tuy nhiên, neu chúng ta giá thiet thòi kỳ đau, năng lưong vũtru đã b% chiem đóng bói dang năng lưong có nguon goc tùhang so vũ tru thì chúng ta se không chí ra đưoc thòi điemnào mà lam phát vũ tru ket thúc.Tuy nhiên, sn tăng toc cna

Vũ tru ó giai đoan can thiet phái ket thúc và noi tiep bóigiai đoan búc xa thong tr% Vũ tru Chính vì v¾y, hang so

Vũ tru là không phù hop cho giai đoan đau tăng toc Vũ tru.Chúng ta can xây dnng các cơ che cho quá trình lam phátsao cho phù hop vói thnc nghi¾m

• Chúng ta mó r®ng lý thuyet tương đoi r®ng dna trên vi¾c mó

r®ng Lagrangian mô tá hap dan cna Einstein Lagrangian mô

tá hap dan có the là hàm phi tuyen cna tensor đ® cong R.Túc là, Lagrangian mô tá trưòng hap dan có dang L = f

(R) Công vi¾c này đưoc thnc hi¾n đau tiên bói

Starobinsky Tuy nhiên, khi làm vi¾c vói lý thuyet f (R) thì

lý thuyet hap dan tró lên phúc tap

• Chúng ta có the xây dnng ý tưóng lam phát dna trên quan

điem cna v¾t lý hat cơ bán Cu the, chúng ta giá thiet thòi

kỳ đau, năng lưong cna vũ tru đưoc mô tá thông qua thenăng

cna vô hưóng Năng lưong chân không cna the vô hưóng seđám báo lòi giái vũ tru đưoc tăng toc Ket hop vói đieu ki¾ncu®n ch¾m cna the, chúng ta có the đưa ra h¾ quá: Quá trình

lam phát Vũ tru ket thúc Cu the là: Sau khi lam phát, thìm¾t đ® năng lưong cna trưòng vô hưóng se chuyen thành

nhi¾t năng và làm nóng lai vũ tru và vũ tru se tien trien tieptheo như sn tiên đoán trong mô hình vũ tru chuan hoc.Trong lu¾n văn này, chúng tôi se t¾p trung vào tìm hieu cơ chelam phát cna vũ tru dna trên quan điem cna v¾t lý hat cơ bán.

Cu the, n®i dung cna lu¾n văn se đưoc bo cuc như sau:

• Trong chương 1, tôi se trình bày ve hình thúc lu¾n cna lý

thuyet RG Dna trên lý thuyet RG, tôi se tìm kiem metricthóa mãn đieu ki¾n Vũ tru là đong nhat và đang hưóng vàđang giãn nó se đưoc nghiên cúu Các lòi giái cna ve sn giãn

nó cna Vũ tru trong mô hình Vũ tru chuan hoc se đưoc trìnhbày

• Trong chương 2, chúng tôi se nghiên cúu ve cơ che xây dnng

vien cánh lam phát dna trên quan điem v¾t lý hat cơ bán Cuthe chúng tôi se kháo sát mô hình lam phát đơn gián nhat,

mô hình này chúng ta chí can đưa vào m®t trưòng vô hưóngvói các đieu ki¾n cnc tieu the Trên cơ só đó, chúng tôi seđánh giá ưu điem và nhưoc điem cna mô hình này

• Chương 3, chúng tôi se trình bay ve mô hình lam phát Trong

mô hình lam phát cái tien, chúng tôi se sú dung hai trưòng

vô hưóng đe mô tá Tù các đieu ki¾n đưa vào, chúng tôi sechí ra các ưu điem và nhưoc điem cna mô hình này

• Trong chương 4 , chúng tôi se tong ket lai các ket quá đã

trình bày trong lu¾n văn

1.3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Hieu mô hình vũ tru chuan hoc và mô hình lam phát Trên cơ só

đó ta so sánh giua lý thuyet và thnc nghi¾m

1.4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Giai đoan đau cna vũ tru (sát sau 10-43 giây ke tù vu no BicBang)

1.5 Phương pháp nghiên cNu

+Lý thuyet tương đoi tong quát

+Lý thuyet trưòng lưong tú

1.6 Giá thiet khoa hoc

Tiep c¾n vói các mô hình ve lam phát Trên cơ só đó, ta hieuđưoc cách tiep c¾n giua mô hình lý thuyet và thnc nghi¾m

Chương 1

Mô hình vũ trn hoc chuan

1.1 Lý thuyet tương đoi

Trong phan này, chúng tôi se tong quát các kien thúc cơ bán cnathuyet tương đoi và vũ tru hoc dna trên bài giáng [10] Cu thephan kien thúc cơ bán đưoc li¾t kê như dưói đây

1.1.1 Phép bien đoi toa đ® tong quát

Ta kháo sát phép bien đoi tong quát tù h¾ toa đ® cũ x µ sang h¾toa đ® mói x rµ:

Đoi vói bien đoi Lorentz, đao hàm riêng

Quy lu¾t bien đoi cna toán tú vi phân như sau

• Đoi tưong (object) bon chieu A µ là vectơ phán bien d bien

đoi toa đ® tong quát neu nó bien đoi theo

µ

A rµ = ∂x

r ν

tương úng, là nhung tensor phán bien và hi¾p bien

1.1.2 D%ch chuyen song song và đao hàm hi¾p bien

Như ta biet khi tính đao hàm cna m®t vectơ thì chúng ta pháiquy ve cùng m®t toa đ® không gian Tuy nhiên trong không gianphang khi chúng ta d%ch chuyen song song vectơ ve cùng m®t

ν

A

r

α

điem thì vectơ không b% thay đoi nhưng trong không gian congkhi chúng ta thnc hi¾n song song m®t vectơ tù điem này sang

điem kia thì vectơ sau khi dich chuyen se b% thay đoi Đây chính

là lý do đe đưa ra khái ni¾m ve d%ch chuyen song song

Có rat nhieu cách tiep c¾n đe đưa ra bieu thúc cna d%ch chuyensong song [10], tuy nhiên trong lu¾n văn này, tôi không đi sâuvào các cách tiep c¾n đó mà tôi công nh¾n ket quá và tù đó tìmhieu ý nghĩa cna hình hoc và hap dan Cu the, khi d%ch chuyensong song vectơ doc theo đưòng cong ta có sn khác bi¾t giua vectơtrưóc khi d%ch chuyen và sau khi d%ch chuyen khác bi¾t như sau:

Do đó, đe lay đao hàm cna trưòng vectơ, ta phái d%ch chuyensong song A µ (x) tù x tói x + dx trưóc khi thnc hi¾n phép trù.

Khi đó, ta thu đưoc

Đây chính là đao hàm hi¾p bien

1.2 Tensor đ® cong và đ® cong vô hưáng

Γ

µ β

ν

Chúng ta d%ch chuyen vectơ tù v% trí x đen v% tr% x+dx có the

theo nhieu con đưòng khác và ket quá đao hàm hi¾p bien laytheo hai hưóng khác nhau là hoàn toàn khác nhau Cu the, chúng

ta kháo

sát sn khác nhau cna đao hàm hi¾p bien lay theo hai hưóng khácnhau Xét h¾ thúc giao hoán cna đao hàm hi¾p bien [D µ , D ν ]:

[D µ , D ν ]A β = A β ;µ;ν − A β ;ν;µ

Sau khi thay các đ%nh nghĩa đao hàm hi¾p bien vào h¾ thúc trên,chúng ta bien đoi theo quy lu¾t tensor, chúng ta thu đưoc ketquá

Chúng tôi muon nhan manh, xét khoáng không gian vô cùngnhó thì không gian đưoc coi như gan phang (không gian nhưv¾y goi là không gian thuan chnng Riemann), khi đó tensormetric không thay đoi, nên đao hàm hi¾p bien cna nó bangkhông Do đó ta có:

α β

• Tính phán xúng:

R σ σ

λνµ = −R λµν

• Tính chat đoi xúng và phán đoi xúng cna R ρλνµ

Co chí so đau và chí so cuoi cna tensor Riemann, ta đưoc tensor Ricci R βµ, ta de dàng chúng minh đưoc R βµ đoi xúng theo β và

Trang thái và tương lai cna vũ tru phu thu®c hoàn toàn g µν

, và g µν có the đưoc tính qua các chí so liên ket không thòi gian

và ngưoc lai, đong thòi tensor metric thóa mãn đieu ki¾n g µν ;α

= 0, hình hoc thóa mãn đieu này goi là hình hoc Riemann.Như v¾y, tensor metric g µν quyet đ%nh tính chat hình hoc cnakhông thòi gian Tuy nhiên yeu to nào gây nên sn cong cna khônggian? Đieu này se đưoc trình bày trong phan tiep theo

1.2.1 Phương trình Einstein

Xét tác đ®ng:

¸

ν ρ

= Γ

µ λ

ρ ν

)

1

= g (δg + δg δg ) (1.23)2

Túc là δΓ λ , hay δRν có các thành phan là m®t đao hàm

hi¾pbien

−g.δg µν R µν ]

¸ + d4x √ −g.g µν δR µν (1.24)Tích phân I = ¸ d4x √ −g.g µν δR µν = 0 do tích phân cna m®t

đao hàm hi¾p bien lay trên toàn b® không gian là bang không

δS = 0

δS H = 01

−g.g µν δg µν R

+

√

2g µν R − R µν = 0 (1.27)Đây là phương trình Einstein trong chân không

Neu ke đen trưòng hap dan thì:

¸ ¸

2g µν R − R µν = 8πGT µν (1.32)Đây chính là phương trình Einsteinn cho trưòng hap dan Phương trình này mô tá moi tương quan giua hình hoc và v¾t chat Ve trái cna phương trình là sn mô tá hình hoc và ve phái cna phương trình là mô tá v¾t chat

2 µ ν

1.3 Mô hình vũ trn chuan hoc

1.3.1 Các nguyên lý cơ bán cúa vũ trn

Đe mô tá the giói thnc ta phái chap nh¾n tiên đe sau: Vũ tru

có không gian đong nhat (homogeneous), đang hưóng (isotopic)nhưng nó ra theo thòi gian Bó qua sn khác bi¾t ó khoáng cáchnhó, ta coi vũ tru ó khoáng cách lón như là chat lóng vói m¾tđ®không đoi ó moi nơi

1.3.2 Metric Robertson Walker

Đe tìm không gian mô tá vũ tru, túc là ta can tìm metric g µν Vìvây, trong phan tiep theo chúng tôi se tìm dang cna metric g µν

mô tá không gian vũ tru là đong nhat và đang hưóng và chúnggiãn nó đong đeu Trong phan này, tài liêu tham kháo đưoc dnatrên tài li¾u [10], [11]

Ta nói ve h¾ toa đ® mà ta se sú dung - toa đ® đong chuyenđ®ng (comoving coordinates) Toa đ® không gian chia sé chuyenđ®ng nó đong dang cna v¾t chat trong vũ tru Neu bó qua nhungđiem khác bi¾t nhó trong chuyen đ®ng cna các thiên hà (galaxy)(sn d%ch chuyen đ%a phương so vói sn nó đong dang), ta có thenói moi thiên hà có toa đ® không gian cna mình Các điem toađ® chuyen đ®ng vói thiên hà khi thiên hà rơi tn do trong trưònghap dan cna vũ tru Khoáng toa đ® (coordinate interal) giua haithiên hà bat kỳ luôn luôn không đoi và sn nó vũ tru là ket quákhông phái tù sn thay đoi v% trí toa đ® cna thiên hà mà là tù snthay đoi cna metric cna không thòi gian

Vói toa đ® thòi gian x0, ta se sú dung thòi gian riêng đo bóiđong ho gan vói thiên hà Ta còn giá thiet rang các đong ho nàychay như nhau và đong b® Nghĩa là ngưòi quan sát A gúi tin tai

thòi điem t0 thì ngưòi quan sát B cũng gúi tin tai t0 Tin A đen

B khi đong ho ó đây chí t B Tin B đen A khi đong ho ó đây chí

t A Đong ho là đong b® (synchronized) neu t A = t B Tat cángưòi quan sát đ¾t đong ho ó zero tai Vu No lón (Big Bang)

Ta minh hoa toa đ® đong thòi gian bang hình ve

Hình 1.1: Toa đ® đong thòi gian

Ta có the chí ra rang, vói vi¾c chon toa đ® như trên

Như v¾y toa đ® đong chuyen đ®ng là trnc giao thòi gian Đieuki¾n (1.33) suy ra tù giá thiet rang các đong ho đo x0 đúng yêntrong h¾ đong chuyen đ®ng Vói các đong ho như v¾y dx1 =

dx2 = dx3 = 0, và vì v¾y

ds2 = g00(dx0)2 (1.35)Đieu ki¾n (1.34) suy ra tù thnc te, các yeu to không chéo g 0k chíkhác không khi đong ho không đong b® tai các v% trí khác nhau[11] Tù (1.33) và (1.34), metric không thòi gian có dang

ds2 = dt2 − g ij dx i dx j (1.36)ha

Khoáng không gian có dang

dl2 =(3) g ij dx i dx j (1.38)trong đó

Tù sn đong nhat và đang hưóng cna hình hoc ba chieu, thìtensơ Riemann trong không gian ba chieu (3)R mnsk phái có dang

(3)R mnsk = k[(3)g ms (3)g nk −(3) g mk (3)g ns] (1.40)trong đó k là hang so Ta có the chúng minh (1.40) như sau: Tai

điem cho trưóc, đưa vào toa đ® trac đ%a và như v¾y metric tróthành (3)g r = δ k Tù đieu ki¾n không phân bi¾t các hưóng khácnhau cna đ® cong cna chúng, thì tensor cong phái không thay đoitheo phép quay cna toa đ® trac đ%a Vì chí có tensor đơn v% δ k

là không thay đoi vói phép quay, nên tensơ cong phái là hàm cnacác to hop cna tensor đơn v%

m δ n + K1δ m δ n + K2δ m δ k (1.41)Đieu ki¾n phán đoi xúng (3)R mnsk = −(3)R mnks cho K1 = −k và

K2 = 0 Do v¾y

Chuyen phương trình này tù toa đ® trac đ%a sang toa đ® thưòng

ta có phương trình (1.40) Tù đieu ki¾n đong nhat, ta có k là

hang so

Ta có the chúng minh

(3)R mn = −2k (3)g mn , (3)R = −6k ¤ (1.43)

Vì (3)R mnsk có the bieu dien qua (3)g nk và đao hàm b¾c m®t

và hai cna metric này, nên (1.40) có the xem như phương trình viphân cho (3)g nk Như v¾y vũ tru có the tách ra các thó (slice)dang không gian, moi thó ba chieu là đoi xúng cnc đai Do v¾y

m

m

ta coi không thòi gian cna chúng ta là R × Σ, trong đó R bieu

th% hưóng thòi gian và Σ là đa tap ba chieu đoi xúng cnc đai Dov¾y metric không thòi gian có dang [13]

ds2 = dt2 − R(t)dl2 (1.44)trong đó t là toa đ® kieu thòi gian, R(t) là hàm đưoc biet như

là h¾ so kích thưóc (scale factor) H¾ so kích thưóc cho ta biet đ®lón cna thó dang không gian Σ tai thòi điem t Ngưòi quan sát

đúng ó x i không đoi cũng goi là “đong chuyen đ®ng” Chí cóngưòi quan sát đong chuyen đ®ng mói nghĩ rang vũ tru là đanghưóng Thnc te ta ó trên Trái đat, ta không là đong chuyenđ®ng Ket quá là ta thay có sn bat đang hưóng lưõng cnc(dipole anisotropy) trong nen sóng micro vũ tru (CMB) như làhi¾u úng Doppler thông thưòng

Nêu không gian đoi xúng cnc đai, thì nó là đoi xúng cau Ta

đã biet ve không gian đoi xúng cau khi xét lòi giái Schwarzschild.Metric đưoc viet trong dang

dl2 = g ij dx i dx j = e 2β(r) dr2 + r2dΩ2, L(r) ∼ 2β(r)

(1.45) Metric trong hình cau hai chieu dΩ2 = dθ2 + sin2

θdφ2 Do v¾y đoi vói không thòi gian tĩnh, đoi xúng cau, ta cótensơ Ricci [13]

2

(3)R11 = r ∂1β,

(3)R22 = e −2β (r∂1β − 1) + 1,

(3)R33 = [e −2β (r∂1β − 1) + 1] sin2 θ (1.46)Thay (1.46) vào (1.42), ta có the tìm đưoc β(r)

Chúng tôi muon chú ý rang, giá tr% cna k đ¾c trưng cho tính chatcong cna không gian [10].

Tóm lai, metric mô tá vũ tru giãn nó đong đeu và đong nhat

và đang hưóng như đã trình bay đươc tìm ra Robertson Walkernên metric đó đưoc goi là metric Robertson Walker Mô hình vũtru chuan se dna trên yeu to metric đó

1.3.3 Mô hình vũ trn chuan hoc.

Phương trình đ®ng hoc mô tá sn t%nh tien cna h¾ so a(t) đưocrút ra tù phương trình Einstein vói yeu to metric đưoc mô tá bóiRobertson - Walker metrix:

1

R µν −

2g µν R = 8πG N T µν (1.49)Vói k đưoc chon là k = 1, 0, - 1

k = 1 tương úng vói metric mô tá không gian vói đ® cong

dương k = -1 tương úng vói metric mô tá không gian vói đ® cong âm k = 0 tương úng vói metric mô tá không gian phang

Đe đánh giá ve phương trình Einstein cna lí thuyet tương đoi tong quát đưoc viet dưói dang:

1

R µν −

2g µν R = 8πGT µν (1.50)Khi áp dung phương trình Einstein vào mô hình vũ tru hoc thóamãn đieu ki¾n vũ tru là đong nhat và đang hưóng ket quá thuđưoc là vũ tru luôn giãn nó ho¾c co lai → Einstein không the thu

đưoc ket quá là vũ tru cna chúng ta là tĩnh (Einstein nghĩ rang

vũ tru là tĩnh tai thòi điem đó)

Chính vì v¾y Einstein đó co gang thay đoi phương trình cnamình đe tìm lòi giái cho rang vũ tru là tĩnh Ông đã khôngtìm thay m®t đieu gì đe cam so hang g µν trong phương trình,chính vì v¾y,

phương trình Einstein đay đn có dang:

+ Do không gian là đong nhat và đang hưóng nên các yeu tokhông gian cna tensor phái bang nhau.

+ Dang đơn gián nhat cna tensor có dang:

dt

(P a ) P dt dt d

Chúng ta có the giái thích phương trình này như sau:

- Sn thay đoi cna tong cna năng lưong trong toàn b® the tích

V ∼ a3 bang áp suat x đ® thay đoi the tích đó

Ket quá cna sn phu thu®c m¾t đ® v¾t chat ρ vào áp suat P = f

(ρ)

hay ρ = g(P ) phương trình → trang thái (state equation).

M®t trong nhung ket quá đơn gián nhat: P = ωρ

• Thòi kì búc xa: ω = 1/3

• Thòi kì v¾t chat: ω = 0

• Thòi kì năng lưong chân không: ω = −1

Chúng ta se chúng minh rang, tai thòi kì đau, vũ tru là thòi kìbúc xa chiem ưu the Sau đó là thòi kì v¾t chat chiem ưu the, vũtru se tiep tuc ó thòi kì v¾t chat chiem ưu the sau đó đen thòi kìInflation (tai thòi kì rat sóm) và sau đó năng lưong chân không

se chiem ưu the

Sú dung phương trình Einstein và Robertson - Walkes metrix.Các thành phan tensor Ricci tensor khác không là:

3a¨

R00 = −

a a¨ 2˙R2 2k

1

R µν −

2g µν R = 8πGT µν (1.53)Chúng ta thu đưoc phương trình:

Phương trình này goi là Fiedmann equation

Neu kháo sát thành phan i - i thì phương trình Einstein đưara:

Phương trình gia toc cna vũ tru (accelerated equation)

Chú ý: Ngày nay a¨ >= 0 neu trong quá khú ρ + 3p > 0 thì

a¨ < 0

phái ton tai 1 thòi điem mà tai đó a = 0 ton tai m®t cnc tr% →

không the xáy ra

Tóm lai, chúng ta có h¾ thong các phương trình mô tá vũ tru:

Kháo sát lài giái cúa vũ trn phn thu®c vào thài gian

+ Sú dung h¾ thong hai phương trình:

Phương trình trang thái P = ωρ và phương trình chat lóng

a˙

ρ˙ + 3 (ρ + P ) = 0

a a˙

a 3(1+ω) (t)

• Vói thòi búc xa chiem ưu the (ω = 0) trong vũ tru

ρ0

ρ mat (t) =

a(t)3

→ M¾t đ® v¾t chat tí l¾ ngh%ch vói the tích hình cau

• Vói thòi búc xa chiem ưu the (ω = 1 )

? Chúng ta se giái thích đieu này như the nào?

Tù m¾t đ® ρ rad ∼ 1 → chúng ta có the đong nhat là so hang the

tích cna vũ tru và so hang 1 đưoc đong nhat là sn dài ra cnabưóc sóng ánh sáng Sn dài ra cna bưóc sóng ánh sáng là tí l¾ vói a và năng lưong búc xa tí l¾ vói tan so ho¾c bưóc sóng

Tìm sN phn thu®c cúa a(t) vào thài gian

Vói ρ(t) = ρ0a −3(1+ω) (t) thay vào phương trình Fried mann,

a˙ (t) = qt q−1 (1.60)

a˙ 2(t) = q2t 2(q−1) (1.61)Đong nhat b¾c cna t ó hai phía cna phương trình (1.59), ta có:

1. Vói ω = 0 (Matter dominate: v¾t chat chiem ưu the) q =

2 ;

1 và a ∼ t 2/3 suy ra ρ ∼ t −2 → Vũ tru se mó r®ng mãi

mãi theo thòi gian Sn phu thu®c vào thòi gian cna H là :

a˙ 2

H = =

a 3t

→ Chúng tó vũ tru cna chúng ta se tró lên vô han vói toc

đ® rat ch¾m Trong thòi kì v¾t chat, vũ tru không co lai màgiãn ra mãi mãi

3. Thòi kỳ năng lưong chân không chiem ưu the: ω = −1

Khi đó, Friedmann equation có the viet dưói dang:

Đoi vói 3 thành phan (v¾t chat, búc xa, năng lưong chânkhông) chúng ta có 3 phương trình trang thái tương úng :