Các định lý giá trị trung bình và áp dụng

HàN®i,tháng5năm2010 Tácgiá TranTh%Mây... 6 Chương2.M®TSOÚNGDUNG CÚAбNH LÝGIÁTR± TRUN 2.1... ∆y=f r x0.∆x+θ∆x, vóiθ∆x=∆x.α∆xlàvôcùngbéb¾ccaohơn∆xkhi∆x→0.Tínhliêntuc cnahàmsof xnh¾nđưoctù

Emxinchânthànhcámơnsngiúpđõcnacácthaygiáo,côgiáotoGiáitíchtrongkhoaToánvàc á c bansinhviên.Đ¾cbi¾t,e m xinbàytólòngbietơn sâu sac cnamìn

htóiTS.NguyenVănHàođãt¾ntìnhgiúpđõemtrongquátrìnhhoànthànhkhóal

u¾ntotnghi¾p

Lanđauđưocthnchi¾nc ô n g tácnghiênc ú u khoahocnênkhoálu¾nkhôngtránhkhóinhunghanchevàthieusó t Tácgiáxinchânthànhcá m ơnnhungýkienđónggópcnacácthaygiáo,côgiáovàcácbansinhviên

HàN®i,tháng5năm2010

Tácgiá

TranTh%Mây

Tôixincamđoan,dưóisnhưóngdancnaTS.NguyenVănHào,khóalu¾ntotn ghi¾p“Cácđ%nhlýgiátr

1.1 Kháini¾mhàmkhávi 31.2 Quanh¾giuađaohàmvàtínhliêntucc n a hàms o 41.3 Cácphéptínhcơbánveđaohàm 51.4 Cácđ%nhlýcơbánveđaohàm 6

Chương2.M®TSOÚNGDUNG CÚAбNH LÝGIÁTR± TRUN

2.1 Đ%nhlýRollevóicáchàmsosơcapđơngián 102.2 M®tsocáchxâydnngbàitoángióihancnadãysotùĐ%nh

lýgiátr%trungbình 15

Chương3.Đ ± N H LÝGIÁTR±TRUNGBÌNHVéIM®TSOTOÁN

3.1 M®tsoBođe 213.2 M®tsođ%nhlýgiátr%trungbìnhđoivóim®tsotoántútích

phântuyentính 30

Máđau

1 Lýdochonđetài

Lýthuyetgióihanlàphéptínhc ơ s ó c n a G i á i tíchToánhoc.Nhònó,màngưòitacóthexâydnngvànghiêncúum®tcáchtưòngminhcáckháini¾mvehàmso : liêntuc,khávi,khátích.Ngaykhikháini¾mđaohàmđưochìnhthành,m®tcáchkháđơngiánngưòitađãchíra:hàmhangc ó đaohàmbang0.Tuynhiên,vanđengưoclaithìkhônghanđơngián.Đenkhilýthuyetđaohàmc n a hàms o m®tbiens o đưocxâydnngxemnhưhoànchính,ngưòitamóikhangđ%nhđưocđieutưóngnhưtamthưòngđó.Cácđ%nhlývegiátr

%trungbìnhđóngm®tvaitròquantrongđoivóiphéptínhviphân,tíchphânc n a c á chàmtrongG i á i tíchToánhoc.Đennay,ý nghĩac n a c á c ketquánàyvanthuhútđưoc

sn quantâmc n anhieulĩnhvncc n a Toánhocc ũ n g nhưnhieungànhkhoahockhác.Nhungketquánghiêncúumóiđemlainhieuúngdungtrongvi¾cnghiêncúucácbàitoánvesntontainghi¾mcnaphươngtrình,vanđecnctr

%cnahàmso,lýthuyetgiáitíchso, TrongToánhoc,m®thưóngnghiêncúuđãvàđangđưocquantâmlàsnmór®ngcácketquácnanótóilópcáchàm,cáctoántúkhácnhau

Bóitamquantrongc ũ n g nhưtínhthòis n c n a c á c đ%nhlývegiátr

%trungbìnhvàđưocsnhưóngdancnaTS.NguyenVănHào,emđãchonđetài:“Cá cđ%nhlýgiátr%trungbìnhvàápdnng”đehoànthành

khóalu¾ntotnghi¾ph¾đàotaocúnhânchuyênngànhSưphamToánhoc.Cautrúcc

n a đetàiđưocboc u c thànhbachương:

Chương1.Tácgiátrìnhbàycáckienthúccănbánvekháini¾mkhávicnahàm

m®tbienvàm®tsoketquáquantrongcnaphéptínhviphânđoivóihàmsom®tbienso

ngm®ts o ketquámóiđoivóiphéptínhviphânc n a hàms o m®tbiensonhòĐ

%nhlýgiátr

%trungbình.Bangvi¾csúdungnhungtínhchatđ¾ctrưngc n a c á c hàms ơ c a p vàkythu¾ttaodnnghàmphu,chúngtôiđưaram®ts o bàitoánđis â u vàovi¾cnghiênc

ú u đoivóihàmkhávi.Thêmnua,chúngtac ũ n g thayđ ưocm®tphươngphápv¾ndungkethopgiuagióihancơbánvóiĐ%nhlýgiátr

Chương1 M®TSOKIENT H Ú C CHUANB±

∆y=f r (x0).∆x+θ(∆x), vóiθ(∆x)=∆x.α(∆x)làvôcùngbéb¾ccaohơn∆xkhi∆x→0.Tínhliêntuc cnahàmsof (x)nh¾nđưoctùvi¾cchuyenquagióihancnasogiahàmsokhisogi

∆f

gióihancnatýso

∆x lanlưotlà-1và1.Đieuđóchúngtóhàmsođãchokhôngcóđaohàmtaiđiemx0=0.

1.3 Cácphéptínhcơbánveđaohàm

Bangvi¾ctrnctiepsúdungđ

%nhnghĩacnađaohàmchúngtadedàngchúngminhđưoccá c ketquávephéptínhđoivóiđaohàmdưóiđây

Đ%nhlý1.3.1.Neucáchàmsof (x)vàg(x)cóđaohàmtaiđiemx

f(x) thìcáchàmf(x)±g(x),f(x).g(x),

Đ%nhlý1.3.2.Chohàmsoy = f (x)cóđaohàmtaix0,hàmz = g(y)

z r (x0)=g r (y0).f r (x0).

Đ%nhlý1.3.3.Chohàmsoy =f(x)liêntncvàđơnđi¾unghiêmng¾ttrên

Doϕ(y)làhàmngưoccnahàmf(x)liêntucđơnđi¾ung¾tnênϕ(y)c ũ n g li êntuc.Tùđósuyrakhiy →y0thìx=ϕ(y)→x0= ϕ(y0).Choy→y0,tađưoc

a )b −a

−

thoámãnc á c giáthietc n a đ%nhlýRolle,n ê n tontaic ∈(a,b)s a o cho

f r (c)=0.Tùđótanh¾nđưocketquácnađ%nhlý.

Chương2 M®TSOÚNGDUNGCÚAбNHLÝGIÁ TR± TR

UNGBÌNH

Cácđ%nhlýgiátr

%trungbìnhđóngvaitròquantrongtrongToánhocc ũngnhưnhieulĩnhvnckhoahockhác.TrongToánhoc,ngưòitacóthekeđenm®tsovanđenhư:bàitoántontainghi

¾mcnacácphươngtrìnhđaiso,ưóclưongkhoángchúanghi¾mcnacácphươngtrìnhvàtoántútrongvi¾cgiáiganđúngc n a lýthuyets o , bàitoántìmc n c tr

%cnahàmso , Theom®tkhíac a n h , nhìnlaicáchchúngminhc n a Đ

toándưóidangtongquáttheogiátr%cnacơsotronghàmmũt −xnhưsau

Bàitoán1.C h o hàmf (x)liêntuctrên[ a,b]vàkhávitrên( a,b)thóamãnđieuki¾

nf (a)+t −a = f(b)

+t −b vóisothnc0<tƒ=1.Chúngminhrangtontaiítnhatm®tgiátr

%c ∈(a,b)saochof r ( c )=t −c ln t.

Bangvi¾cgánchotcácgiátr%cuthetanh¾nđưocm®tsobàitoánsauđây

Bàitoán1.1.C h o hàms o f (x)liêntuctrên[ 0 ,1],khávitrên( 0 ,1)vàf (0)+1

=f(1)+e −1 Chúngminhrangtontais o c ∈(0,1)s a o chof r ( c )=e −c

Bàitoán1.2.Chohàmsof (x)liêntuctrên[0,1],khávitrên(0,1)

vàthoámãnđieuki¾nf (0)+1=f(1)+2010 −1 Chúngminhrangton

Bàitoán2.1.C h o hàmf (x)liêntuctrên[ 2 0 0 9 ; 2009.e],khávitrên(200

9;2009.e)vàthoámãnđieuki¾nf (2009.e)= 1 +f(2009).C h ú n g minhra ngtontaisoc ∈(2009;2 0 0 9 e)saochof r ( c )=c −1

2.1.1.3 HàmđathNc.Kíhi¾uPn (x)=λ0+λ1x+ +λ n x n ,λ n ƒ=0là

Chúngminhtontaihais o phânbi¾ta , b ∈(0,1)s a o chof r (a).f r (b)=1.

liêntucvàkhávic nah (x)nh¾nđưoctùhàmf(x)vàdedàngthayrang

h(a i )= 0,vóimoii= 0,n.Đaohàmcnah(x)là

Cũngtươngtnnhưthe,vóihàmphuh (x)=e αx f(x),chúngtađưoc

Bàitoán4.2.Chúngminhrangneufliêntuctrongkhoángđóng[a,b],khávitrê

nkhoángmó(a,b)vàf(a)=f (b)=0 thìvóiα∈R,tontaix∈(a,b)saochoαf(

x )+f r (x)=0.

Thietl¾phàmphudưóidangh(x)=e g(x) f(x),tađưoc

Bàitoán4.3.C h o f (x)vàg(x)làc á c hàmliêntuctrên[ a,b],khávitrên( a,b)và

giás ú f (a)=f(b)=0.Chúng minhrangtontaix ∈(a,b)saochog r (x)f(x) +f r (x)= 0

2.1.2.2 Hàmlogarit.

L¾phàmphu

h(x)=f(x).log α xvói0 <a,bƒ=1 và0 <αƒ=1

Đieuki¾nbangnhautaihaigiátr%đaumútc n a đoan[ a,b]đ ư o cvietdưói

%nhlýRolle.Tùđó,chúngtanh¾nđưocnhungdãysomàquacácgióihancơbánđethuđưocketquámongmuon.Đethu¾nloichovi¾ctrìnhbàyketquá,chúngtanhaclaim®tsogióihancơbán

2010x

n

f ( x

)+

e

2010

f r (x)

− f(x)

f r (x)

√ =l im

2010

khác,chúngtanh¾nđưoccácbàitoánsau

Bàitoán6.1.C h o hàmf (x)khávitrên[ a,b],f(a)= f (b)= 0 C h ú n g minhran

gneuf (x)khôngđongnhatbang0trênkhoáng( a,b)thìtontaim®tdãy{x n }trongk

hoáng(a,b)saocho

.lim 1+

n→∞

f r (xn).n

f(x n)

=e2010

Bàitoán6.2.C h o hàmf (x)khávitrên[ a,b],f(a)= f (b)= 0 C h ú n g minhran

gneuf (x)khôngđongnhatbang0 trênkhoáng( a,b)thìtontai

f r (xn)

f(x n)

=2010.

Bàitoán6.4.C h o hàmf (x)khávitrên[ a,b],f(a)= f (b)= 0 C h ú n g minhran

gneuf (x)khôngđongnhatbang0 trênkhoáng( a,b)thìtontai

f r (x n) .n

n f(x n) =e α

n→∞

nsi n

f r (x n) .

=α n

4 saocho

n

x n

n 

Dođó

1+ nln

=−2010

x

ln 1+

n

ζ r

Chương3 бNHLÝGIÁTR±TRUNGBÌNHVéIM®TSOTOÁ

trưònghopcòn laiđưocthnchi¾ntươngtn.Bangvi¾ctínhđaohàmcnahàmζ2ket

hopvóibatđangthúcó trên,chúngtac ó batđangthúcs a u

γ r

3

3 3

0 h4(x)dxvàlaytíchphântùngphan,tađưoc

t t

1 1

h5(x)dx=

xh5(x)dx.

0 h5(x)dxvàI(0)=I(1).TheoĐ%nhlýRolle, tontaic 5∈ (0,1)saochoI r (c5)=0.Dođó,chúngtacũngnh¾nđưoc

xh6(x)dxds

xh7(x)dx.

8(t)=e h8(t)−h8(t)

0

h8(x)dx

f(x)dx(Sg)(c3)=

0 1

g (x)dx(Sf)(c3).

f(x)dx,trong

đóf,g :

[0,1]→Rlà

f(x)dx

0 1

¸

(ii).

0

(1−x)f(x)dx(Sg) (c5)=

= (1−x)g(x)dxc5f(c5)−

0

0

xf(x)dx.

1 1

(1−x)f(x)dx(Sg)(c5)=

(1−x)g(x)dx(Sf)(c5).

Khóalu¾nđãgiáiquyetđưoccácvanđesau:

1 H¾thongcáckienthúccơbáncnaphéptínhviphânđoivóihàmsom®tbienso

2 Úngdungcnađ%nhlýgiátr

%trungbìnhtrongvi¾cgiáim®tsobàitoánvephéptínhviphâncnahàmsom®tbiensobangvi¾cdnngcáchàmphuxuatpháttùm®thàmgocchot r ư ó c T h ê m nua,chúngtôixâydnngm®tsobàitoángióihancnadãysotùđ%nhlýgiátr%trungbình

3 Trìnhbàym®tsoketquáveđ%nhlýgiátr

%trungbìnhtrênlópcáctoántútíchphântuyentínhtrênkhônggianC1([0,1])c á c

hàmliêntucnh¾ngiátr%thncxácđ%nhtrênđoan[0,1]