Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.. Gọi G là trọng tâm của DABC... Bài 5:3 điểm Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB.. AC cắt BD tại M... -Không
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề) Ngày thi: 22/10/2016
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mức độ
Mạch
Kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Cộng Cấp độ thấp Cấp độ cao
Biểu thức đại số
1.a 1,0
1.b,c 2,0
2.c 2,0
5,0 đ
Bất đẳng thức
2.b
Phương trình vô
tỷ Chia hết và
nghiệm nguyên
3.a
2,0
3.b 2,0
2.a 2,0
6,0 đ
Chứng minh
mối liên quan
đại lượng hình
học
5 3,0
4.a,b 4,0 7,0 đ
3,0
4 ý 6,0
1 ý 3,0
4 ý
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
TRƯỜNG
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề) Ngày thi: 22/10/2016
Bài 1: (3 điểm)
A
x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: x22015x 2014 2 2017 x 2016
b) Chứng minh rằng: 1 1 2
x y biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0
c) Cho x, y, z thỏa mãn 1 1 1 : 1 1
Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017
Bài 3: (4 điểm)
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)323
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (y2)x2017 y2 2y1 0
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K Gọi G là trọng tâm của DABC
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
b) Chứng minh HD HE HF 1
AD+BE+CF=
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Bài 5:(3 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho CAB = 45∠CAB = 45 o, DAB = 30∠CAB = 45 o AC cắt BD tại M Tính diện tích tam giác ABM theo R
HẾT
PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp trường
Năm học: 2016 - 2017
Thời gian: 150 phút (không kể thời
gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
1a
(1đ) a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa: 3
2 0
2
1 0
1
2 1
x
x x
x x
1,0đ
1b
(1đ)
b) Rút gọn biểu thức A
2
2
A
x
1,0đ
1c
(1đ)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có 2
2
A
Ta có A nhỏ nhất khi 1 2 3
x đạt giá trị nhỏ nhất Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 4
3
khi 1
2
x = 0 1
2
x
1,0đ
2a
(2đ) a) Giải phương trình:
2 2015 2014 2 2017 2016
Điều kiện 2016
2017
x
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4 Phương trình đã cho tương đương với
1 0
2017 2016 1 0
x
x
1,0đ
1
2017 2016 1
x
x
1
x
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy x là nghiệm của phương trình đã cho.1
1,0đ
2b
(2đ)
b) Chứng minh: 1 1 2
x y biết x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y > 0
Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
(x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0
( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0
( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0
2.( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0
(x y) (x 1) (y 1) 2
x + y + 2 = 0
x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0
1,0đ
Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
Do đó xy 1 suy ra 1 1
xy hay xy2 -2 Mà M 1 1 x y 2
x y
(đpcm)
1,0đ
2c
(2đ) c) Cho x y z, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1
Tính giá trị của biểu thức B x21 y21 y11 z11 z2017 x2017
x y z
1,0đ
Trang 5 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0
(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0 (x y y z x z )( )( ) 0
Thay vào B tính được B = 0
1,0đ
3a
(2đ)
a) Với n chẵn (nN) chứng minh rằng: 20 n + 16 n – 3 n – 1323
Ta có: 323=17.19
20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
20n – 119
16n – 3n
19 (n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 119 (1)
1,0đ
20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)
20n – 3n
17
16n –1n
17 ( n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 117 (2)
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1323
1,0đ
3b
(2đ)
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (y2)x2017 y2 2y 1 0
Nếu y+2=0 y2 lúc đó phương trình có dạng 0x20171 0 (vô nghiệm).
Nếu y 2 thì ta có
2
2017 2 1 1
1,0đ
Vì x, y nguyên nên y 12 nguyên y 2 Ư(1) 1;1
Với y 2 1 y 3 x2017 4 (loại ).
Với y 2 1 y 1 x2017 0 x0
Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1
1,0đ
Trang 6G H
M F
A
E O
C K
D B
4
(4đ)
a) Chứng minh S AHG = 2S AGO
DACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK
Nên KC ^AC
Mà BE ^AC (gt)
Suy ra KC // BE hay KC // BH
Chứng minh tương tự ta có KB // CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
Gọi M giao điểm của BC và HK nên
M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của DABC nên AG = 2
3AM
M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của DAHK
Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2
3AM nên G là trọng tâm của DAHK
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của DAHK
Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO
DAHG và DAGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và HG = 2GO
Do đó S AHG = 2S AGO
AD+BE+CF=
Ta có:
SHBC SHAC SHAB
SABC SABC SABC
SABC
SABC = 1
1,0đ
1,0đ
2,0đ
Trang 7C M
D
H O
5
(3đ)
Tính diện tích tam giác ABM theo R
Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
Chứng minh AHM· =900; mà CAB· =450 (gt) nên D AHMvuông cân
MH = AH
MH + HB = AH + HB = 2R (1)
1,0đ
*D MHBvuông tại H
cos MBH cos 60
2
3
3 = (2)
Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R
-+
-2,0đ
Chú ý:
-Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
-Không có điểm vẽ hình
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm