Cm BDT nhanh, dễ hiểu, các BDT thi vào lớp 10 chuyên.Tuyển tập Bất đẳng thức với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới từ các bạn trẻ và thầy cô yêu toán trên mọi miền tổ quốc. Ở đó bao gồm các bài bất đẳng thức mới sáng tạo, các ... Điều đó tạo nên sự hấp dẫn, tính cập nhật và thời đại của tài liệu này. Hy vọng nó sẽ đem đến cho mọi người một trải ..
Trang 1Bài 1: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:
(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:
Giâ sử bmax ; ;a b c
Bất đẳng thức tương đương
0
2
1
rằng:
a c
(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:
Giâ sử a c , suy ra a2 c2 b ac 2 b 0 2
Mà ac và b là các số nguyên dương nên 2 b ac 2 1, suy ra b b ac 2 b ac2
Vậy a2 c2 b ac 2 b ac2 hay c2 a2 ac2 0
c a ac c a a
Trang 2a b
a b ab
(Vasile Cirtoaje)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta có
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
2
a b
a b a b 2 2 2 2
2
2
a b
a b
a b ab ab ab ab ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
8
a b b c a c a b c a b b c a c
(Diễn đàn K2pi)
Lời giải:
Áp dụng tương tự ta được
hay là
Trang 3 2 2 2 2 2 2
Vậy, ta cần chứng minh
8
0
a b a b b c b c a c a c (đúng)
0
a b c
1
(Belarusia MO 1998)
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương
1
hay là
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 a b c
ac b a c b
b b c c b c c b c b a c a b
Trang 4Vậy, ta cần chứng minh
2
a b c bc
0
b a c ac
a abc b b abc c a abc c
(Nguyễn Văn Thạch)
Lời giải:
a b c abc và để ý rằng
3
a a b c abc a c
a
a abc b a abc b
ta được
abc
a abc b b abc c a abc c
hay là
b a abc b c b abc c a a abc c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz, ta được
a c
bc a abc b ac
b a abc b
ac bc a abc b
Vậy ta có điều phâi chứng minh
Trang 5Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a b c
2
(VQBC – Phương pháp Cauchy-Schwarz chứng minh BĐT)
Lời giải:
3 3 3
4 3
4 4 4
3 3
2
a b c a b c
a c
a b c
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có
2
2 2 2 2 2 2
4 3
1 4
a b b c a c
a c
Vậy, ta suy ra
4 3
3 3
1 4
a c
Như thế ta chỉ cần chứng minh được
0
a ab b a b
Trang 6Bài 8: Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:
18
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Bất đẳng thức tương đương
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
a b c
Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có
3
2
a b c
Vậy ta cần chứng minh
2
a b c a b c ab bc ac
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
a b c a b c ab bc ac abc a b c a b c Suy ra
81
2
a b c a b c a b c ab bc ac
Vậy ta có điều phâi chứng minh
Trang 7Dấu đẳng thức xây ra khi và chỉ khi a b c
7
5a ab bc5b bc ac5c ac ab
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
4
Vậy ta cần chứng minh rằng
28 a b c 3 b c 5a ab bc , hay là
28a 58a b85ab 156a b 15abc a b c
Ta có các đánh giá sau
a a b abc a b c
Cộng vế theo vế các đánh giá trên, ta có điều phâi chứng minh
Trang 86
a b c
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
2
nên ta cần chứng minh
2
24
Ta sẽ chứng minh 2 bất đẳng thức sau
a bc b ac c ab
25
a bc b ac c ab
Ta có bất đẳng thức tươn đương
a bc b ac c ab
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Trang 9
2
ab bc ac
bc ac ab
a bc b ac c ab abc a b c a b b c a c
25
Giâ sử cmin ; ;a b c Đặt
2
b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2
tc ab t nên
2a b 3tabc4t c2t 3t c4t c t ab 2t 2ab3tc 2t 3t c4t c, suy ra
t ab tc t tc
a bc b ac t t c t c t t c t c t tc
Vậy, ta suy ra được
25 25
Ta có điều phâi chứng minh
Trang 10Bài 11: Cho a , b là các số thực không âm tùy ý thỏa mãn 4
5
1
(Diễn đàn Mathscope)
Lời giải:
Bình phương hai vế bất đẳng thức trên, ta có được bất đẳng thức tương đương
1 1
a b
a b a b a b a b
hay là
tương đương
hay là
1 2 1 1 21 11 11
Trang 11Ta có các đánh giá sau
2
Ta có điều phâi chứng minh
1 2 100 1 2 100 101
a a a a a a Chứng minh rằng:
1 10
a
(Rumani 2004)
Lời giải:
1 100
101a a a a a a 100 a a a a a ,
hay là
2 100 1 2 100 1
a a a a a
Ta có
1 1 2 100 2 100
suy ra
1 1 2 100 2 100 100 1 2 100 2 100 100
Vậy, điều giâ sử sai Ta có điều phâi chứng minh