Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liêm quan

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

      

TRẦN THỊ YẾN LY

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012

Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

      

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Gia Định

Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải

tích Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691 Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán,

chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và

phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu Vấn ñề này vẫn mang

tính thời sự trong giải tích Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo

tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các

phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc

sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương

trình hàm liên quan Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan

ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng

2 Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả

ñang nghiên cứu

5 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

1 Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến

Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung

bình và phương trình hàm

2 Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài

liệu tham khảo

Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm

cộng tính và song cộng tính Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M Legendre,

người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy

f x+ y = f x + f y

với mọi ,x y∈ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng

tính Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),

Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988) Nghiệm tổng quát của nhiều

phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng

tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày

ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của

chúng Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có

liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính

1.1 HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.1.1 Một hàm :f → , trong ñó là tập các số thực, ñược gọi

là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

(f x+ y) = f x( )+ f y( ) (1.1) với mọi ,x y∈ Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A M Legendre

(1791) và C.F Gaus(1809), nhưng A.L Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra

nghiệm liên tục tổng quát

Định nghĩa 1.1.2 Một hàm :f → ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó

Định nghĩa 1.1.3 Một hàm :f → ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó

khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn

Chú ý 1.1.2 Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4 Một hàm :f → ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu

f rx( )=rf x( ), (1.2) với mọi x∈R và mọi số hữu tỉ r

Định lý 1.1.2 Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi

1.2 HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN

Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính gián ñoạn là một bài toán mở Các nhà toán học không thể chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính gián

ñoạn Nhà toán học người Đức G Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thành

công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn

Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không tuyến tính)

Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị của một hàm : f → là tập hợp

G = x y x∈ y= f x

Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một hàm f : → là một tập con của mặt phẳng 2

Định lý 1.2.1 Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính f : → là trù mật khắp nơi trong mặt phẳng 2.

Định nghĩa 1.2.2 Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S Khi

ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ

hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B

Định lý 1.2.2 Cho B là một cơ sở Hamel ñối với Nếu hai hàm cộng tính có

cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau

Định lý 1.2.3 Cho B là 1 cơ sở Hamel ñối với Cho : g B → là một hàm tùy ý xác ñịnh trên B Khi ñó tồn tại một hàm cộng tính f : → sao cho

( ) ( )

f b = g b với mọi b∈B

1.3 TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH

Chúng ta ñã thấy rằng ñồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt phẳng Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một ñiểm (x,y) sao cho

( )

y= f x Chúng ta cũng ñã nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành tuyến tính khi áp ñặt tính liên tục trên f Chúng ta có thể làm yếu ñiều kiện

liên tục về liên tục tại một ñiểm Trong ñoạn này, chúng ta trình bày một số

ñiều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính

Định lý 1.3.1 Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc ñơn

Định lý 1.4.1 Nếu 2

:

f → là cộng tính trên mặt phẳng 2 thì tồn tại các hàm cộng tính A A1, 2: → sao cho

Bổ ñề 1.4.1 Nếu một hàm cộng tính f : 2 → liên tục theo từng biến thì nó

là hàm liên tục

Định lý 1.4.3 Nếu f : n → là một hàm cộng tính liên tục trên n thì tồn tại các hằng số c c1, 2, ,c sao cho n

1 2 1 1 2 2

f x x x =c x +c x + +c x (1.5)

với mọi x x1, 2, ,x n∈

Chú ý 1.4.1 Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính

có giá trị phức trên mặt phẳng phức Chúng ta bắt ñầu với một giới thiệu ngắn

gọn về hệ số phức Các số có dạng a+b −1, trong ñó a và b là những số thực,

ñược gọi là các số phức Vào ñầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với

số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba Vào thế kỉ 18, các hàm

liên quan ñến số phức ñược tìm thấy bởi Euler Trong một thời gian dài, các số

phức ít ñược quan tâm và nói chung không ñược xét ñến như các số chính thống

cho ñến giữa thế kỉ 19 Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và

ñặt tên chúng là ảo Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng

tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc

chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm Gauss ñưa ra một biểu

diễn hình học ñối với số phức và nhận ra rằng thật là không ñúng nếu cho rằng

“có một bí mật mờ mịt nào ñó trong các số này” Ngày nay, các số phức ñược

chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus Định nghĩa hình thức về số phức

ñược cho bởi William Hamilton

Hệ số phức là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng

và phép nhân xác ñịnh bởi

( , ) ( , )x y + u v = +(x u y, +v) ( , )( , )x y u v =(xu− yv xv, + yu)với mọi , , ,x y u v∈

Đồng nhất số thực x với cặp ( , 0) x và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có

thể viết lại biểu thức sau

( , )x y =( , 0) (0,1)( , 0)x + y

thành ( , )x y = +x iy Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có

z= +x iy Số thực x ñược gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez Tương tự, số

thực y ñược gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz Nếu z là một số phức có

dạng x iy+ thì số phức x iy− ñược gọi là liên hợp của z và kí hiệu là z

Một hàm bất kì f : → có thể ñược viết thành:

( ) 1( ) 2( )

f z = f z +if z , (1.6) trong ñó f1: → và f2 : → ñược cho bởi

1( )

f z = Re f z( ), f z2( )=Im f z( ). (1.7)

Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên , các

hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên là không tuyến tính Tính tuyến tính

có thể ñược khôi phục nếu ta giả sử ñiều kiện chính quy mạnh hơn như là tính

giải tích thay vì tính liên tục

Định nghĩa 1 4.1 Một hàm :f → ñược gọi là giải tích nếu f khả vi trên

Định lý 1.4.6 Nếu f : → là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một

hằng số phức c sao cho f z( )=cz , nghĩa là f tuyến tính

1.5 HÀM SONG CỘNG TÍNH

Định nghĩa 1.5.1 Một hàm 2

:

f → ñược gọi là song cộng tính nếu nó

cộng tính theo từng biến, nghĩa là

f x( + y z, )= f x z( ) ( ), + f y z, , f x y( , + =z) f x y( ) ( ), + f x z, (1.9)

với mọi , ,x y z∈

Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược là một bội của tích

các biến ñộc lập Vì vậy nếu m là một hằng và ta ñịnh nghĩa f bởi

( ),

f x y =mxy với mọi , x y∈ và hằng số m tùy ý nào ñó trong

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài

liệu [1], [2], [3], [5]

Mục ñích của chương này là nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình của

phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn ñến nhiều phương

trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Tất cả các

phương trình hàm ñề cập trong chương này ñược sử dụng theo ña thức ñặc

trưng Ớ ñây, chúng ta cũng khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai

phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm Cuối

cùng, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các

phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát này

2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Một trong các ñịnh lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là ñịnh lý

giá trị trung bình Lagrange Định lý này ñược khám phá ñầu tiên bởi Joseph

Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng ñịnh lý Rolle

vào một hàm bổ trợ thích hợp ñược cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892) Tuy

nhiên, phát biểu ñầu tiên của ñịnh lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý

học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836) Như ñã biết nhiều kết quả của

giải tích thực cổ ñiển là một hệ quả của ñịnh lý giá trị trung bình Chứng minh

của ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết quả ñơn giản sau ñây

Mệnh ñề 2.1.1 Nếu một hàm khả vi f : → ñạt cực trị tại một ñiểm c

thuộc khoảng mở (a,b) thì f '( )c =0.

Mệnh ñề 2.1.2 Một hàm liên tục f : → ñạt cực trị trên một khoảng ñóng

và bị chặn bất kỳ [ ]a b ,

Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle như sau:

Định lý 2.1.1 Nếu f liên tục trên [x x , khả vi trên 1, 2] (x x và 1, 2)

( )1 ( )2

f x = f x , thì tồn tại một ñiểm η∈(x x1, 2) mà sao cho f '( )η =0

Định lý 2.1.2 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với mọi cặp

2.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau Tiếp tuyến với ñồ

thị của hàm f tại η( ,x x1 2) song song với cát tuyến nối các ñiểm (x f x1, ( )1 ) và

( )

(x2, f x2 )

Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và

tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange

Bổ ñề 2.2.1 Nếu f '( )x =0 với mọi x trong khoảng ( )a b thì f là hằng trên ,

Bồ ñề 2.2.4 Nếu f ''( )x >0 , với mọi x∈( )a b, thì f là lõm trên khoảng [ ]a b ,

Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu f là một hàm liên tục

trên [ ]a b và F là một nguyên hàm của f trên , [ ]a b thì ,

Định lý này cũng có thể ñược thiết lập bằng cách ñưa vào ñịnh lý giá trị trung

bình

Ngoài những ứng dụng lý thuyết, ñịnh lý giá trị trung bình còn có những ứng

dụng khác Các ví dụ sau ñây minh họa một số ứng dụng khác của ñịnh lý giá

Ví dụ 2.2.3 Định lý giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc thiết lập

bất ñẳng thức sau ñây

1

aα < aα +b −α bα− , (2.5)

với 0< <α 1 và a,b là hai số thực dương

Ví dụ 2.2.4 Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng tỏ (1 + 1x )x

là hàm tăng, trong khi ( 1 ) 1

α

+

=+

∫ (2.6) với α ≥0 àv b>0

Ví dụ 2.2.6 Cho f là một hàm xác ñịnh trên ( )a b và giả sử , f '( )c tồn tại với

( ),

c∈ a b nào ñó Cho g khả vi trên khoảng chứa ( f c+h) với h ñủ nhỏ và giả

sử 'g liên tục tại f c Khi ñó g( ) o khả vi tại c và f

(go f ) ( )' c = g'( f c( ) ) f '( )c

Ví dụ 2.2.7 Định lý giá trị trung bình cũng có thể ñược dùng trong việc giới

thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky

Định nghĩa f x( )= xα, trong ñó α là một tham số thực Áp dụng ñịnh lý giá trị trung bình ñối với f trên khoảng [ ]x y Tồn tại một ñiểm , η với

x< <η y ( phụ thuộc vào ,x y và α ) sao cho

Lưu ý rằng ta sử dụng ηα ( )x y, thay vì η ñể nhấn mạnh sự phụ thuộc của η

vào x, y và α Từ ñiều này, ta có ñược một họ vô hạn các trung bình bằng cách thay ñổi tham số α Các trung bình này ñược biết là trung bình Stolarsky

Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học

ñối với n số thực dương, lần lượt là

2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ

ñịnh lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương

trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó

Định nghĩa 2.3.1 Với các số thực phân biệt x x1, 2, ,x , tỉ sai phân của hàm n

[ ], ( )

f x y =h x+ y , x≠ y , (2.7) khi và chỉ khi ( ) 2

f x =ax + +bx c và h x( )= ax +b trong ñó a, b, c là các số thực tùy ý

Hệ quả 2.3.1 Hàm f : → thỏa mãn phương trình hàm

f x =ax + +bx c , với , , a b c là các hằng số thực tùy ý

Định lý 2.3.2 Nếu ña thức bậc hai ( ) 2

f x = ax + +bx c , với a ≠0, là một nghiệm của phương trình hàm

( ) ( ) '( )

f x+ −h f x =h f x+θh (0< <θ 1) (2.8)

ñược giả sử với mọi x∈ , h∈ \ {0} thì 1

2

θ = Đảo lại, nếu một hàm f thỏa

mãn phương trình hàm ở trên với 1

(2.11)