CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

của nó cho trường hợp tích phân và vi phân và nhu cầu muốn tìm hiểu về cácsuy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúngtrong phương trình hàm, hai vấn đề q

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Hồ Thế Vũ

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Bố cục đề tài 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4

1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange và ứng dụng trong phương trình hàm 4

1.2 Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân và ứng dụng trong phương trình hàm 19

1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy và ứng dụng trong phương trình hàm 26

1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu và ứng dụng trong phương trình hàm 30

1.5 Định lý giá trị trung bình đối với các hàm hai biến 38

1.6 Phương trình hàm kiểu giá trị trung bình 39

1.7 Định lý giá trị trung bình Cauchy đối với các hàm hai biến 47

1.8 Một số bài toán mở 48

CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 50

2.1 Định lý giá trị trung bình tích phân và các suy rộng 50

2.2 Ứng dụng : Biểu diển tích phân của các trung bình 60

KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng tronggiải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toánhọc người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691

Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pour resoudre les

égalitez không có chứng minh và không có nhấn mạnh đặc biệt nào Định lý

Rolle được sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý

giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie des functions analytiques

váo năm 1797 Nó nhận thêm được sự công nhận khi Augustin Louis Cauchy(1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình của ông trong cuốn sách

Equationnes differentielles ordinaires Hầu hết các kết quả trong cuốn sách

của Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình hoặc định lý Rolle một cáchgián tiếp Do sự khám phá định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bìnhLagrange), nhiều bài báo đã xuất hiện trực tiếp hoặc gián tiếp bàn về định lýRolle Gần đây, nhiều phương trình hàm được nghiên cứu xuất phát từ cácđịnh lý giá trị trung bình và các suy rộng của chúng Các suy rộng của định lýgiá trị trung bình Lagrange cho vi phân và tích phân đã đem lại nhiều kết quảbất ngờ và lý thú trong giải tích vào cuối thế kỷ 20 và là nguồn động lực đểcác nhà toán học tập trung nghiên cứu trong những năm gần đây Cụ thể làcác suy rộng vi phân của Flett (1958), McLeod (1964), Trahan (1966),Sanderson (1972), Samuelsson (1973), Evard-Jafari (1992), Clarke-Ledyaev(1994), Furi-Martelli (1995); các suy rộng tích phân của Waymen (1970),Walter (1985), Bullen-Mitrinovic-Vasis (1988), Kranz-Thews (1991),Bressoud (1994), Sayrafiezadeh (1995)

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy rộng

của nó cho trường hợp tích phân và vi phân và nhu cầu muốn tìm hiểu về cácsuy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúngtrong phương trình hàm, hai vấn đề quan trọng trong chương trình THPT, đặcbiệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên

gọi: Các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân để tiến hành nghiên

cứu Vấn đề này luôn mang tính thời sự trong giải tích Chúng tôi hy vọng tạo

được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý

giá trị trung bình và một số suy rộng của nó với các ứng dụng trong phương trình hàm và hy vọng tìm ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp

phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình, một

số suy rộng định lý giá trị trung bình cho trường hợp vi phân và tích phân vàcác phương trình hàm xuất phát từ chúng và có thể tạo được tài liệu thamkhảo bổ ích cho những người muốn tìm hiểu về lĩnh vực này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung bình và cácsuy rộng của nó cho vi phân và tích phân Phạm vi nghiên cứu của đề tài làcác định lý giá trị trung bình Lagrange, tỉ sai phân, Cauchy, Pompeiu, một sốsuy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đếnchúng cho trường hợp vi phân và định lý giá trị trung bình tích phân và cácsuy rộng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên

quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình vi phân, tích phân và các

ứng dụng của chúng.

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả

nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các định lýgia trị trung bình vi phân, tích phân và các ứng dụng của chúng.

5 Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chialàm hai chương :

- Ở chương 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình Lagrange và

ba mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình tỉ sai phân, định lý giátrị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng với nhiều ví dụminh họa liên quan đến phương trình hàm Chúng tôi cũng khảo sát suy rộngcủa định lý giá trị trung bình Lagrange và Cauchy cho hàm hai biến, đồngthời giới thiệu các phương trình hàm kiểu giá trị trung bình

- Ở chương 2, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình tích phân vàcác suy rộng của nó Một số ứng dụng của các định lý này được đưa ra, như làviệc tìm ra các biểu diễn tích phân của các trung bình số học, hình học,lôgarit, identric và các mở rộng của chúng Ở đây, chúng tôi cũng bàn luậntính lặp lại của các trung bình số học và hình học và một định lý của Kranz vàThews phát biểu rằng nếu các giá trị trung bình từ định lý giá trị trung bìnhtích phân và định lý giá trị trung bình vi phân xảy ra ở cùng một điểm thì hàmđược cho có dạng affine mũ Chương này cũng bao gồm một số bài toán mở

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Định

lý giá trị trung bình Lagrange, các suy rộng của nó cho trường hợp vi phân cùng với các phương trình hàm liên quan và các định lý giá trị trung bình tích phân cùng với các ứng dụng cho việc biểu diễn tích phân nhằm xây dựng một

tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về các định lý giá trị trung

bình vi phân, tích phân và các ứng dụng.

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số

ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được

đề cập

CHƯƠNG 1

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chương này sẽ trình bày định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân

và một số ứng dụng của nó Hơn nữa sẽ bàn đến nhiều phương trình hàmđược phát triển bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình Tất cả cácphương trình hàm đề cập trong chương này được sử dụng theo đa thức đặctrưng Chương này cũng khảo sát định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân

và đưa ra một số ứng dụng trong việc xác định trung bình hàm, chứng minhđịnh lý giá trị trung bình của Cauchy, định lý giá trị trung bình của Pomeiu vàchỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là động lực sử dụng các định lýnày nói chung

1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định lýgiá trị trung bình Lagrange Định lý này được phát hiện lần đầu tiên bởiJoseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc áp dụng định lýRolle vào một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Bonnet Ossian (1819-1892) Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trong một bàibáo của nhà vật lý nổi tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836) Nhiều kếtquả của giải tích thực cổ điển là hệ quả của định lý giá trị trung bình Chứngminh định lý Rolle được dựa trên hai kết quả sau

trong khoảng mở (a,b) thì f c '( ) 0.

và bị chặn bất kỳ [a,b].

Chúng ta bắt đầu với định lý Rolle như sau :

Định lý 1.1.1 Nếu f liên tục trên [ , ]x x1 2 và khả vi trên ( , )x x1 2 với f x( ) 1 f x( ) 2

thì tồn tại một điểm   ( , )x x1 2 sao cho f '( ) 0   .

Mệnh đề 1.1.2, f đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên khoảng này Nếu cả haixảy ra ở hai đầu mút x x1 , 2 thì giá trị cực đại và cực tiểu là bằng nhau và hàmnày là hàm hằng, do đó f '( ) 0   với mọi   ( , )x x1 2 Ngược lại, một trong cáccực trị xảy ra ở điểm   ( , )x x1 2 thì theo Mệnh đề 1.1.1 ta có f '( ) 0  

Như vậy định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học như sau : nếu cómột cát tuyến nằm ngang đồ thị của f thì có một tiếp tuyến nằm ngang của đồthị sao cho tiếp điểm nằm giữa hai giao điểm của cát tuyến với đồ thị

Một giải thích khác của định lý Rolle là giữa hai nghiệm thực của mộthàm thực khả vi f có ít nhất một điểm tới hạn của f (nghiệm của đạo hàm cấpmột f ')

Định lý Rolle được tổng quát hóa bằng cách quay đồ thị của hàm f để cóđịnh lý giá trị trung bình Lagrange

Định lý 1.1.2 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và với mọi

cặp x1 x2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x1và x2 sao cho

(1.1)

Chứng minh: Xét hàm

Đây là phương trình của đường thẳng cắt đồ thị f tại( , ( ))x f x1 1 và

2 2

( , ( ))x f x Nếu ta đặt

( ) ( ) ( )

g x f x h x ,

do f vàhliên tục trên [ , ]x x1 2 và khả vi trên ( , )x x1 2 , nên gcũng thế và ta có

Chú ý 1.1 Mục này khép lại với một chứng minh khác của định lý Lagrange

mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh này củaTucker (1997) và Velleman(1998)

Bắt đầu với một khoảng khác rỗng [ , ]x x1 2 với f khả vi và xác định

và

Khi đó y chia khoảng [ , ]x x1 2 thành hai khoảng con có độ dài

Nhận thấy rằng

min{m m1 , 2} m max{m m1 , 2}, trong đó

và Theo định lý giá trị trung gian, hàm nhận giá trị m

nào đó trên [ , ]a b1 1 sao cho

Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng một chuỗi các khoảng lồng nhau

1 2 1 1 2 2

[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] x x  a b  a b   a b n n 

sao cho

với mọi n 1,2, và Gọi là điểm duy nhất trong giao củacác khoảng này Nếu với mỗi N nào đó, thì với mọi , nên

.Tương tự, ta cũng thu được nếu với mỗi N bất kỳ Nếu

với mọi n thì

với mọi n, trong đó

.Nếu cả hai thương số trong vòng của thì tổ hợp lồi của chúng cũng

vậy, nghĩa là m ở trong vòng của với bất kỳ Ngoài ra ta có

f x thì theo định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại một điểm c ( , )a b sao cho

Mâu thuẩn với giả thiết với mọi x thuộc ( , )a b

Vậy f là một bất biến trên [ , ]a b

Từ bổ đề trên ta suy ra trực tiếp kết quả sau đây

Bổ đề 1.1.2 Nếu với mọi x thuộc ( , )a b , thì f và g sai khác nhau bởi một hằng số thuộc đoạn [a,b].

với c là một hằng số Do đó f vàgsai khác nhau bởi một hằng số

ngặt (giảm ngặt) trên đoạn [a,b].

tồn tại một điểm c ( , )x x1 2 , sao cho

Và do x2  x1  0, nên ta có hay .

Vậy f là một hàm tăng ngặt.

Từ bổ đề trên ta dễ dàng suy ra được kết quả sau

(lồi) trên khoảng [a,b].

Sau đây là một số ví dụ ứng dụng của định lý

Ví dụ 1.1.1 Định lý giá trị trung bình có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng

thức Bernoulli : Nếu x  1, thì (1 x)n   1 nx với mọi n\ (0,1)

Chứng minh: Đầu tiên, ta giả sử x 0và đặt f t( ) (1 ) ,  t n với t [0, ]x

Do đó hàm f thỏa mãn giả thuyết của định lý giá trị trung bình và khi đó sẽ

tồn tại một điểm   (0, )x sao cho

( ) (0) ( 0) '( )

f x  f  x f  Suy ra

1

(1 x) 1n xn(1   )n nx,hay (1 x)n   1 nx

Khi chọn    1 x 0 ta cũng làm tương tự, đặt hàm f t( ) (1 ) ,  t n với

[ ,0]

t x Ta cũng thu được (1 x)n   1 nx

Vậy, nếu x  1, thì (1 x)n   1 nx với mọi n \ (0,1).

Ví dụ 1.1.2 Định lý giá trị trung bình có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng

thức

x  1 lnx , x 0 (1.2)đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x 1

Chứng minh: Đặt f t( ) ln  tvớit [1, ]b vàb 1.Suy ra hàm f thỏa mãn giả

thuyết của định lý giá trị trung bình Do đó, tồn tại một điểm   (1, )b sao cho

Nếu x 1, thì vế trái của (1.2) bằng vế phải của nó.

Vậy, ta có x  1 lnx với mọi x 0, đẳng thức (1.2) xảy ra nếu và chỉnếu x 1

Ví dụ 1.1.3 Định lý giá trị trung bình có thể được sử dụng để chứng minh bất

đẳng thức sau đây

a  [a b(1   )]b  1 , (1.4)với 0    1 và a b, là các số thực dương

( )

f t t , t 0, 0    1.Khi đó, hiển nhiên f liên tục trên [a, ]b Áp dụng định lý giá trị trung bìnhcho hàm f , ta có

  là một hàm giảm của x với x 0.

( ) ln

f t  t, t 0

Do đó hàm f thỏa mãn giả thuyết của định lý giá trị trung bình.

Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với hàm , ta được

1

1

1

1 ln( 1) ln( )

Do đó hàm f thỏa mãn giả thuyết của định lý giá trị trung bình nên tồn tại một

điểm    (k 1, )k với k là một số nguyên dương sao cho

1 2 1 lim

1

n

n n

với c ( , )a b Chogkhả vi trên khoảng chứa f c h(  )với hđủ nhỏ, và giả sử g'

liên tục tại f c( ) Thì g f khả vi tại c và

h

f c h f c f c h

0 0

( ) ( ) '( ( )) '( ) lim '( )lim

Ví dụ 1.1.7 Định lý giá trị trung bình hơn nữa có thể sử dụng để giới thiệu

một họ vô hạn của các trung bình, gọi là trung bình Stolarsky (theo Stolarsky(1975))

Hiển nhiên f khả vi trên [ , ]x y Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm f

trên khoảng [ , ]x y Khi đó tồn tại một điểm  với x  y ( phụ thuộc vào

Ta có các trường hợp, nếu   1,thì ta được một trung hình học

1 ( , )x y xy

  ;nếu   2,thì ta được một trung bình số học

nếu   0, thì ta được một trung bình logarit

1

1

1 lim ( , )x y y x y y x.

Trong ví dụ cuối cùng cho ta thấy một điều rằng, ta có thể xây dựng một

lớp vô hạn các trung bình từ hai số thực dương đã cho x và yqua việc sử dụngđịnh lý giá trị trung bình Từ đó dễ dàng để đưa ra định nghĩa của trung bình

số học và trung bình hình học từ n số thực dương Điều đó hiển nhiên rằng trung bình cộng của n số dương là

hợp của trung bình logarit từ n số dương Trong phần còn lại của mục này

chúng tôi thảo luận một vấn đề có thể dễ dàng để định nghĩa được trung bìnhlogarit trong trường hợp nhiều hơn hai số thực dương Có thể viết rằng trung

bình logarit của hai số thực dương x và y xác định như sau

Cho ba số thực dương x,y và z ta có thể xây dựng một lớp vô hạn các trung

bình bằng cách sử dụng thương được tách ra gần đúng với đạo hàm thứ hai Sửdụng định lý giá trị trung bình cho tỉ sai phân (theo định lý 1.2.2), ta được

nếu x y

nếu x y

trong đó min{x,y,z}  max{x,y,z}.

Như ví dụ trên, ta đặt f t( ) t thì ta được

1 2

3

1 ( , , )x y z xyz

   Hai tổng quát hóa của trung bình logarit có thể xây dựng bởi giới hạntrong trường hợp   0và   1 Chẳng hạn

0

( )( )( ) lim ( , , )

Nói chung, ta có thể tổng quát hóa trung bình logarit bằng cách khảo sát

sự biểu diễn tích phân một cách thích hợp của hàm số L x y( , ).Ta có thể kiểmtra rằng

Từ những kết quả trên đây ta có thể tổng quát trong trường hợp của n

số thực dương x x1 , , , 2 x n như sau

Nó được làm nổi bật hơn nữa rằng hàm số L(x,y) cũng có thể được biểu

diễn bởi tích phân sau đây Tức là

1 1

trong khi f ' biểu diễn đạo hàm cấp một của f

Trước hết ta định nghĩa tỉ sai phân của hàm f :    như sau

được định nghĩa là

và

với mọi n 2.

Sau đây là phát biểu định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân

min{ , , , }x x0 1 x n x max{ , , , }x x0 1 x n Nếu các điểm x x0 , , , 1 x n là phân biệt, thì

'( ( ) )

f t x x x dt

Khi x0 x1, đặt z t x x 1 ( 1  0 ) x0 , ta được

0 0

1

1 1 0 0 1

1 0 1 0 0

1 0

0 1

1 0

'( ) '( ( ) ) '( )

( ) ( ) [ , ].

x x 





với x n x n1

Nếu t  n 0 thì w w  0 t n1 (x n1  x n2 )  t x x1 ( 1  0 ) x0 Tương tự, nếu t n t n1

thì w w t  1 n1 (x n x n2 )  t x x1 ( 1  0 ) x0 Bây giờ áp dụng giả thiết qui nạp, tacó

0 1 2 0 1 2 1

1

0 1 1

[ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , ].

trên xác định duy nhất mở rộng liên tục của f x x[ , , , ] 0 1 x n Chẳng hạn,

nếu n 1 thì mở rộng liên tục của f x x[ , ] 0 1 là

miễn sao f có đạo hàm cấp một.

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày giá trị trung bình đối với tỷ sai phân

Định lý 1.2.2 Cho f a b  :[ , ] là một hàm giá trị thực với đạo hàm cấp n liên tục và x x0 , , , 1 x n trong [a,b] Khi đó tồn tại một điểm trong khoảng

[min{ , , , }x x0 1 x n , max{ , , , }x x0 1 x n ] sao cho

( )

0 1 ( ) [ , , , ]

Chứng minh : Vì f( )n ( )x liên tục trên [a,b], hàm f( )n ( )x có cực đại và cực

tiểu trên [a,b] Đặt

nếu x0 x1

nếu x0 x1

( )

min n ( )

m f x và M max f( )n ( )x Khi đó từ biểu diễn tích phân của của f x x[ , , , ] 0 1 x n , ta có

với [min{ , , , }x x0 1 x n , max{ , , , }x x0 1 x n ]

Chú ý 1.2 Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân có thể được dùng để

xác định trung bình hàm Ta thấy rằng một số nút trong tỉ sai phân có thể kếthợp thành nhóm nếu f khả vi thích hợp

'( ) 2 [ , ] '( ) ( )

Để đơn giản kí hiệu, ta kí hiệu f b b a a[ , , , ] bởi f b a[ [2] , [2] ] Tổng quát

[n] [n]

[ , ] [ , , , , , , ]

f b a f b b a a a , trong tỉ sai phân này a và b xuất hiện đúng n lần.

Giả sử f khả vi liên tục (2n – 1) lần Ngoài ra, ta giả sử f(2 1)n ( )x đơn điệu

chặt trong [a,b] Khi đó theo định lí giá trị trung bình đối với tỉ sai phân, tồn

tại một điểm [a,b] sao cho

(2 1) [n] [n] ( ) [ , ]

2

n n

2

( , ) ( ) {(2 1)! [ , ]}

( ) .

Định lý 1.3.1 Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng số thực I và

với mọi cặp x1 x2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x1 và x2 sao cho

Chú ý 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy được sử dụng trong việc chứng

minh một phương pháp thông dụng để tính giới hạn của tỉ nào đó các hàm.Phương pháp này của Guillaume Francois Marquis de L’Hospital (1661-1704) và được gọi là qui tắc L’Hospital Năm 1696, Marquis de L’Hospitalbiên dịch bài giảng của thầy ông là Johann Bernoulli (1667-1748) và qui tắc

L’Hospital đầu tiên xuất hiện Chính xác hơn nên gọi qui tắc này là qui tắcBernoulli - L’Hospital.

Như định lý giá trị trung bình Lagrange, định lý giá trị trung bình Cauchy

có thể được dùng để suy ra trung bình Stolarsky Cho , là hai số thựcphân biệt khác không Định lý giá trị trung bình Cauchy áp dụng cho hàm

( ) , ( )

f t t g t t trên khoảng [ , ]x y các số thực dương sao cho

1 , ( , ) ( )

Giá trị trung bình    , ( , )x y này có thể được mở rộng liên tục đến miền

{( , , , ) ,   x y     , ,x y (0, )}  Mở rộng này được cho bởi

1

1

1 ,

( ) ( )

(ln ln ) ( , ) (ln ln )

1 ln ln exp

trong đó F là hàm liên tục và đơn điệu chặt Hàm trong phương trình (1.15)

gọi là trung bình tựa số học của x1 và x2 Nếu ta lấy  ( , )x y  x y và thay thế

các đạo hàm của f và g bằng các hàm ẩn h và k tương ứng thì từ phương

trình (1.14) ta có được phương trình hàm sau

liên tục và g t ( )n ( ) 0 trên [a,b] Hơn nữa, cho x x0 , , , 1 x n trong [a,b] Khi đó tồn

tại một điểm [min{ , , , }x x0 1 x n , max{ , , , }x x0 1 x n ] sao cho

0

0 1

0

( ) ( ) [ , , , ] n

H x( ) 0 H x( ).n (1.22)Tính tuyến tính của tỉ sai phân và (1.21) kéo theo

H t'( ) h t t x[ , , , , 1 x n1 ]. (1.24)

Vì f và g khả vi đến cấp n, nên h cũng vậy Vì vậy sử dụng định lý giá trị

trung bình đối với tỉ sai phân, ta có

chứa 0 và với mọi cặp x1 x2 trong [ , ]a b , tồn tại điểm   ( , )x x1 2 sao cho

Chú ý 1.4 Dưới đây là ý nghĩa hình học của định lý này Phương trình của

cát tuyến nối các điểm ( , ( ))x f x1 1 và ( , ( ))x f x2 2 được cho bởi

2 1

2 1

( ) ( ) ( ) f x f x ( ).

đó là phương trình (1.30) trong Định lý 1.4.1 Do đó ý nghĩa hình học của nó

là tiếp tuyến tại điểm ( , ( ))  f  cắt trục tung tại cùng điểm như của cát tuyếnnối các điểm ( , ( ))x f x1 1 và ( , ( ))x f x2 2

Chú ý 1.5 Biểu thức đại số (1.30) cho một phương trình hàm Ở đây dạng

chính xác của vế phải phương trình (1.30) là không cần thiết Điều có liên

quan là vế phải của (1.30) chỉ phụ thuộc vào mà không phụ thuộc trực tiếpvào x1 và x2 Vì vậy ta có phương trình hàm

f x y{ , } h x y( , ), , x y  với x y (1.35) khi và chỉ khi

f x( )  ax b và h x( ) b (1.36) trong đó a, b là các hằng số tùy ý.

Chứng minh : Ta viết (1.35) thành

xf y( )  yf x( ) (  x y h x y) (  ) (1.37)đúng x y,   ,ngay cả khi x y .Thay y 0 vào (1.37), ta có

(0) ( ),

xf xh x

nghĩa là

( ) (0) , 0

h x f b   x (1.38)Đưa (1.38) vào (1.37), ta có

xf y( )  yf x( ) (  x y b) , , x y , với x y  0 (1.39)Đặt x 1 và y 1 trong (1.39) ta được

Hệ quả dưới đây kéo theo từ Bổ đề 1.4 và Định lý 1.4.2.

xf y( ) yf x( ) h sx ty( )

x y

  

 (1.43) với mọi x y , , x y khi và chỉ khi

Chứng minh : Viết lại (1.43) ta có

xf y( )  yf x( ) (  x y h sx ty) (  ) (1.46)trong đó x y , với x y Ta xét các trường hợp sau

x f y b[ ( )  ] y f x b[ ( )  ] (1.47)Cho y 1 trong phương trình trên ta có

h x( ) b x,   \{0}, (1.50)trong đó b f (0) Sử dụng (1.50) trong (1.49), ta có

x g y b[ ( )  ] y f x b[ ( )  ], x 0. (1.51) Cho x 1 trong (1.51), ta có

f y( ) [ (1) f  b x b ay b y]    ,   (1.52)Cho x 0 trong (1.49), ta có h(0) f(0) b và do đó (1.50) đúng với mọi

.

x 

quyết tương tự như trường hợp trước Vì vậy ta có nghiệm như khẳng địnhtrong định lý

Trường hợp 4 Giả sử s  0 t Cho y 0, ta có xf(0) xh sx( )

Do đó