Đề thi HK I (NC)

Câu a 2 điểm Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng.. Câu b 1 điểm Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết d

ĐỀ THI HỌC KỲ I Môn : TOÁN 12 NÂNG CAO

Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề)

ĐỀ 1

Bài 1: ( 5 điểm) Cho hàm số y = x3+3x2+1

Câu a) ( 3 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Câu b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2

Câu c) (1 điểm) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+ 5 tại 3 điểm phân biệt Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Câu a) (1 điểm) log ( 2 ) log2(1 )

Câu b) (1 điểm) 25x-2.5x-15 > 0

Bài 3: ( 3 điểm) Cho hình nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy bằng a22 , độ dài đường sinh bằng a

Câu a) (2 điểm) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của

khối nón tương ứng

Câu b) (1 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện tạo với mặt đáy một góc 600 Tính diện tích thiết diện

ĐỀ THI HỌC KỲ I Môn : TOÁN 12 NÂNG CAO

Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian phát đề)

ĐỀ 2

Bài 1: ( 5 điểm) Cho hàm số y = x3+3x2+1

Câu a) ( 3 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Câu b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = -3

Câu c) (1 điểm) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+ 21 tại 3 điểm phân biệt Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Câu a) (1 điểm) log ( 2 ) log3( 1 )

3 x +x = x+

Câu b) (1 điểm) 9x+2.3x-15 > 0

Bài 3: ( 3 điểm) Cho hình nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy và độ dài đường cao đều

bằng a22

Câu a) (2 điểm) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của

khối nón tương ứng

Câu b) (1 điểm) Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón cắt hình nón theo thiết diện tạo với mặt đáy một góc 600 Tính diện tích thiết diện

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 NÂNG CAO NĂM HỌC 2008-2009

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

O

ĐỀ 1:

TXĐ: D = R

−∞

=

−∞

→ y

xlim và =+∞

+∞

→ y

xlim

Ta có y’ = 3x2+6x

y’= 03x2+6x = 0 x = 0 hoặc x = -2

y(0) = 1; y(-2) = 5

Bảng biến thiên:

x -∞ -2 0 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 5 CT +∞

-∞ CĐ 1

Hàm số đồng biến trên (-∞;-2) và (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-2;0)

Hàm số đạt CĐ tại x = -2; yCĐ = 5, hàm số đạt CT tại x = 0; yCT = 1

y”= 6x+6

y”= 0 6x+6 = 0x = -1

Ta có y” đổi dấu khi x qua điểm x0 = - 1 nên đồ thị hàm số nhận I(-1;3) làm điểm uốn

Một số điểm đồ thị đi qua:

(-3;1); (1;5)

Đồ thị:

0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

0,25

0,25

1

Câu b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2 1 điểm

Theo đề bài ta có x0 = 2 ⇒ y0 = 21; y’(2) = 24

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2:

y = 24(x-2) + 21 y = 24x -27

0,5

0,5 Câu c) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt 1 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và(d):

x3+3x2+1= mx + 2m+5 (1)

⇔ x3+3x2- mx - 2m- 4 = 0

C I

⇔(x+2) (x2 +x –m-2) = 0

⇔ 





=

−

− +

= +

0 2

0 2

2 x m x

x

⇔ 





=

−

− +

−

=

) 2 ( 0 2

2

2 x m x

x

Đặt f(x) = x2 +x –m-2

Đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt ⇔phương trình (1) có

3 nghiệm phân biệt ⇔phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Điều này ⇔







≠

−

>

∆

0 )2 (

0

f ⇔  



≠

−

>

+

0

0 9

4

m

m

⇔









≠

−

>

0 4

9

m

m

Vậy với









≠

−

>

0 4

9

m

m

thì đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx + 2m+5 tại 3 điểm phân biệt

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu a log ( 2 ) log2(1 )

Điều kiện ⇔







>

−

>

−

0 1

0 2

x

x

x

x < 0 (*)

Vơi điều kiện (*) ta có (1)⇔ x2 - x = 1 - x

⇔x2 = 1

⇔x = 1 hoặc x = -1

Vậy tập nghiệm của (1) là: S = {-1}

0,25 0,25

0,25 0,25

Ta có (2) ⇔52x - 2.5x-15 > 0

Đặt t = 5x đk t > 0

Ta có bpt trên trở thành: t2-2t-15>0 ⇔t<-3 hoặc t > 5

So với đk ta lấy t >5⇔5x > 5⇔x > 1

Vậy tập nghiệm của (2) là: S = (1;+∞)

0,25 0,25 0,25 0,25

Gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón S

Ta có Sxq = πrl = π a .a

2

2 =

2

2

2

a

π (đvdt)

Stp = Sxq + Sđáy =

2

2

2

a

π +

2

2

a

π =

2

) 1 2 (

2 +

a

Xét tam giác SAO vuông tại O

Ta có h = SO = SA2 −OA2 =

2

2

a A O B

Vk.n= π

3

1

r2h =

3

1 2

2

a

π

2

2

a =

12

2

3

a

π (đvtt)

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu b 1 điểm

Giả sử thiết diện là tam giác cân SBC tạo với đáy 1 góc 600

Gọi I là trung điểm BC Ta có OI⊥BC và SI⊥BC do đó góc giữa thiết diện với đáy là

SIO = 600

Trong tam giác vuông SIO,ta có

3

6 60

a SO

SI = = ; OI= SO.cot600 =

6

6

a

Trong tam giác vuông BIO, ta có BI =

3

3

2

OI

OB − = Vậy diện tích thiết diện là: SSBC = SI.BI =

3

6

a

3

3

a =

3

2

2

a (đvdt)

0,25

0,25 0,25 0,25

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

O

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 12 NÂNG CAO NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ 2:

TXĐ: D = R

−∞

=

−∞

→ y

xlim và =+∞

+∞

→ y

xlim

Ta có y’ = 3x2+6x

y’= 03x2+6x = 0 x = 0 hoặc x = -2

y(0) = 1; y(-2) = 5

Bảng biến thiên:

x -∞ -2 0 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 5 CT +∞

-∞ CĐ 1

Hàm số đồng biến trên (-∞;-2) và (0; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-2;0)

Hàm số đạt CĐ tại x = -2; yCĐ = 5, hàm số đạt CT tại x = 0; yCT = 1

y”= 6x+6

y”= 0 6x+6 = 0x = -1

Ta có y” đổi dấu khi x qua điểm x0 = - 1 nên đồ thị hàm số nhận I(-1;3) làm điểm uốn

Một số điểm đồ thị đi qua:

(-3;1); (1;5)

Đồ thị:

0,25 0,25 0,25 0,25

0,5

0,25

0,25

1

Câu b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = -3 1 điểm

Theo đề bài ta có x0 = - 3 ⇒ y0 = 1; y’(-3) = 9

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 = -3:

y = 9(x+3) + 1 y = 9x +28

0,5

0,5 Câu c) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+21 tại 3 điểm phân biệt 1 điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và(d):

x3+3x2+1= mx - 2m+21 (1)

C I

⇔ x3+3x2 - mx + 2m- 20 = 0

⇔(x-2) (x2 + 5x + 10 -m) = 0

⇔ 





=

− + +

=

−

0 10

5

0 2

2 x m x

x

⇔ 





=

− + +

=

) 2 ( 0 10

5

2

2 x m x

x

Đặt f(x) = x2 +5x + 10 -m

Đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx -2m+21 tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1)

có 3 nghiệm phân biệt ⇔phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Điều này ⇔







≠

>

∆

0 )2 (

0

f ⇔  



≠

−

>

−

0 24

0 15

4

m

m

⇔









≠

>

24 4

15

m

m

Vậy với









≠

>

24 4

15

m

m

thì đồ thị (C) cắt đường thẳng (d): y = mx - 2m+ 21 tại 3 điểm phân biệt

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu a log ( 2 ) log3( 1 )

Điều kiện ⇔







>+

>+

0 1

0 2

x

x

x

x > 0 (*)

Vơi điều kiện (*) ta có (1)⇔ x2 + x = x + 1

⇔x2 = 1

⇔x = 1 hoặc x = -1

Vậy tập nghiệm của (1) là: S = {1}

0,25 0,25

0,25 0,25

Ta có (2) ⇔ 32x + 2.3x -15 > 0

Đặt t = 3x đk t > 0

Ta có bpt trên trở thành: t2+2t-15>0 ⇔t<-5 hoặc t > 3

So với đk ta lấy t > 3⇔3x > 3⇔x > 1

Vậy tập nghiệm của (2) là: S = (1;+∞)

0,25 0,25 0,25 0,25

Gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón S

Xét tam giác SAO vuông tại O

Ta có l= SA = 2 + 2 =

S a

Ta có Sxq = πrl = π.a .a

2

2 =

2

2

2

a

π (đvdt)

Stp = Sxq + Sđáy =

2

2

2

a

π +

2

2

a

π =

2

) 1 2 (

2 +

a

π (đvdt) A O B

Vk.n= π

3

1

r2h =

3

1 2

2

a

π

2

2

a =

12

2

3

a

π (đvtt)

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu b 1 điểm

Giả sử thiết diện là tam giác cân SBC tạo với đáy 1 góc 600

Gọi I là trung điểm BC Ta có OI⊥BC và SI⊥BC do đó góc giữa thiết diện với đáy là

SIO = 600

Trong tam giác vuông SIO,ta có

3

6 60

a SO

SI = = ; OI= SO.cot600 =

6

6

a

Trong tam giác vuông BIO, ta có BI =

3

3

2

OI

OB − = Vậy diện tích thiết diện là: SSBC = SI.BI =

3

6

a

3

3

a =

3

2

2

a (đvdt)

0,25

0,25 0,25 0,25