khóa luận tốt nghiệp một số ứng dụng của các định lý giá trị trung bình

Lý do chọn đề tài Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học và thường xuyên được khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán địa phương, quốc gia

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong giải

tích toán học và thường xuyên được khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán

địa phương, quốc gia và quốc tế (ở cấp độ học sinh THPT hoặc sinh viên Đại

học) Chứng tỏ ra là một công cụ rất hiệu lực trong việc giải các bài toán liên

quan đến sự tồn tại nghiệm và các tính chất định lượng của nghiệm của nhiều

dạng phương trình khác nhau

Trong những năm gần đây, những kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc

tế, trong các kỳ thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường Đ ại học trong

nước thì các bài toán liên quan đến tính liên tục và đạo hàm của hàm sốthường xuyên xuất hiện và dạng phổ biến nhất là chứng minh phương trình có

nghiệm, giải phương trình , chứng minh bất đẳng thức

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về các ứng dụng của định lý giá trịtrung bình trong chương trình THPT và Đại học, đặc biệt dành cho khối

chuyên Toán tôi quyết định chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “ Một số ứng

dụng của các định lý giá trị trung bình”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu một số ứng dụng của các định lý

Lagrange, Rolle, Cauchy để chứng minh phương trình có nghiệm, giảiphương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giới hạn của dãy số

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu là các bài tập ra trong các sách giảitích, các đề thi Olympic liên quan đến ứng dụng của các giá trị trung bình

4 Giả thuyết khoa học

Nếu sinh viên lĩnh hội tốt các kiến thức có trong đề tài thì sẽ đạt đượchiệu quả trong quá trình tìm hiểu những ứng dụng quan trọng của các định lýnày trong việc giải những bài toán sơ cấp và các bài toán khác

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Hệ thống các bài tập và phân loại

6 Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương

Chương 1 “Cơ sở lý thuyết” Chương này trình bày các kiến thức cơ sở

liên quan đến ứng dụng của định lý giá trị trung bình

Chương 2 “Các ứng dụng của định lý giá trị trung bình” Đây là nội dung

chính của khóa luận, trình bày các ứng dụng của định lý giá trị trung bình

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm số liên tục

miền A

b) Hàm số f( )x được gọi là liên tục bên trái tại x=a∈A nếu

( )x f( )a f( )a

f a

tục bên phải tại điểm a

x f cũng là hàm liên tục tại a

Định lý 2 Nếu hàm số y= f( )x liên tục trên [ ]a, b thì nó bị chặn trên

đoạn đó Tức là tồn tại k >0 sao cho: f( )x ≤k,∀x∈[ ]a,b

Định lý 4 Nếu hàm số f( )x liên tục trên [ ]a, b , f( )a = A, f( )b =B thì

hàm số nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B

Hệ quả Nếu hàm số y= f( )x liên tục trên [ ]a, b thì nó nhận mọi giá trịtrung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Định lý 5 Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a, b và f( ) ( )a f b <0 thì có

ít nhất một điểm c∈( )a,b để f( )x =0

1.2 Đạo hàm

1.2.1 Các định nghĩa

a) Giả sử f( )x là hàm số xác định trong khoảng ( )a,b,x0∈( )a,b

Kí hiệu: ∆x= x−x0, x∈( )a,b là số gia của đối số tại điểm x0

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

x x

x f x f x

y x x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f ( )x tại điểm x0

Đạo hàm của f( )x tại x thường được kí hiệu:0 ( )0

'

x

f hay ( )x0

dx dt

Trong trường hợp giới hạn (1) tồn tại và bằng +∞ hay −∞ thì người tanói hàm f( )x có đạo hàm vô hạn tại x0.

b) Các giới hạn một phía: ( ) ( )

0

0 0

lim

x x

x f x f x

y x

lim

x x

x f x f x

y x

gọi là đạo hàm một phía của f( )x tại x 0

Ta có kết quả sau đây:

Điều kiện cần và đủ để hàm f( )x có đạo hàm tại x là các đạo hàm một0

phía của hàm f ( )x tại x0 tồn tại và bằng nhau Khi đó:

' 0 '

0

'

x f x f

Định lí Nếu f( )x là hàm liên tục trên đoạn [ ]a, b ,có đạo hàm trên khoảng

( )a, b và f( ) ( )a = f b thì tồn tại c∈( )a,b sao cho f '( )c =0

Chứng minh:

Vì f( )x liên tục trên [ ]a, b nên theo định lí Weierstrass f ( )x nhận giá

trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên[ ]a, b

- Khi M = m ta có f( )x là hàm hằng trên [ ]a, b do đó với mọi c∈( )a,b

luôn có f '( )c =0

- Khi M >m vì f( ) ( )a = f b nên tồn tại c∈( )a,b sao cho f( )c =m hoặc

f = theo bổ đề Fermat suy ra f '( )c =0

(n∈N,n>1) trên ( )a, b thì f '( )x

có ít nhất n – 1 nghiệm trên ( )a, b

vô nghiệmtrên ( )a, b thì f( )x có nhiều nhất 1 nghiệm trên ( )a, b

có nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên ( )a, b thì f( )x có nhiều nhất n + 1

nghiệm trên ( )a, b

Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng n ếucác nghiệm là nghiệm bội khi f( )x là đa thức

1.2.2.2 Định lý Lagrange

Định lí Nếu f( )x là hàm liên tục trên đoạn [ ]a, b có đạo hàm trên

khoảng ( )a, b thì tồn tại c∈( )a,b sao cho: ( ) ( ) ( )

a b

a f b f c f

−

−

='

Chứng minh: Xét hàm số: ( ) ( ) ( ) ( )x

a b

a f b f x f x F

a f b f x f x

suy ra ( ) ( ) ( )

a b

a f b f c f

−

−

='

Định lí Rolle là một hệ quả của định lí Lagrange

(trong trường hợp f( ) ( )a = f b )

a f b f c g

c f

−

−

=' '

Chứng minh:

Xét hàm số:

a g b g

a f b f a f x f

 thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle

 liên tục trên đoạn [ ]a, b

 có đạo hàm trên khoảng ( )a, b

a g b g

a f b f x f

Do đó tồn tại ít nhất một điểm c∈[ ]a,b sao cho '( )c =0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Chương 2 CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ

Để áp dụng định lý Rolle, Lagrange vào việc giải bài toán này, điều quan

trọng nhất là nhận ra được hàm F( )x thực chất là nguyên hàm của hàm f( )x

Cụ thể được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Xác định hàm số F( )x khả vi và liên tục trên [ ]a, b và thỏa mãn:i) F'( ) ( )x = f x

(tức là F( )x =∫ f( )x dx )ii) F( ) ( )b −F a =0

Bước 2 Khi đó sử dụng định lý Lagrange kết luận tồn tại x0∈( )a,b sao

a F b F x

0cos

sin có nghiệm trong khoảng (−,)

(Olympic sinh viên 1994) Lời giải:

k

b kx k

a x

x

F

n k

x f

1

'

cossin

a F

F

1

2

12

1

0cos

sin có nghiệm thuộc (−,)

Ví dụ 2 CMR với mọi số thực a ,,b c thì phương trình

0sincos

2cos3

1

−+

+

=

Rõ ràng F( )x xác định và liên tục trên [0,2] và có đạo hàm tại mọiđiểm thuộc (0,2) và F'( )x =acos3x+bcos2x+ccosx+sinx

Ngoài ra: F( )0 =F( )2 =−1

Theo định lý Rolle ∃,0< <2 sao cho:

C k x

f

n i

i i i

∈Ν

10

i n i n i x

i n x i n i i

k y y C y k y

y C k y

5 +b+c +d +e=

a

CMR khi đó phương trình

0cos

coscos

3

4 +bt +ct +dt+e=

at có nghiệm thuộc đoạn [ ]0,1

Xét hàm số f( )t = a t5 +b t4 + c t3+ d t2 +et

2345

Rõ ràng f( )t liên tục trên đoạn [ ]0,1 và khả vi trên đoạn mở ( )0,1

2345

1 = a+b +c+ d +e=

Mặt khác f '( )t =at4 +bt3 +ct2 +dt +e

Nên theo định lý Rolle f '( )t

có nghiệm thuộc khoảng ( )0,1 hay phương

trình đã cho luôn có nghiệm

Ví dụ 5 Cho m>0 là số nguyên dương còn a ,,b c là 3 số thực sao cho:

01

b m

c x

m

b x

m

a x

+

++

Vậy phương trình ax2 +bx+c=0 có nghiệm trong ( )0,1

* Người ta có thể sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán trên

chẳng hạn ta dùng phương pháp định lý đảo tam thức bậc hai như sau:

lại xét khả năng:+ Nếu b=0 khi đó từ ( )* suy ra c=0 như vậy:

000

bx c

bx

00

m f a

Lại có hai khả năng xảy ra:

1

.0.00.0

a f

a c

a

1

⇔

m

m f f

Vì f( )x là hàm số liên tục nên từ ( )** suy ra tồn tại

10

cho f( )x1 =0 vì 1 ( )0,1

1

0 < ⇒ 1∈+

m m

m a b m

c m

b m

2

10

12

+

−+

Vì thế từ ( )*** ta có: ( ) 0

21

a f

a (do m>0,a.c≤0,a≠0)

( )

11

1

m

m f f

a m

m f

Để f( )x2 =0 Vì m>0⇒0<x2 <1

Tóm lại ta luôn thấy yêu cầu đề bài được thỏa mãn

Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:

Cho số thực dương m, số nguyên dương n và các số thực a a0, , ,1 a n

x f

có đúng n−1nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 7 Chứng minh rằng ∀a,b∈R phương trình sau có ít nhất 7

nghiệm trên đoạn [0,2]

(25sin5x−sinx) (+b 49sin7x−9sin3x)=0

a Lời giải

Xét hàm số f( ) (x =a −sin5x+sinx) (+b −sin7x+sin3x) trên đoạn [0,2]

Khi đó: f '( ) (x =a −5cos5x+cosx) (+b −7cos7x+3cos3x) và

g =cos − − thì g liên tục trên R và có đạo hàm

x x

e

x e e

x x

g' =−sin + − =1− sin

Áp dụng định lý Lagrange trên đoạn [x1, x2] thì tồn tại c∈(x1, x2) và

c g x

e

x e e x e

x x

g =cos − − =cos − 1 = cos −1

x x x

1

21

1.2arctan

+

−+

−

=

Ta nhận thấy x=0 là một nghiệm của phương trình

Bây giờ ta xét x>0 Theo định lý Lagrange tồn tại c∈( )0,x sao cho:

x

x f c x

f x f c

Vì x>0 và arctanc>0 nên f( )x >0.

Tương tự đối với trường hợp x<0 ta có f( )x <0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=0

Ví dụ 10 Cho đa thức P(x) và Q(x) = aP(x) + bP’(x) trong đó a, b là các

số thực, a ≠0 Chứng minh rằng nếu Q(x) vô nghiệm thì P(x) vô nghiệm Lời giải: Ta có degP(x) = degQ(x)

Vì Q(x) vô nghiệm nên degQ(x) chẵn Giả sử P(x) có nghiệm, vì deg P(x) chẵn nên P(x) có ít nhất 2 nghiệm.

- Khi P(x) có nghiệm kép x = x0 ta có x0 cũng là một nghiệm của P’(x) suy ra Q(x) có nghiệm.

- Khi P(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Nếu b = 0 thì hiển nhiên Q(x) có nghiệm.

Nếu b ≠0 : Xét ( ) ( )

a x b

f x =e P x ta có: f x có hai nghiệm phân biệt x( ) 1< x2

0

f f

f f

Áp dụng định lý Rolle ta có điều phải chứng minh

Bài 2 CMR phương trình 2(x−1)lnx+xln2 x=4x có nghiệm

HD: ĐK x>0 Phương trình đã cho tương đương với

04lnln1

x

x x

Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f( ) (x = x−1) (ln2 x−4) trên các đoạn

1 e ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 3 Giả sử hàm f( )x liên tục khi x≥a và f '( )x >k >0 khi

(k const)

a

x> = Chứng minh rằng: Nếu f ( )a <0 thì phương trình f( )x =0

có nhiệm duy nhất trong khoảng ( )

Bài 4 Với các số thực a<b<c<d, chứng minh rằng phương trình sau

có đúng ba nghiệm phân biệt:

Lagrange cho hàm này trên các đoạn [ ] [ ] [ ]a,b; b,c; c,d

Bài 5 Cho a + b – c = 0 CMR: asinx+9bsin3x+25csin5x = 0 có ít nhất

4 nghiệm thuộc [0; π]

2.2 Ứng dụng để giải phương trình và hệ phương trình

2.2.1 Phương pháp chung

Giải phương trình f( )x =0

Bước 1 Gọi  là nghiệm của phương trình

Bước 2 Biến đổi phương trình về dạng thích hợp f( ) ( )a = f b Từ đó chỉ

ra được hàm số F( )t khả vi và liên tục trên [ ]a, b Khi đó theo định lý

Lagrange tồn tại c∈( )a,b sao cho: '( ) ( ) ( )=0 ( )*

−

−

=

a b

a f b f c f

Bước 3 Giải ( )* ta xác định được .

2cos

4.34

.342

+

⇔

=+

t t

t

42

4

42

4424ln324

t

t t

t f

+

−

−+

−

=

Suy ra '( )=0⇔−42t +2(3ln4−2)4t −4=0

t f

Đây là phương trình bậc hai đối với t

4 do đó có tối đa 2 nghiệm t phân

biệt Do đó f( )t có tối đa 3 nghiệm phân biệt

phương trình đã cho là:  +k  +k  − +k2;k2 (k∈Ζ)

3

;23

;2

Ví dụ 2 Giải phương trình:

x x

21log1

2

1+ x> ⇔ x>−

21log2

1

)21()3(

21log2

13log

x f

f

x x

x

x x

+

=

⇔

++

+

=+

⇔

Với f( )t =t +log3t (t >0)

Víi t>0 ta có f( )t là hàm đòng biến nên :

x x

f

f x

213)21()3

Xét hàm số g( )x x x

21

đồng biến, nên phương trình g'( )x =0có không quá 1 nghiệm Theo định lý

Rolle ta suy ra phương trình g( )x =0 có không quá 2 nghiệm Rõ ràng ta

có:g( ) ( )0 =g 1 =0

Vậy phương trình g( )x =0 có đúng 2 nghiệm là x=0 và x=1 Hay

phương trình ( )1 có đúng 2 nghiệm là x=0 và x=1

Trong hai ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lý Rolle để chứng minh

phương trình có nhiều nhất n nghiệm rồi chỉ ra các giá trị nghiệm đó bằng

cách dự đoán Và việc vận dụng định lý Rolle không được đặt ra từ đâu màchỉ xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải câu bài toán trung gian

Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho việc vận dụng định lý Rolle ở mức độphức tạp hơn

Ví dụ 3 Giải phương trình: x x x x

352

Lời giải

Viết lại phương trình dưới dạng: x x x x

235

Giả sử phương trình có nghiệm , khi đó: 6 −5 =3 −2 ( )2Xét hàm số ( ) ( ) 

t t

⇔

10

01

c f

Thử lại ta thấy x=0;x=1 đều thỏa mãn ( )1

Vậy phương trình có nghiệm là x=0;x=1

Ví dụ 4 Giải phương trình: x x x

cos2

3cos − cos =

Lời giải

Viết lại phương trình dưới dạng: x x x x

cos22

cos3

3cos − = cos −Giả sử phương trình có nghiệm , khi đó:





cos22

cos3

coscos

t t t

f c f

0cos

Giả sử phương trình có nghiệm , khi đó: 5 −4 =4 −3 ( )1

Xét hàm số ( ) ( ) 

t t

⇔

=  c  − c −

c f

t

Với t∈[1999,2002] thì f liên tục và có '( ) ( ) 1 1

3 − − −+

19992002

1999

−

−

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0,x=1.

Ví dụ 7 Cho u, v là những số dương cho trước Hãy tìm tất cả cácnghiệm dương của hệ phương trình sau:

+

=+

3 3 3 3

2 2 2 2

v u y x

v u y x

Lời giải

Ta thấy hệ đã cho có hai nghiệm là (x=u,y=v) và(x=v,y=u)

Ta sẽ chứng minh hệ không còn ng hiệm nào khác

Giả sử (x0, y0) là nghiệm khác của hệ Không mất tính tổng quát ta có thểcoi x0 >u≥v> y (trường hợp u >x0 ≥ y>v suy ra bởi tính đối xứng của ẩn)

1 3 1 3 0 1 3 0

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

y v u x

y v u x

Xét hàm số ( ) 3

2

t t

f = liên tục và có đạo hàm trên [u1,x1] [; v1,y1]

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f( )t trên các đoạn đó ta được:

1 1

1 '

x u

x f u f t f

1

3 2 1 3 2 1 3 1 1

3

23

2

u x t u x u

x

u x

Tương tự ∃t2∈(y1, v1) sao cho ( 1 1) 1 2

3 2 3 1 3 1

3

2

t t y v t y

hai khoảng (u1, x1) và (y1, v1) rời nhau)

Vậy hệ có đúng hai nghiệm là: (x=u,y=v) và (x=v,y=u)

2.2.3 Bài tập tương tự

Bài 1 Giải các phương trình sau: ( )x

x x

6253

Bài 2 Giải các phương trình sau: log5(x+3)=log2 x

Bài 3 Giải các phương trình sau: 2003 x x x

x x h

b) Tồn tại x∈[ ]0,1 sao cho f( )x =0

Khi đó ta gọi: z1 =inf{x∈[ ]0,1 : f( )x =0}

Do đó tồn tại ∈[z1,z2]⊂( )0,1 sao cho g( ) =0 Vậy ta có đpcm

Ví dụ 2 Cho hàm số f( )x khả vi trên đoạn[ ]a, b và thỏa mãn:

2

;2

1

;2

Chứng minh rằng tồn tại các số đôi một khác nhau c1,c2,c3∈( )a,b saocho: f '( ) ( ) ( )c1 f ' c2 f ' c3 =1

a f b f c f

2

b a x x f x

Khi đó: h( ) ( ) (a −h b =− a+b)2 <0

Do đó tồn tại x0∈( )a,b để cho h( )x0 =0 hay ( )0 0

b a x

Theo Lagrange, tồn tại c2∈(a,x0),c2 ≠c1 sao cho:

a x

x b a

x

a f x f c f

0

0 2

22

0

0 3

'

x b

a x x

b

x f b f c f

Rõ ràng c1,c2,c3 phân biệt và tích ( ) ( ) ( ) ' 3 1

2 ' 1 ' c f c f c =

Ví dụ 3 Giả sử hàm số f( )x khả vi trên [ ]0,1 và thỏa mãn:

f 0 =0; 1 =1; 0≤ ≤1 ∀ ∈Chứng minh rằng tồn tại a,b∈( )0,1 ; a≠b sao cho f '( ) ( )a.f ' b =1

( ) ( ) ( ) ( )

11

,0,

00

' '

c b b f c

c f f

c a a f c

f c f

.1 '

c c c

c f b f a

Lời giải

b c a c

c f b

x a x x f x

'

c b

c F b F d

F a

c

a F c

1 ' 2

d d

d F d F

b c a c

c f b

a x x f x

c f x

f x

02

f b c a c c

f

b c a c

c f x

Ví dụ 5 Cho phương trình: 1 1 0

1

0 + − + + n− + n =

n n

a x a x

a x a

Có n nghiệm phân biệt Chứng minh ( ) 0 2

n n

a x a x

a x a x

1 1

!2

!12

!

a n x a n x a

n x

CMR: tồn tại a,b∈( )0,1,a≠b sao cho f '( ) ( )a f ' b =1

( Olympic New York 1976) Lời giải

f c

Và ( ) ( ) f ( )b

c

c f

1 '

c c c

c f c

c f b f a

2

,2:− → −

,2

1 f x

x f x

Nếu f( )x ≠±1 với mọi 





nên tồn tại x sao cho:

( ) ( )

12

0 0





x f

x f g

g

Để ý rằng vì vế phải là không âm nên vế trái cũng không âm Ngoài ra vếtrái không vượt quá 

Vậy ta có bất đẳng thức sau đây: ( )

1

0

x f

x f

2 2 ' 1

'

6

x f b ab a x

x f b a x

x f a

b

a f b

2 2

2x

x f a

b

a f b

'

2x

x f b a x

Áp dụng định lý Cauchy cho hàm f và hàm x  x3 ta có x3∈( )a,b sao

2 3 3 '

3 3

3x

x f a

b

a f b

1 '

3x

x f b ab a x

Từ các kết quả trên ta có x1,x2,x3∈( )a,b sao cho:

3 3 ' 2 2

2 2 ' 1

'

6

x f b ab a x

x f b a x

a f b f x

−

−

='

(i) Xét hàm số f( )x =sinx trên đoạn [ ]0,

Có f '( )x =cosx<1 với mọi x trong khoảng ( )0,

Rõ ràng f( )x liên tục trên [ ]0, và f( )x khả vi trong ( )0,

Theo định lý Lagrange thì tồn tại c∈( )0, sao cho:

c f f

1cossin