Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt NHẤT CỦA HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngà nh: Đại số Người hướng dẫn khoa học: Thạc sĩ NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI – 2010... Lí do chọn đ

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt

NHẤT CỦA HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI

HỌC Chuyên ngà nh: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

Thạc sĩ NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI – 2010

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt

nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tậntình của cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga, khóa luận của em đến nay đãhoàn thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Nguyễn ThịKiều Nga, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bào cho em nhiều kinh nghiệmquí báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này Em cũng xin chân thànhcảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhấtcho em trong thời gian em làm khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cốgắng song không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đónggóp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luận của emđược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Trần Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dochính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học vàtài liệu tham khảo Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Trần Thị Thúy

Mục lục

TRANG

Mở đầu 1

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số đơn điệu trên một đoạn 2

1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên đoạn [a,b] 2

1.3 Cực trị của hàm số 3

1.4 Định lí Lagange 9

1.5 Tập lồi và hàm lồi, tính chất 10

Chương 2:Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và hàm số 2.1 Sử dụng tính đơn điệu trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hám số 15

2.2 Sử dụng định lí Lagange 27

2.3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki trong bài toán cực trị của hàm số 32

2.4.Phương pháp hàm lồi 49

2.5.Ph ư ơng pháp miền giá trị 63

2.6.Phương pháp hình học 72

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo

1 Lí do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán phổ thông, bài toán về giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả nhứng người học Toán vàlàm Toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có mặt trong các

kỳ thi phổ thông trung học, cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi và các kìthi Đại học, cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt vàvận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bàitoán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì mỗi người đều có một xuhướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiềuphương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của loại bài toán này Điều quantrọng là phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán.Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giảiquyết nó

Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân, cùng với sự hướng dẫnnhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, em mạnh dạn thực hiện bài khóaluận tốt nghiệp của mình với tựa đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁTRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm sốtrong chương trình toán THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích so sánh, tổng hợp.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Hàm số đơn điệu trên một đoạn

Đị nh nghĩ a 1.1: Cho hà m số

đượ c gọ i là hà m không tăng trên a;b

- Các hàm số trên đượ c gọ i chung là cá c hà m số đơn điệ u trên

mộ t khoảng

- Hàm số tăng hoặc giảm trong một khoảng được gọi là hàm đơn

điệu thự c sự trên khoả ng ấ y

 Điề u kiệ n cầ n và đủ để hà m số tăng hoặ c giả m (đơn điệ u) trên a;b

liên tụ c trên

a;b và có đạo hàm hữu hạn trong

 Cự c trị củ a hà

m số

1.3.1 Đị nh nghĩ a cự c trị

Đị nh nghĩ a 1.2: Cho hà m

cự c tiể u đị a phương tạ

i x0 nế u như tồ n tạ i lân cậ n Vx0 sao

tại x0 ; y0 D nế u nhƣ tồ n tạ i lân cậ n Vx0 , y0 sao cho:

1.3.2 Điề u kiệ n cầ n và đủ để hà m số có cự c trị đị a phương

Đị nh lý 1.1: (Điề u kiệ n cầ n để hà m số có cự c trị đị a phương)

thi chi xảy ra một

trong cá c khả năng sau:

liên tụ c trên

a;b co chứa điểm

b Nế u khi x đi

1.3.3 Mộ t số tí nh chấ t

Đị nh lý 1.4: Hàm

x

liên tụ c trên mộ t đoạ n

a;b

thi đạt giá tri lớn

nhấ t, nho nhất trên đoạn đo.

Đị nh lý 1.5: Cho hà m

của D trong đó A B Ngoài ra tồn tại

max f x, max f x, min f x, min f x

x A

x B x A x B

Khi đó ta có : (i)

(i i) Chứ ng minh:

max f xmax f x

x A x B

min f xmin f x

x A x B

Bây giờ ta chứ ng minh (i), còn (ii) chứ ng minh tương tự

Thậ t vậ y: giả

Thậ t vậ y giả

Trần Thị Thúy K32D Toán 10

dạn

D n Giả sư tồn tại:

Khi đó ta có :

Trần Thị Thúy K32D Toán 11

GTLN, GTNN củ a cá c hà m số ấ y trên cá c miề n xá c đị nh đơ n giả n

Vì vậy nên tí nh chấ t nà y gọ i là nguyên lí phân rã

f n x.

Giả sư tồn tại max f x, min f 

Dấ u “ = ” trong (10) xảy ra khi và chi khi x0 D sao cho

Nhậ n xé t : Tính chất này cho ta thấy rằng không thể thay việc tìm GTLN

(NN) của một tổng các hàm số bằng việc tìm tổ ng cá c GTLN (NN) cƣ̉ a tƣ̀

ng hàm số đơn lẻ

Đị nh lý 1.10: Giả

sử f1 x, f2 x, , f n

 x xác định trên miền D và ta có

Trần Thị Thúy K32D Toán 12

f i x0,x D,i 1,

n Giả thiết tồn tại

max f i x, min f i x, max f

và i 1, n Khi đó ta có :

max f xmax f1 x max f2 x max

Đị nh lý 1.11: Giả

x

v à

là hàm sô xác định trên miền D Khi đó với mọi n

nguyên dương ta có

: max f x2n1 max f 2n1 x

x D x D

Nhậ n xé t: Khi giả i bà i tậ p , ngườ i ta thườ ng ứ ng dụ ng mộ t trườ ng hợ

p riêng của tính chất này như sau:

0 , M m 0 min f 

x 

min

M

, m

1.4 Đị nh lý Lagrange

Đị nh lý Lagrange: Cho hàm

sô

f :a;b thoa mãn hai điều kiện sau:

i) f liên tụ c trên a;b.

 f co đạo hàm trong a;b

f bf

a

f 'cb a

1.5 Tậ p lồ i và hà m lồ i, tính chất

1.5.1 Tậ p lồ i và hà m lồ i

Đị nh nghĩ a 1.4: Tậ p hợ p D gọi là tập lồi nếu x, y

gọi là afin khi và

chỉ khi nó vừa lồi vừa lõm

1

Tính chất 3: Cho D là tập lồi trên □ Hàm f x, y : D

Tính chất 4: Cho D là tập lồi trên  và các

Tính chất 5: (Mố i quan hệ giữ a tậ p lồ i và hà m lồ i)

Giả sử f : D  , ở đây D là tập hợp lồi trong  1

Đặt

epi f : x; y 2 : f xy, x D

(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f )

Hàm f gọi là hàm lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi trong  2

Tính chất 6: (Bấ t đẳ ng thứ c Jensen)

Cho D là tập lồi trong  1

là hàm số xác định

trên D Khi đó f là hàm lồi trên D khi và chỉ khi vớ i mọ i số n nguyên dương vớ i mọ i

i 1 1

ta có bấ t đẳ ngthƣ́ c:

a Giả sử (13) thỏa mãn Khi đó ƣ́ ng

vớ i hàm lồi trên D

n 2 , theo đị nh nghĩ a thì f

là

b Bây giờ ta giả sƣ̉f là hàm lồi trên D Ta phả i chƣ́ ng minh (13) đú ng.

Chƣ́ ng minh bằ ng quy nạ p:

- Vớ

i

- Vớ

i

n 1 thì (13) hiể n nhiên đú ng

n 2 , theo đị nh nghĩ a hà m lồ i thì (13) cũng đúng

Tính chất 8: Cho D là tập lồi trong □ và f : D  1

là hàm lồi Khi đó nế u

như f đạ t cự c tiể u đị a phương tạ i



1

x  thì bất đẳng thức Karamata có dấu ngược lại.

iii) Ta có thể mở rộ ng bấ t đẳ ng thứ c Karamata cho trườ ng hợ p n

f a n .

Dấ u bằ ng xả y ra khi và chỉ

khi

xi  a i , i 1, n

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A Phương phá p chung

- Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên miền D

- Lậ p bẳ ng biế n thiên củ a hà m số trên miề n D

- Dự a và o bẳ ng biế n thiên và so sá nh cá c giá trị của những điểm đặc biệt (đó là điể m cự c đạ i, cự c tiể u củ a hà m số , các điểm đầumút của những đoạ n đặ c biệ t nằ m trong miề n xá c đị nh củ a hà m số )

Khi sử dụ ng phương phá p nà y cầ n lưu ý cá c điề u sau:

- Nế u trong quá trì nh giả i ta sử dụ ng phé p biế n đổ i để cho bà i toá n đơn giản thì bài toán mới phải xác định lại miền xác định của biến mới

- Nế u bà i toá n đã cho là hà m nhiề u biế n ta có thể sử dụ ng đị nhlý 10 và các phép biến đổi đưa bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số nhiều biế n về việ c tì m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến theo phương pháp chiều biến thiên hàm số đã đượ c trì nh bầ y như trên

B Mộ t số ví dụ

Trần Thị Thúy K32D Toán 21

Vì thế

max G z G 1 17 , max G z G 2 13

f x, y, min

2 t2 2

2t 

2 1

3

Tƣ̀ (*) , (9), (10) ta thấ y các điề u kiệ n củ a đị nh lý phân rã

cho hà m đúng trên D

Bài 2.1.3: Cho cá c

2

xy y2

2 Tìm giá trị lớn nhất và

38 7 1919

13

x

y

z

x y z 

2.1.2 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số co chứa tham số

Bài 2.1.6: Cho hà m số

 Kế t luậ n:

 a trong đó a là tham số Tìm điều

kiên củ a a để giá trị lớn nhất của

Chu ý: Cho hà m

a, x xác định trên D a;b , x là ẩn

a là

tham số Giả sử tồn

tại M max f a, x, m min f a, x

y f

a, x liên tụ c trên D và thỏa mãn hai điều kiện:

i)ii)

A Phương phá p chung

Muố n tì m giá trị lớ n nhấ t, giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa vào định lý

B Mộ t số ví dụ

Bài 2.2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 2.2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải:

f x



x 1

2t 

33

0,t 0; x

2

Xét hàm

số

 

f t arctgt ln x2 1,t x;1, x 1 ;1

Bài 2.2.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

f x x sin  tgx   1 , x 0;   .

2 Giải:

nhọn: 2 

sin A sin B sinC tan A tan B tanC

2.Bằng phương pháp tương tự ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số

2



a1.a2 an n

2sin A sin B sin C tan A tan B tanC

Chu ý: Phương pháp này thường áp dụng với các hàm số có điều kiện ràng

buộc của biến số

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a1;a2 ; ;a n và

b1;b2 ; ;b n  Khi đó ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số:

x y  z xy yz zx

D  x; y; z: x 0, y 0, z 0 và x y z 1 Tìm giá trị bé nhất của

Từ (7), (8), (9) ta suy ra x; y;

zD

f x; y; z 3 21 hay

13



2



 2.

1x1y1z 1x1y1z  8

Vậy

f x; y; z 1 , x; y; zD

8Mặt khác

Nhận xét: Bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng tổng quát hóa Chứng

F X ;Y ; Z 3,X ;Y ; Z D '

Mặt khác F 1;1;13 và 1;1;1D'

2000



2



x200

Bài 2.3.6 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở các bất đẳng thức (27), (28), (29)

xảy ra khi và chỉ khi x y z 1

3

tùy ý thuộc D Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

cho hai dãy số

tìm đƣợc phần tử x; y; z;t

D

sao cho f x; y; z;t 1)

Bài 2.3.11 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Trần Thị Thúy K32D Toán 50

1tan x.tan y 1tan y.t anz 1tan z.tan x

1tan y.tan z

1 tan y.tan z 1 tan z.tan x

Bài 2.3.12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

1;1;1 và  1đƣợc:tan x.tan y; 1 tan y.tan z; 1 tan z.tan x ta

31tan x.tan y1tan y.tan z1tan z.tan

(chứng minh bằng phương pháp qui nạp).

Áp dụng bổ đề này với a sin2

x , b  cos2 x

Từ (43) và (44) suy ra f x; y; z;t 2 ,x; y; z;t D

3Mặt khác chẳng hạn

Để sử dụng bất đẳng thức Jensen tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên miền D nào đó ta tiến hành theo các bước sau:

- Từ bài toán cho phải tìm hàm F t

 thỏa mãn điều kiện: F t phải là

hàm lồi (hoặc lõm) trên  ;  nào đó Sau đó áp dụng bất đẳng thức Jensen ta thu được một bài toán mới

- Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị đó bất đẳng thức trở

thành đẳng thức

- Dựa vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tìm

ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên D

Bài tập

n

Bài 2.4.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f x; y; z

 

1sin2

t

2, 0 t  , ta có:

2

, F ''t 



22sin4 t

2

2 0

6

x y

Bài 2.4.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P sin A sin B sin C tan A tan B tan C , với 

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A

Vậy min P  

3 2

Bài 2.4.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số P tan A.tan B.tanC , với

tam giác

ABC nhọn.

có tanA Btan C 

 Atan   tan B tan

Dấ u bằ ng xả y ra khi và chỉ

13

Vậ y ta đã chứ ng minh đượ c

p  3 Dấ u bằ ng trong bấ t đẳ ng thứ c (5) xảy ra

Bài 2.4.6 Cho  ABC Tìm giá trị nhỏ nhất

Trần Thị Thúy K32D Toán 60

Hay tan A 

tan

B  tan

C 3 tan

1 

y

11

33

Khi sử dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Karamata để tì m GTLN và GTNN củ a hà m số trên miề n nà o đó ta tiế n hà nh theo cá c bướ c sau:

- Từ bà i toá n đã cho phả i tì m

 thỏa mãn điều kiện: F t là

hàm lồi (hoặ c lõ m) trên  ;

- Dự a và o đị nh nghĩ a GTLN, GTNN củ a hà m số để tì m ra

GTLN, GTNN củ a hà m số

x 0, y 0, z 0; x e, x y 2e, x y z 3e.

Dấ u bằ ng xả y

Xét bài toán tìm miền giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên mộ t miề n D cho trướ c.

f x

Gọi

y0 là một giá trị tùy ý của hàm số f 

x

trên miề n đã cho Điề u đó

có nghĩa là hệ phương trình sau đây (ẩn x) có nghiệm

B Mộ t số ví dụ

Bài 2.5.1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 

Xét 2 khả năng sau:

 1x

x2

 1x

Trần Thị Thúy K32D Toán 70

 1x

x2

x2  1x

2

y0

y0

02

Bài toán quy về bài toán tìm tham số

y0 để phương trì nh (13) có nghiệm

trong 0; 2 Ta có cá c trườ ng hợ p sau:

Khi đó bà i toá n đã cho trở thà nh;

tìm 9 và -1 Theo đinh lý Vié t ta có

Gọi t0 là giá trị bất kì của hàm số f x, ytrên miề n D Điề u đó tứ c là hệ phương trì nh sau có nghiệ m (ẩn x, y).

Hướ ng dẫ n: Ta giả

sƣ̉ nghiệ m (ẩn x, y):

t0 là giá trị tùy ý của hàm số

Từ đây ta tì m miề n giá trị của t0 của tường hệ, sau đó á p dụ ng nguyên lýphân rã để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

2.6 PHƯƠNG PHÁ P HÌ NH HỌ C

A Cơ sở lý thuyế t:

- Bấ t đẳ ng thứ c tam giá c:

1 Vớ i 3 điể

m A, B,C bấ t kì ta luôn có:

AB BC AC

+ Sau đó chọ n hệ chụ c tọ a độ , chọn 3

rồ i sƣ̉ dụ ng hai bấ t đẳ ng thƣ́ c trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ t củ a hà m số

2 Vớ i mọ i tam giá c ABC ta có : AB BC AC AB