Một số vấn đề của hình học lồi và ứng dụng chúng trong việc giải toán hình học ở phổ thông

Trong trường hợp các hình cần xét không lồi, người ta tìm cách nghiên cứu bằng phương pháp xấp xỉ với một họ tập lồi.. Ở trường phổ thông, tôi nhận thấy hình học lồi đóng vai trò tương đ

3

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -&@& -

LÊ BÁ HOÀNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LỒI VÀ ỨNG DỤNG CHÚNG TRONG VIỆC GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC Ở PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, THÁNG 8/2016

4

MỤC LỤC

Trang

1 Tập lồi, bao lồi trong không gian vectơ n 6

1 Một vài nhận xét về vai trò của bao lồi và định

lý Helly trong việc giải toán ở phổ thông

2.1.2 Đa giác bao (bao lồi) của tập hợp điểm trong

3.2 Một số bài toán hình học phổ thông giải bằng

5

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học lồi là bộ môn khoa học nghiên cứu tính lồi của các hình hình học trong không gian véctơ thực Về lý thuyết, hình học lồi là cơ sở lý luận cho nhiều ngành toán học khác nhau (như Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, Toán kinh tế,…) Về ứng dụng, cấu trúc lồi của các hình hình học xuất hiện nhiểu trong các bài toán thực tế Nói riêng, chương trình hình học ở phổ thông chủ yếu nghiên cứu các hình lồi Trong trường hợp các hình cần xét không lồi, người ta tìm cách nghiên cứu bằng phương pháp xấp xỉ với một

họ tập lồi Điều đó cho thấy những kiến thức về hình học lồi rất bổ ích đối với học sinh phổ thông, nhất là học sinh trung học phổ thông Việc cung cấp cho học sinh giỏi những kiến thức cơ bản về hình học lồi sẽ làm nền tảng cho các em sau này

Ở trường phổ thông, tôi nhận thấy hình học lồi đóng vai trò tương đối quan trọng trong các đề thi học sinh giỏi Các bài toán hình học lồi gần gũi với thực tiễn và góp phần quan trọng trong việc hình thành tri thức toán phổ thông cho người học Tuy vậy, cách thức trang bị kiến thức hình học lồi cho học sinh trung học phổ thông (THPT) là điều rất mới Với mục đích đưa một vài chủ đề của môn hình học lồi cho học sinh THPT học tập, nghiên cứu

một cách độc lập, chủ động, tôi trình bày đề tài luận văn với tiêu đề: “MỘT

SỐ VẤN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC LỒI VÀ ỨNG DỤNG CHÚNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHỔ THÔNG”

Luận văn này được chia làm hai chương:

Chương 1: Một số vấn đề của hình học lồi

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm trong hình học lồi và tính chất cơ bản của chúng Chương này là cơ sở lý thuyết soi sáng những vấn đề của hình học lồi trong không gian với số chiều bé mà chúng tôi muốn ứng dụng để dạy cho học sinh phổ thông trong chương sau

6

Chương 2: Vấn đề bao lồi và định lý Helly trong hình học phổ thông

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày những nhận xét về vai trò

của bao lồi và định lý Helly trong việc giải toán hình học ở phổ thông Sau

đó chúng tôi trang bị một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh cho học sinh phổ thông, bao gồm:

- Chỉ rõ cấu trúc bao lồi phẳng, tức là bao lồi của tập hợp điểm trong mặt phẳng

- Chứng minh Định lý Helly trong không gian véc tơ n với n =1, 2, 3

- Trình bày một số bài toán hình học ở phổ thông giải bằng phương pháp bao lồi phẳng và một số bài toán hình học ở phổ thông giải bằng phương pháp sử dụng định lý Helly

Luận văn này được hoàn thành vào tháng 8 năm 2016

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo

PGS.TS Phạm Ngọc Bội đã nhiệt tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình

học tập và nghiên cứu Tôi chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc chuyên ngành Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo khoa Toán của trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn này

7

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Tập lồi, bao lồi trong không gian vectơ n

Trong luận văn này, chúng tôi xét không gian n Với hai phép toán: cộng (+) và nhân (.), n lập thành một - không gian vectơ Mỗi vectơ của

ncũng được gọi là một điểm Trên n

ta định nghĩa tích vô hướng như sau:

(xi), y = (yi) Ta nói x và y trực giao với nhau hoặc vuông góc với nhau nếu

x, y = 0 Chuẩn của x  n , ký hiệu là x , được xác định bởi

,

x  x x

1.1 Định nghĩa

a) Cho hai vectơ x, y , tập hợp các vectơ z = x + (1-)y, 0   1 được

gọi là đoạn thẳng có các mút là x, y, ký hiệu là [x, y]; hoặc ký hiệu đơn giản

x + (1-)y  B(O, r),  [0, 1]

Xét x + (1-)yx+(1-)y = .x+1-.y r + (1- )r = r

Suy ra x + (1-)y  A,  [0, 1] Vậy A lồi

1.2.3 Các nửa không gian là lồi

Vậy nửa không gian B đóng là tập lồi

Ta chứng minh tương tự đối với C, D, E Khi đó C, D, E đều là những

1()(

),)(

1(),(x1 y1   x2 y2  x12  y12   x22  y22



<  + (1-) = 1

Khi đó x + (1-)y  A Vậy A là tập lồi

Ta chứng minh theo quy nạp

Với m = 2 ta kết luận đúng (theo định nghĩa)

Giả sử mệnh đề đúng với m ta cần chứng minh đúng với m +1

x





  A Từ đó ta suy ra A lồi 

10

1.4 Định lý Giả sử A  n Khi đó co(A) là tập hợp tất cả các tổ

hợp lồi của các điểm thuộc A

Chứng minh

Ta ký hiệu B là tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc A Vì co(A)

là tập lồi nên co(A) chứa tất cả các tổ hợp lồi của nó nên

11

1.5 Mệnh đề

a) Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là tập lồi

b) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là tập lồi

Khi đó với x, y  A và 0    1 (giả sử x = 1x1 + 2x2 + + n x n ; y =

1y1 + 2y2 + + n y n, trong đó xi, yi  Ai, i = 1, 2, , n) thì

Để chứng minh co(A  B) = C, ta chứng minh co(A  B)  C và

C  co(A  B) Khi đó, với mọi a  A, b  B và 0  1 thì

a + (1- )b  co(A  B) (vì a, b  A  B) Vậy C  co(A  B) (1.6.a)

12

Ngược lại, ta chứng minh co(A  B)  C, nghĩa là lấy một phần tử bất

kỳ thuộc co(A  B), chứng minh nó thuộc C

Thật vậy, lấy x bất kỳ thuộc co(A  B) , x = 

- Nếu chứng minh tương tự

Ngược lại A  x  A nên co(A)  co(x  A)

Vậy co(x  A) = co(A) 

13

2 Một số định lý cơ bản của hình học lồi

2.1 Định lý Carathéodery Giả sử A  n Khi đó, mỗi điểm của tập coA là tổ hợp lồi của không quá n + 1 điểm khác nhau của A

i = 0, với mọi i > h, trong đó h  n +1, nghĩa là ta

có thể biểu diễn x dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n + 1 điểm xi, i = 1, 2, ., h, h  n + 1 

2.2 Định lý Radon Một tập có ít nhất n+2 điểm trong n

có thể chia thành hai tập con có bao lồi giao nhau

Chứng minh

Một tập có m n 2 điểm x x1 , 2 , ,x m không thể độc lập affine, vì thế,

tồn tại bộ số a a1 , 2 , ,a m 0 sao cho

1

0

m

i i i

1

Chứng minh

Ta chứng minh quy nạp theo số m các tập lồi

Nếu m = n + 1 Theo bài ra ta điều phải chứng minh

k

i i

k

j i i i

1

1 1

Hệ (1) có nghiệm không tầm thường 1,2, ,k10

Không giảm tổng quát có thể giả thiết là 1  0, , r  0; r10, , k1  0

Khi đó do 1, 2, , k1 0 cho nên 0

1

1 1

i

Theo trên ta có:

1

1

k

i j j

1



Mặt khác ta có

k

r I i r

C 

Theo nguyên lý quy nạp ta có m

j j

16

CHƯƠNG II

VẤN ĐỀ BAO LỒI VÀ ĐỊNH LÝ HELLY HÌNH HỌC Ở PHỔ THÔNG

1 Một vài nhận xét về vai trò của bao lồi và định lý Helly trong việc giải toán ở phổ thông

Hiện nay ở THPT hình học ở sách giáo khoa ở phổ thông (Hình học chính thống) chưa đủ để trang bị kiến thức cho học sinh vào các lớp năng khiếu toán Các bài toán hình học thi vào các lớp chuyên, thi học sinh giỏi thường xuất hiện các dạng toán như: hình học tổ hợp, hình học lồi, lý thuyết

đồ thị, các bài toán tô màu ngày càng nhiều Vì thế việc cung cấp cho học sinh một lượng kiến thức để giải quyết các bài toán trên là hết sức quan trọng

Chương trình hình học chính thống chủ yếu nghiên cứu các cấu trúc lồi Trong trường hợp các hình cần xét không lồi, người ta tìm cách nghiên cứu bằng phương pháp xấp xỉ với một họ tập lồi Điều đó cho thấy việc hiểu biết

và nghiên cứu các tính chất của hình học lồi có tầm quan trọng đối với học sinh phổ thông Ở nước ta, các yếu tố của hình học tổ hợp, hình học lồi được đưa vào nhà trường phổ thông dưới dạng sách, tài liệu tham khảo; chúng cũng được đưa vào trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Do đó, các vấn đề này vẫn là một điểm yếu trong giảng dạy và học tập và nghiên cứu tại các trường phổ thông Hai trong các vấn đề cơ bản của hình học lồi là:

1 Tìm bao lồi của một hình, trong đó các bài toán thường quy về tìm bao lồi của một hệ điểm Cơ sở lý thuyết của vấn đề này trong không gian 2đã được các sách và tài liệu tham khảo trình bày một cách sơ lược Các sách và tài liệu tham khảo cũng đưa ra một số ví dụ ứng dụng Trong các kỳ thi học sinh giỏi, các bài toán cần phải sử dụng phương pháp bao lồi để giải xuất hiện ngày càng nhiều

2 Điều kiện để một họ tập lồi đã cho có điểm chung Về vấn đề này, Định lí Helly là một trong các định lý cơ bản Cấu trúc của Định lý này đơn

Hy vọng của chúng tôi là: sau khi hoàn thiện luận văn, chương 2 sẽ được

bổ sung thêm các ví dụ để xuất bản dưới dạng tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là đối với học sinh giỏi của các trường phổ thông

2 Đa giác bao (bao lồi) của một tập hợp điểm trong mặt phẳng

2.1 Cơ sở lý thuyết

2.1.1 Khái niệm về hình lồi.

Trong sách giáo khoa ở phổ thông không có đưa ra định nghĩa về hình lồi

mà chỉ định nghĩa một số hình lồi cụ thể: chẳng hạn như sách giáo khoa lớp

8 định nghĩa tứ giác lồi là tứ giác mà khi ta chọn bất kỳ một cạnh làm bờ thì toàn bộ tứ giác nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh

đã chọn

Như vậy, các đa giác lồi ở hình học phổ thông thực chất là giao của các hình lồi là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa các cạnh của đa giác Trong hình học phẳng chúng ta đã làm quen với các hình lồi, chẳng hạn như hình tam giác, hình tròn hình thang cân, hình bình hành và các đa giác

đều là các hình lồi (Hình 1)

Hình 1

18

Trong các sách giáo khoa nói chung các đa giác lồi các đa giác lồi được

đề cập tới được định nghĩa như sau: một đa giác là đa giác lồi khi nó nằm về

một phía của đường thẳng đi qua một cạnh bất kỳ

Nhưng định nghĩa này rất hạn chế không thể áp dụng cho hình có ít nhất một cạnh không là đoạn thẳng (chẳng hạn như hình tròn, hình elip) hoặc hình không có giới hạn trong mặt phẳng (như góc)

Để mở rộng khái niệm hình lồi ta đưa ra định nghĩa sau đây :

Định nghĩa hình lồi (xem [1]) Hình H được gọi hình lồi khi và chỉ khi

với hai điểm bất kỳ A, B thuộc H thì đoạn thẳng AB cũng nằm hoàn toàn trong nó (Hình 2)

Từ định nghĩa này cũng phù hợp với đa giác lồi là hình lồi

Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích là nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó) và bị chặn (có thể phủ nó bằng một hình tròn đủ lớn)

Ngoài ra có các hình lồi không bị chặn: nửa mặt phẳng, một góc nhỏ hơn

1800, một dải, phần mặt phẳng giới hạn bởi một đường parabol

2.1.2 Đa giác bao (bao lồi) của tập hợp điểm trong mặt phẳng

Trong các tài liệu tham khảo vấn đề bao lồi chủ yếu được trình bày trên đường thẳng và mặt phẳng Trong luận văn này chúng tôi trình bày lại định

lí về bao lồi của hệ điểm trong mặt phẳng

A

B

H

Hình 2

19

Định lý (xem [1]) Trong mặt phẳng cho n điểm không cùng thuộc một

đường thẳng Khi đó luôn tồn tại một đa giác lồi m cạnh (mn) có đỉnh là m trong n điểm đã cho sao cho các điểm còn lại không nằm ngoài đa giác Chứng minh:

Vì số điểm đã cho là hữu hạn

nên tồn tại một đường tròn O có

(nếu có nhiều điểm thì chọn A1 là điểm

cuối cùng bên phải)

Qua A1 ta kẻ đường thẳng d//xy (Hình 3)

Quay đường thẳng d điểm A1 ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi gặp một điểm đã cho ta được đường thẳng d1, gọi điểm vừa gặp là A2 (nếu có

nhiều điểm vừa gặp thì chọn điểm A2 là điểm xa nhất)

Quay d1 quanh A1 như cách làm trên ta được các d2 , d 3 , , cho đến khi

được đường thẳng qua A1 gọi là dm, ta nhận được đa giác lồi A1 A 2 A m thỏa

mãn đề bài

y x

20

2.2 Một số bài toán ứng dụng đa giác bao để giải toán hình học phổ thông

Bài toán 1 Trong mặt phẳng cho tập A gồm 6 điểm trong đó không có 3

điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm thuộc A để

chúng tạo nên góc không nhỏ hơn 0

X

i X

21

Nếu bao lồi của M không phải là một hình lục giác Lúc đó luôn tồn tại ít

nhất 1 điểm X hM nằm trong tam giác X X X i j k với X X i, j,X kM ,

Từ 2 trường hợp trên ta suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2 Trên mặt phẳng cho một số n giác đều Chứng minh rằng

bao lồi của nó là một đa giác có không ít hơn n đỉnh

Chứng minh

Rõ ràng bao lồi cần tìm là một đa giác lồi mà các đỉnh của nó nằm trong

tập hợp các đỉnh của n giác đều đã cho Gọi m là số đỉnh của đa giác bao lồi

Khi đó, tổng các góc trong của đa giác bao lồi này là: 0

Để ý rằng: bao lồi của n – giác đều phải

chứa tất cả n – giác đều bên trong Vì vậy

tại mọi đỉnh của m – giác bao lồi có góc

đều phải lớn hơn hoặc bằng (n 2)1800

n



Điều này chứng tỏ:   0

2 180

n n

22

Bài toán 3 Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm không cùng nằm

trên một đường thẳng Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm sao cho đường tròn

đi qua nó không chứa điểm nào đó ở bên trong

Chứng minh

Vì số điểm đã cho là hữu hạn và không cùng nằm trên một đường thẳng

xét hệ n điểm E = A A A1 , 2 , 3 , ,A n nên theo định lí về đa giác bao ta có bao lồi của hệ điểm đã cho là một đa giác Giả sả đa giác lồi đó là

A k+1

A p-1

A p

A k-1

A 2

1 A

23

k+1

k

A A

cách khác trong đường tròn đi qua 3 điểm A k, A k1, C không chứa điểm nào

của hệ n điểm đã cho

I I I ln và Ir1 là điểm gần điểm A k nhất Theo nguyên lý cực

hạn điểm C sao cho

A CI thì các điểm còn lại của

hệ n điểm nằm ngoài tam giác

Từ đây ta suy ra bài toán được chứng minh

Bài toán 4 Trong mặt phẳng cho n ( n 6) điểm phân biệt Với mỗi 2 điểm trong chúng nối thành một đoạn thẳng Chứng minh rằng tỷ số giữa hai đoạn thẳng dài nhất với đoạn thẳng ngắn nhất lớn hơn hoặc bằng 3

24

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh bài toán đúng với n = 6

Giả sử X A A A A A A1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6là tập hợp sáu điểm đã cho

Đặt d maxA A i j với i j i j, , 1,6, k = minA A i j với i j i j, , 1,6 Ta

phải chứng minh d 3

k  Xét các trường hợp sau

k  A A   Điều khẳng định của bài toán đúng trong trường hợp này

Xét tổng quát không có 3 điểm nào thẳng hàng

Gọi  là bao lồi của 6 điểm đã cho Khi đó xảy ra các khả năng sau:

- Bao lồi là tam giác

Giả sử tam giác đó là A A A1 2 3) Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng nên 3

điểm còn lại là A A A4, 5, 6 nằm hẳn trong tam giác A A A1 2 3

- Bao lồi là tứ giác, giả sử là tứ giác A A A A1 2 3 4 (Hình 12)

Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng nên 2 điểm A A5, 6 phải nằm hẳn trong các tam giác A A A1 2 3 hoặc tam giác A A A1 3 4

26

Giả sử A5 thuộc phần trong tam giác A A A1 3 4 Xét tam giác A A A1 3 4 có A5

nằm trong nên lập luận tương tự như trên ta cũng có điều phải chứng minh

- Bao lồi là ngũ giác, giả sử là ngũ giác A A A A A1 2 3 4 5(Hình 13)

Lập luận tương tự như các trường hợp trên ta suy ra điểm A6 thuộc phần trong mặt phẳng của 1 trong các tam giác A A A A A A A A A1 2 4, 2 4 3, 1 4 5, giả sử A6

thuộc phần trong của tam giác A A A1 4 5, tương tự như trên ta lại quay về trường hợp 2

- Bao lồi là một lục giác A A A A A A1 2 3 4 5 6 Khi đó tổng các góc trong của lục giác A A A A A A1 2 3 4 5 6 là 0

Trong n điểm đã cho ta chọn 6 điểm Theo chứng minh trên tồn trong 6

điểm đã chọn tồn tại hai cạnh d và k sao cho d 3

k  Xét các đoạn thẳng tạo bởi có một đỉnh là 1 trong 6 điểm đã chọn với n-6 điểm còn lại và các đoạn thẳng có 2 đỉnh là đỉnh của n-6 điểm còn lại Đặt

27

Bài toán 5 Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm Chứng minh rằng

luôn luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất không có quá 3 điểm đã cho

Xét bao lồi của , khi đó có hai khả năng xảy ra:

1 Nếu bao lồi của  là một đoạn thẳng AB

Khi đó gần đỉnh đầu mút của nó chỉ có không quá một điểm của hệ Thật

vậy, mọi điểm cách A một đoạn d là các điểm của tập hợp , nên nó thuộc bao lồi của , tức là thuộc AB Như vậy có tối đa một điểm gần A nhất

2 Nếu bao lồi của  là một đa giác lồi Ta chọn A là một đỉnh của bao

lồi tập 

A

d d

Giả sử A gần nhất có quá 3 điểm có khoảng cách bằng d tới A Theo cách đặt của d , thì với mọi i j, B Bi j d(ở đây B , B , B , B ,1 2 3 4 , B ,k kn)là các

điểm có khoảng cách tới A đều bằng d, Hình 14) Xét các tam giác cân

180 , điều này mâu thuẫn với (*), chứng tỏ giả thiết phản chứng

là sai suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 6 Trong mặt phẳng cho 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào

thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 3 tam giác không nhọn có đỉnh

E

D

C B

A

D E

C B

A

Khi đó D, E nằm trong tam giác ABC Xét điểm E, ta có:

0

360

0  AEB 180 , 0 BEC 180 , 0 CEA 180nên trong 3 góc AEB BEC CEA, , tồn tại ít nhất hai góc lớn hơn 0