Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

Cho tói ngày nay nghiên cúu các bài toán bien phân chn yeuđưoc t¾p trung vào ba van đe chính: - Nghiên cúu đ%nh tính đieu ki¾n can và đn đe có nghi¾m, các đ%nh lý đoi ngau, sn ton tai ng

LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày tó lòngbiet ơn sâu sac tói PGS TS Nguyen Năng Tâm ngưòi đã đ%nh hưóngchon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành khóa lu¾nnày

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc,các thay cô giáo trong Khoa Toán trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2

đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p

Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói giađình, ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi chotôi trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành khoá lu¾n

Hà N®i, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương

LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm lu¾n văn thac

sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram và úngdung” đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán thân, khôngtrùng vói bat cú lu¾n văn nào khác

Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùanhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng trân trong và biet ơn.M®t so ket quá tác giá đã đưa ra dna trên nhung thành tnu khoa hocnày

Hà N®i, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương

Mnc lnc

Báng ký hi¾u

v

Lài má đau 6

Chương 1 M®t so kien th N c chuan b% 9

1.1 Không gian đ%nh chuan 9

1.2 Không gian Hilbert 14

1.3 Không gian Sobolev 19

Chương 2 Đ%nh lý Lax-Milgram 22

2.1 Bài toán bien phân 22

2.1.1 Bài toán bien phân đoi xúng 23

2.1.2 Bài toán bien phân không đoi xúng 25

2.2 Đ%nh lý Lax-Milgram 26

2.3 Đ%nh lý Lax-Milgram má r® ng 29

2.3.1 Đ%nh lý Lax-Milgram trên không gian Banach phán xa 29

2.3.2 Đ%nh lý Lax-Milgram trên không gian Banach 34

Chương 3 M®t so N ng dnng 37

3.1 Úng dnng trong ph ương trình vi phân th ư àng 37

3.2 Úng dnng trong ph ương trình đao hàm riêng 42

iii

"." V chuan trong không gian V

inf f c¾n dưói đúng cna ánh xa f

sup f c¾n trên đúng cna ánh xa f

min f giá tr% nhó nhat cna ánh xa f

max f giá tr% lón nhat cna ánh xa f

ker f hat nhân, hach cna ánh xa f

cl Ω bao đóng cna t¾p Ω

clyeu∗ Ω bao đóng yeu∗ cna t¾p Ω

div F divergence, phân tán cna hàm vector F

ν vector chí phương ngoài

(x ∗ , x) ánh cna toán tú x ∗ tai điem x

∂u

∂x i

đao hàm riêng cna hàm u theo bien x i

(x, y) goi là tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y

Q chúng minh hoàn thành

LèI Mé ĐAU

Các bài toán bien phân đã xuat hi¾n tù rat lâu, thu hút đưoc sn quantâm cna nhieu nhà toán hoc noi tieng cna các the ký XVII – XIX và cóánh hưóng rat lón đoi vói sn phát trien cna Giái tích toán hoc Nhưngphái đen the ký XX bài toán bien phân mói đưoc hình thành vói tư cách

là m®t lý thuyet toán hoc đ®c l¾p, vói nhieu hưóng nghiên cúu khácnhau Cho tói ngày nay nghiên cúu các bài toán bien phân chn yeuđưoc t¾p trung vào ba van đe chính:

- Nghiên cúu đ%nh tính (đieu ki¾n can và đn đe có nghi¾m, các đ%nh

lý đoi ngau, sn ton tai nghi¾m, cau trúc t¾p nghi¾m, tính on đ%nhnghi¾m, đ® nhay nghi¾m, );

- Nghiên cúu đ%nh lưong (xây dnng các thu¾t toán tìm nghi¾m thóamãn các tiêu chuan cho trưóc, xác đ%nh t¾p nghi¾m, );

- Úng dung (giái quyet các bài toán ve kinh te, bat đang thúc bienphân, bài toán cân bang, phương trình vi phân, phương trình đao hàmriêng, )

M®t trong nhung van đe quan trong cna bài toán bien phân lànghiên cúu sn ton tai và duy nhat nghi¾m Đã có rat nhieu các côngtrình toán hoc nghiên cúu ve van đe này, trong đó phái ke đen hai nhàtoán hoc Peter

D Lax và Arthur Milgram vói đ%nh lý Lax-Milgram, cho ta m®t đieu ki¾n

6

đe xác đ%nh bài toán bien phân có nghi¾m duy nhat (xem [7], [13],[14])

Tù đ%nh lý Lax-Milgram đã đ¾t ra rat nhieu câu hói và hưóng mó r®ngkhác nhau Trong không gian Hilbert bài toán bien phân có nghi¾m duynhat Li¾u đieu này còn đúng trong không gian Banach? Đã có nhieu nhàkhoa hoc quan tâm nghiên cúu ve câu hói này và đã chúng minh đưoctính duy nhat nghi¾m trong không gian Banach (xem [8], [13], [14])

Khi mó r®ng không gian cho đ%nh lý Lax-Milgram tính chat tuyen

tính cna ánh xa a(·, ·) (xem 2.2) đưoc giu nguyên E Zeidler đã đi

đau trong vi¾c nghiên cúu mó r®ng trong trưòng hop a(·, ·) là phi tuyen

(xem

muc 2.15 trong [19])

Ta thay, đ%nh lý Lax-Milgram cho chúng ta m®t ket quá rat đep trongbài toán bien phân, cũng như trong phương trình toán hoc Như v¾y, m®tcâu hói đ¾t ra rat tn nhiên là:

Li¾u có ton tai nhung lóp hàm đn r®ng thóa mãn đ%nh lý Milgram hay không?

Lax-Hay có ton tai nhung lóp hàm không thóa mãn đieu ki¾n cna đ%nh lýLax-Milgram nhưng van có ket lu¾n như the không (chính là m®t cách

mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram theo hưóng làm yeu đieu ki¾n cna toán tú

a(·, ·))?

Ngưòi đau tiên đi theo hưóng này là B Ricceri (xem [16]), sau đó

là J Saint Raymond (xem [15]) và Nguyen Đông Yên, Bùi Trong Kim(xem [18])

Ket quá đat đưoc tù đ%nh lý Lax-Milgram và các dang mó r®ng cóúng dung r®ng rãi trong nhieu lĩnh vnc toán hoc khác nhau như toi ưu

hóa, phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng (xem [5], [6],[7],[8], [10])

Đe tài “Đ%nh lý Lax-Milgram và úng dung” nham nghiên cúu hưóng

mó r®ng đ%nh lý Lax-Milgram tù không gian Hilbert sang không gianBanach và các úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram trong phương trình

vi phân, phương trình đao hàm riêng, toi ưu hóa

Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%

Chương này, ta trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve: không gian đ%nhchuan, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đao hàmriêng se đưoc sú dung trong các phan sau Ngoài ra, trong phan này cònchúng minh m®t so bat đang thúc trong không gian Sobolev nham giáiquyet các bài toán ve úng dung cna đ%nh lý Lax-Milgram

1.1 Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen tính

đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng R cùng vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là "·" và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau đây:

1) (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú không là θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) "αx" = |α| "x";

3) (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y".

So "x" goi là chuan cúa vector x Ta ký hi¾u không gian đ%nh chuan

là (X, "·") Neu trên X chs trang b% m®t chuan ta có the ký hi¾u là X

9

Các tiên đe 1), 2), 3) goi là h¾ tiên đe chuan.

là dãy cơ bán, neu

lim

m,n→∞ "x n − x m " = 0.

Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach,

neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.

Đ%nh lý 1.1 (Nguyên lý ánh xa co) Cho không gian Banach V , m®t ánh

xa co T đi tù V vào chính nó, nghĩa là ton tai m®t hang so, 0 ™ M <

1 thóa mãn

"T v1 − T v2" ™ M "v1 − v2" , ∀v1, v2 ∈ V.

Khi đó, ton tai duy nhat điem u thu®c V sao cho u = T u.

Đ%nh nghĩa 1.4 Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng so

thnc R Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi là tuyen tính neu ánh xa A thóa mãn các đieu ki¾n:

thì toán tú tuyen tính A thưòng goi là phiem hàm tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho không gian đ%nh chuan X và Y Toán tú

tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n, neu ton tai hang so C > 0 sao cho

"Ax" ≤ C "x" , ∀x ∈ X.

Đ%nh nghĩa 1.6 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian

đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Chuan cúa toán tú A,

kí ki¾u là "A", đưoc xác đ%nh bói

"A" = inf .C > 0 "Ax" ≤ C "x" , ∀x ∈ X .

Đ%nh lý 1.2 (Tính chuan cna toán tú) Cho toán tú tuyen tính A tù

không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Neu toán

Đ%nh lý 1.3 (Tính liên tuc cna toán tú ngưoc) Toán tú tuyen tính A

ánh xa không gian đ%nh chuan X lên không gian đ%nh chuan Y có toán tú ngưoc A −1 liên tnc khi và chs khi ton tai hang so α > 0 sao cho

"Ax" ≥ α "x" (∀x ∈ X).

Khi đó A −1 ≤ 1 .

α

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y Ký

hi¾u L(X, Y ) là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian X vào không gian Y

Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: Tong cna hai toán tú A, B thu®c

L(X, Y ) là toán tú, ký hi¾u A + B, xác đ%nh bang h¾ thúc:

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.

Tích cna vô hưóng α ∈ R vói toán tú A ∈ L(X, Y ) là toán tú, ký

hi¾u

là αA, xác đ%nh bang h¾ thúc:

(αA)(x) = α(Ax).

De dàng kiem tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép

toán tong và tích trên đây thóa mãn h¾ tiên đe tuyen tính

T¾p L(X, Y ) tró thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng R

Đ%nh lý 1.4 Neu Y là không gian Banach, thì L(X, Y ) là không gian Banach.

Đ%nh lý 1.5 (Nguyên lý thác trien Hahn-Banach) Moi phiem hàm tuyen

tính liên tnc f xác đ%nh trên không gian tuyen tính con X0 cúa không gian đ%nh chuan X(X0 ƒ= X), đeu có the thác trien lên toàn không gian X vói chuan không tăng, nghĩa là có the xây dnng đưoc phiem hàm tuyen tính liên tnc F xác đ%nh trên toàn không gian X sao cho:

1) F (x) = f (x)(∀x ∈ X0);

2) "F " X = "f" X

0 .

H¾ quá 1.1 (xem [2]) Cho Y là không gian tuyen tính con cúa không

gian đ%nh chuan X và x0 ∈ X là m®t phan tú thóa mãn đieu ki¾n

Đ%nh nghĩa 1.8 (xem [2]) Cho không gian đ%nh chuan X trên trưòng

so thnc R Ta goi không gian L(X, R) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian X, là không gian liên hop (hay không gian đoi ngau) cúa không gian X và ký hi¾u X ∗ (thay cho ký hi¾u L(X, R)).

Đ%nh nghĩa 1.9 Không gian đ%nh chuan X goi là không gian phán

xa, neu X = X ∗∗

H¾ quá 1.2 Không gian phán xa là không gian Banach.

Đ%nh lý 1.6 Không gian con đóng cúa m®t không gian phán xa là

không gian phán xa.

Đ%nh nghĩa 1.10 (xem [2]) Cho không gian đ%nh chuan X, X ∗ là không gian liên hop cúa không gian X Vói moi x ∈ X ta xét ho γ x tat

cá các t¾p con cúa không gian X có dang:

V x = V (x; f1, f2, , f n) = .y ∈ X |f j (y) − f j (x)| < s, j = 1, 2, , n ,

trong đó n là so nguyên dương tuỳ ý, f1, f2, , f n là n phan tú tuỳ ý cúa không gian X ∗ , s là so dương tuỳ ý.

4) ∀V x ∈ γ x =⇒ ∃W x ∈ γ x sao cho (∀y ∈ W x )V x ∈ γ y

Do đó, ton tai m®t tôpô duy nhat trên không gian X sao cho tai moi điem x ∈ X ho γ x là m®t cơ só lân c¾n cúa điem x Tôpô này goi là tôpô yeu trên không gian X Ký hi¾u tôpô đó là τ (X, X ∗ ).

h®i tn yeu thì dãy đó b% ch¾n.

Đ%nh lý 1.9 Dãy (f n ) ⊂ X ∗ h®i tn yeu tói f ∈ X ∗ khi và chs khi

f (x n ) → f (x) vói moi f ∈ X ∗

Đ%nh lý 1.10 (xem [2]) Dãy (f n ) ⊂ X ∗ h®i tn yeu và X là không gian Banach, thì dãy "f n " b% ch¾n.

1.2 Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.13 Cho không gian tuyen tính X trên trưòng so thnc R.

Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa tù tích Descartes X × X vào R, ký hi¾u (·, ·), thoá mãn các tiên đe:

1) (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y);

2) (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ R)(αx, y) = α(x, y);

4) (∀x ∈ X)(x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là ký hi¾u phan tú

không),

(x, x) = 0, neu x = θ.

Các phan tú x, y, z, goi là các nhân tú cúa tích vô hưóng, so (x, y) goi là tích vô hưóng cúa hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2), 3), 4) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.

Đ%nh lý 1.11 (Bat đang thúc Schwarz) Đoi vói moi x ∈ X ta đ¾t

1) H là không gian tien Hilbert;

2) H là không gian Banach vói chuan "x" = ,(x, x), x ∈ H.

Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con cúa không gian H.

Đ%nh lý 1.13 (F.Riesz) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc trong không

gian Hilbert đeu có the bieu dien duy nhat dưói dang

f (x) = (x, a), x ∈ H trong đó, phan tú a ∈ H đưoc xác đ%nh duy nhat bói phiem hàm f và

"f" = "a"

Nh¾n xét 1.1 Tù đ%nh lý Riesz ta có moi phiem hàm tuyen tính liên

tnc f trên không gian Hilbert H tương úng m®t đoi m®t vói phan tú

a ∈ H Tương úng này vùa tuyen tính, vùa đang cn Vì v¾y, ta có the đong nhat moi phiem hàm f ∈ H ∗ vói phan tú a ∈ H, nghĩa là H ∗ =

H, nói m®t cách khác, không gian Hilbert H là tn liên hop.

Đ%nh nghĩa 1.16 (xem [7], [15]) M®t dang song tuyen tính a(·, ·)

trên m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan H là b% ch¾n ho¾c liên tnc, neu

∃C < ∞ sao cho

|a(u, v)| ™ C "u" H "v" H , ∀u, v ∈ H,

và búc trên V ⊂ H, neu

∃α > 0 sao cho a(v, v) “ α "v" H , ∀v ∈ V.

Nh¾n xét 1.2 Hang so C đưoc goi là hang so liên tnc, hang so α đưoc

goi là hang so búc Trong lu¾n văn, khi ta nhac đen dang song tuyen tính, liên tnc (b% ch¾n), búc thì ta m¾c đ%nh hang so liên tnc C và hang so búc α.

2

Đ%nh lý 1.14 Cho H là không gian Hilbert, và giá sú rang a(·, ·) là m®t

dang song tuyen tính đoi xúng, liên tnc trên H và búc trên V ⊂ H Khi

đó, (V, a(·, ·)) là m®t không gian Hilbert.

Chúng minh Vì a(·, ·) là búc nên a(·, ·) xác đ%nh trên V

Đ¾t "v" V = ,a(v, v), ∀v ∈ V thì "·" V xác đ%nh m®t chuan trên V

Đe chúng minh đ%nh lý 1.14 ta chí can chúng minh (V, "·"V ) đay Giá

sú rang dãy {v n } là dãy Cauchy trên (V, "·" V )

Theo giá thiet, a búc nên {v n } cũng là dãy Cauchy trên (H, "·" H )

Vì H là không gian đay nên ton tai v ∈ H sao cho v n → v trên chuan

"·" H M¾t khác, V đóng trong H nên v ∈ V

Do a(·, ·) b% ch¾n nên ton tai c1 > 0 sao cho

"v − v n " V ™ √ c1 "v − v n " H

Do đó, v n → v trong chuan "·" V và (V, "·"V ) là không gian đay

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không

gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tú A ∗ ánh xa không gian

Y vào không gian X goi là toán tú liên hop vói toán tú A, neu

(Ax, y) = (x, A ∗ y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Đ%nh lý 1.15 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, ton tai toán tú A ∗ liên hop vói toán tú A ánh xa không gian Y vào không gian X.

Đ%nh lý 1.16 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, toán tú liên hop A ∗ vói toán tú A cũng là toán tú tuyen tính b% ch¾n và "A ∗ " = "A".

Đ%nh nghĩa 1.18 Toán tú tuyen tính b% ch¾n A ánh xa không gian

Hilbert H vào chính nó goi là tn liên hop, neu

(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.

Toán tú tn liên hop còn đưoc goi là toán tú đoi xúng.

Đ%nh lý 1.17 Neu A là toán tú tn liên hop ánh xa không gian Hilbert

Đ%nh lý 1.18 Neu t¾p K b% ch¾n trong không gian Hilbert H, thì K là

t¾p compak yeu trong không gian H.

Đ%nh lý 1.19 (Stampacchia, xem [18]) Cho H là không gian Hilbert,

K là t¾p con, loi, đóng khác rong cúa H, a(·, ·) : H × H −→ R là m®t dang song tuyen tính sao cho ton tai hang so C > 0 và α > 0 thóa mãn:

|a(u, v)| ™ C "u" "v" ∀u, v ∈ H,

1.3 Không gian Sobolev

Đ%nh nghĩa 1.20 (Đao hàm suy r®ng, xem [1], [7]) α = (α1, , α n)

là kí hi¾u đa chs so vói α i là các so nguyên không âm, |α| = α1 + + α n Giá sú ξ = (ξ1, , ξ n ) ∈ R n , khi đó ξ α = ξ α1 ξ α n Đao hàm (suy r®ng)

cap α đưoc kí hi¾u

∂x n

Đ%nh nghĩa 1.21 (xem [1]) Kí hi¾u L p (Ω), 1 ™ p < ∞, là không gian

đ%nh chuan bao gom tat cá các hàm u(x) khá tong cap p theo

Lebesgue trong Ω vói chuan

trong không gian L2(Ω), p và q là hai so thnc sao cho p > 1,

p +

q =

1.

Khi đó ta nh¾n đưoc bat đang thúc tích phân H¨older

vói 1 ™ p < ∞ là không gian bao gom tat cá các hàm u(x) ∈

L p (Ω), sao cho ton tai các đao hàm suy r®ng moi cap α, |α| ™ m, thu®c L p (Ω) Trong W m (Ω), 1 ™ p < ∞ ta trang b% chuan

là không gian con đóng cna không gian H1(Ω) Tích vô hưóng và

chuan trong không gian H1(Ω) đưoc cho tương úng là:



Đ%nh lý 1.21 (Bat đang thúc Poincaré, xem [1]) Giá sú Ω = {x ∈ R n

¸

|u(x)| p dx ™ M

Ω Ω

Chương 2

Đ%nh lý Lax-Milgram

Trong phan đau cna chương này trình bày bài toán bien phân đoi xúng

và nghiên cúu ve sn duy nhat nghi¾m cna bài toán bien phân đoi xúng.Tuy nhiên, trong thnc te bên canh các bài toán bien phân đoi xúng thì

có m®t lưong lón các bài toán, úng dung vói đieu ki¾n là không đoi xúng.Phan chính trong chương này t¾p trung nghiên cúu đ%nh lý Lax-Milgramcho bài toán bien phân đoi xúng, bài toán bien phân không đoi xúngtrong không gian Hilbert và m®t so hưóng mó r®ng trong không gianBanach

2.1 Bài toán bien phân

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trưòng so thnc Ta biet

rang, rat nhieu bài toán trong thnc te cũng như trong lý thuyet se

dan đen bài toán quen thu®c: cho A là toán tú tuyen tính tù H vào chính nó, vói moi điem y thu®c H tìm x thu®c H sao cho

22

Ve m¾t tong quát, vi¾c giái phương trình (2.1) là không he đơn gián vàkhông phái lúc nào phương trình cũng có nghi¾m Nên ta thưòng chuyenphương trình (2.1) ve dang yeu hơn đe nghiên cúu, cu the, ta nhân vôhưóng cá hai ve cna phương trình (2.1) vói moi v thu®c H Khi đó, ta nh¾n đưoc bài toán yeu hơn, tìm x thu®c H sao cho

bài toán bien phân.

Bang cách tong quát hoá, ta đ%nh nghĩa bài toán bien phân đoi xúng

và bài toán bien phân không đoi xúng m®t cách cu the trong muc 2.1.1

và muc 2.1.2

2.1.1 Bài toán bien phân đoi xNng

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trưòng so thnc, V là không gian con đóng cna H, V ∗ là không gian đoi ngau cna V và a(·, ·) là dang song tuyen tính đoi xúng, b% ch¾n, búc trên V Bài toán bien

phân đoi xúng là bài toán 2.1

Bài toán 2.1 (Bài toán bien phân đoi xúng) Cho F ∈ V ∗ , tìm u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V

Ví dn 2.1 Cho H = R2, V = R vói tích vô hưóng và chuan Euclide, vói moi x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 ta đ¾t

a(x, y) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + x2y2, (2.3)

de thay, a(·, ·) là dang song tuyen tính đoi xúng, b% ch¾n và búc trên

V Khi đó, vói moi F ∈ V ∗ = R ta tìm u ∈ V = R sao cho a(u, v)

=

F (v), ∀v ∈ V = R tương đương vói uv = F v, ∀v ∈ R suy ra u = F V¾y

u = F chính là nghi¾m cúa bài toán bien phân đoi xúng trên.

Ví dn 2.2 Van vói các giá thiet như trong ví dn 2.1, ta thay V =

{(x, 2x)|x ∈ R} ⊂ R2 Khi đó, vói moi F = (f1, f2) ∈ V ∗ ta tìm

u = (u1, 2u1) ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v = (v1, 2v1) ∈ V tương đương

f1 + 2f2

vói 13u1v1 = v1(f1 + 2f2), ∀v ∈ R suy ra

u1 =

V¾y u =13

chính là nghi¾m cúa bài toán bien phân đoi xúng trên.

Khi V là không gian con vô han chieu, thì vi¾c giái bài toán 2.1 khôngphái lúc nào cũng làm đưoc Cho nên, vi¾c giái xap xí bài toán 2.1 cũng

là m®t van đe thòi sn trong toán hoc hi¾n nay, ta có the tìm thay trong

[10], [17] é đây, ta chí nêu m®t so ket quá cna phương pháp xap xíRitz- Galerkin cho bài toán 2.1

Neu V h là không gian con huu han chieu cna V , thì bài toán xap xí

Ritz-Galerkin là bài toán 2.2

Bài toán 2.2 (Bài toán xap xí Ritz-Galerkin) Cho F ∈ V ∗ , tìm u h ∈ V h sao cho a(u h , v) = F (v), ∀v ∈ V h

Đ%nh lý 2.1 cho ta ket quá ve tính ton tai và duy nhat nghi¾m cnabài toán 2.2

1

3

Đ%nh lý 2.1 Bài toán xap xs Ritz - Galerkin 2.2 có nghi¾m duy nhat,

có nghĩa là ton tai duy nhat u h ∈ V h sao cho a(u h , v) = F (v), ∀v ∈

V h

Chúng minh Theo giá thiet, V h là không gian con huu han chieu cna

V nên V h là không gian con đóng cna V Theo chúng minh cna đ%nh

lý 1.14 ta có (V, a(·, ·)) là không gian Hilbert Áp dung đ%nh lý 1.14,

suy ra (Vh , a(·, ·)) l¾p thành m®t không gian Hilbert con cna V Theo đ

%nh lý Riesz thì ton tai duy nhat u h ∈ V h sao cho a(u h , v) = F (v), ∀v

∈ V h

Nh¾n xét 2.1 Giá sú u, u h lan lưot là nghi¾m cúa bài toán 2.1 và bài toán 2.2 thì vói ∀v ∈ V h ta có a(u, v) − a(u h , v) = F (v) − F (v) suy ra a(u − u h , v) = 0, hay u − u h trnc giao vói V h theo a(·, ·).

2.1.2 Bài toán bien phân không đoi xNng

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trưòng so thnc, V là không gian con đóng cna H, V ∗ là không gian đoi ngau cna V , V h là không

gian con huu han chieu cna V và a(·, ·) là dang song tuyen tính không đoi xúng, b% ch¾n, búc trên V Bài toán bien phân không đoi xúng là

bài toán 2.3

Bài toán 2.3 (Bài toán bien phân không đoi xúng) Cho F ∈ V ∗ , tìm

u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V

Khi đó, ta có bài toán xap xí Galerkin tương úng bài toán bien phânhuu han chieu là bài toán 2.4

Bài toán 2.4 (Bài toán xap xí Galerkin) Cho F ∈ V ∗ , tìm u h ∈ V h sao cho a(u h , v) = F (v), ∀v ∈ V h

Ta thay, bài toán xap xí Ritz-Galerkin 2.2 có nghi¾m duy nhat.Li¾u đieu này còn đúng trong bài toán bien phân đoi xúng và bàitoán bien phân không đoi xúng nua hay không? Ta se giái quyet van đenày trong muc 2.2

2.2 Đ%nh lý Lax-Milgram

• Đ%nh lý Lax-Milgram cho dang đoi xNng

Đ%nh lý 2.2 (xem [5], [13]) Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·)

là dang song tuyen tính đoi xúng liên tnc, búc trên V và phiem hàm tuyen tính liên tnc F ∈ V ∗ Khi đó, ton tai duy nhat u ∈ V sao cho

a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V. (2.4)

Chúng minh Theo đ%nh lý 1.14, ta có a(·, ·) là tích vô hưóng trên V

nên (V, a(·, ·)) l¾p thành m®t không gian Hilbert Ta có F là m®t

phiem hàm tuyen tính liên tuc trên không gian Hilbert (V, a(·, ·)) nên áp

dung đ%nh lý Riesz suy ra ton tai duy nhat u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V

• Đ%nh lý Lax-Milgram cho dang không đoi xNng

Đ%nh lý 2.3 Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·) là dang song tuyen tính liên tnc, búc trên V và phiem hàm tuyen tính liên tnc F ∈

V ∗ Khi đó, ton tai duy nhat u ∈ V sao cho

a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V. (2.5)

Chúng minh Cho tùy ý u ∈ V , ta đ%nh nghĩa phiem hàm Au(v) = a(u, v), ∀v ∈ V

1 Au là tuyen tính

Vì v¾y, Au là phiem hàm tuyen tính trên V

Tương tn, ta có the chí ra rang ánh xa G : V −→ V ∗ , u −→ Au

là ánh xa tuyen tính Vì, vói ∀v ∈ V, ∀u, ur ∈ V, ∀α, β ∈ R thì

[G(αu + βu r )](v) = A(αu + βu r )(v) = a(αu + βu r , v)

= αa(u, v) + βa(u r , v)

= αAu(v) + βAu r (v)

= αG(u)(v) + βG(u r )(v)

= [αG(u) + βG(u r )] (v).

Suy ra, G(αu + βu r ) = αG(u) + βG(u r)

Theo đ%nh lý Riesz, vói moi ϕ ∈ V ∗ , ton tai duy nhat τϕ ∈ V sao cho ϕ(v) = (τϕ, v), ∀v ∈ V , trong đó, τ : V ∗ −→ V, ϕ ›→ τϕ là ánh

xa 1 − 1 Như the, ta can tìm m®t u duy nhat sao cho Au(v) = F (v),

∀v ∈ V , nói cách khác ta tìm u duy nhat sao cho Au = F trong V ∗ ho¾c τ Au = τ F trong V

Bây giò ta se sú dung nguyên lý ánh xa co

Au ( v )

Ta đi tìm ρ ƒ= 0, sao cho ánh xa T : V −→ V là ánh xa co, trong

đó

T đưoc đ%nh nghĩa

Tv := v − ρ(τ Av − τ F ), ∀v ∈ V.

Neu T là ánh xa co thì theo nguyên lý ánh xa co, ton tai duy nhat

u ∈ V sao cho Tu = u − ρ(τ Au − τ F ) = u nghĩa là ρ(τ Au − τ

F ) = 0 hay τ Au = τ F Nên, ta chí can chí ra ton tai ρ ƒ= 0 đe sao cho T là ánh xa co.

Suy ra, vói ρ ∈ (0,

C2 ) thì T là ánh xa co Nên theo nguyên lý

xa co, ton tai duy nhat u ∈ V sao cho τ Au = τ F , có nghĩa là ton

tai

duy nhat u sao cho Au(v) = F (v), ∀v ∈ V

H¾ quá 2.2 Bài toán bien phân không đoi xúng 2 3 và bài toán xap xs Galerkin 2.4 có nghi¾m duy nhat.

Đ%nh lý 2.4 (Céa, xem [10]) Giá sú rang các đieu ki¾n cúa bài toán

bien phân không đoi xúng thóa mãn và u là nghi¾m cúa bài toán a(u, v) =

F (v), ∀v ∈ V Cho u h là nghi¾m cúa bài toán bien phân huu han chieu

C a(u h , v) = F (v), ∀v ∈ V h Khi đó, ta có "u − u h " V

™

min "u − v" V ,

∈ h

trong đó C là hang so liên tnc và α là hang so búc cúa a(·, ·).

Chúng minh Vì a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V và a(u h , v) = F (v), ∀v ∈ V h nên ta có a(u − u h , v) = 0, ∀v ∈ V h Vói ∀v ∈ Vh, ta có:

α "u − u h 2 ™ a(u − u h , u − u h)

= a(u − u h , u − v) + a(u − u h , v − u h)

= a(u − u h , u − v)(vì v − u h ∈ V h và sú dung tính trnc giao)

= min "u − v" V (vì V h đóng)

∈ h

V¾y, ta có đieu can chúng minh

2.3 Đ%nh lý Lax-Milgram má r®ng

2.3.1 Đ%nh lý Lax-Milgram trên không gian Banach phán xa

Trong phan này, ta nghiên cúu dang mó r®ng cna đ%nh lý Lax-Milgram trong không gian Banach và không gian Banach phán xa

Cho X là không gian Banach phán xa, Y là không gian Banach trên

trưòng so thnc R và các không gian đoi ngau tương úng là X∗ , Y ∗ Kí

α v V

"

V

α v V

hi¾u, < x ∗ , x > là x ∗ ∈ X ∗ tác đ®ng vào phan tú x ∈ X Neu M là

m®t

t¾p con cna X, ta kí hi¾u M ⊥ là t¾p linh hóa tú cna t¾p M trong X ∗ và

neu N là m®t t¾p con cna X ∗, ta kí hi¾u ⊥ N là t¾p tien linh hóa tú cna t¾p N trong X ∗, đưoc xác đ%nh bói:

M ⊥ = {x ∗ ∈ X ∗ < x ∗ , x >= 0, ∀x ∈ M},

⊥ N = {x ∈ X < x ∗ , x >= 0, ∀x ∗ ∈ N}.

Đ%nh lý 2.5 (xem [8]) Cho X là không gian Banach phán xa, Y là

không gian Banach và ánh xa

là dang song tuyen tính liên tnc, thóa mãn hai đieu ki¾n sau:

i) a(·, ·) không suy bien vói bien thú hai, nghĩa là, vói moi y ∈ Y \ {0}

ton tai x ∈ X sao cho a(x, y) ƒ= 0;

ii) Ton tai α > 0 sao cho

sup

"y"=1 |a(x, y)| “ α "x" , ∀x ∈ X. (2.7)

Khi đó, vói moi y ∗ ∈ Y ∗ đeu ton tai duy nhat m®t phan tú x ∈ X sao cho

a(x, y) = (y ∗ , y) , ∀y ∈ Y. (2.8)

Chúng minh Giá sú, T là ánh xa tù X vào Y ∗ vói (T x, y) = a(x, y), ∀x

∈

X, y ∈ Y Theo giá thiet, a là dang song tuyen tính liên tuc nên T là ánh

xa tuyen tính liên tuc Theo đieu ki¾n ii) suy ra "T x" = sup

|a(x, y)| “

α "x" , ∀x ∈

là đơn ánh