Luận văn sư phạm Phép quay quanh điểm trong mặt phẳng

Gi i bài toán tính toán nh phép bi n hình... Các quan h song song, vuông góc hay liên thu c... D ng ra phía ngoài c a tam giác đó các hình vuông ABMN, ACPQ.. Ch ng minh r ng tam giác DKH

Hà N i – 2008

hoàn thành khoá lu n này, em xin chân thành c m n th y Bùi V n Bình

và các th y cô trong t hình h c khoa toán tr ng HSP Hà N i 2

M t l n n a em xin đ c g i l i c m n sâu s c và l i chúc s c kho t i các

th y cô

Hà N i, tháng 05 n m 2008

Sinh viên

Ph m Th Thu

B n khoá lu n này không trùng k t qu c a các tác gi khác N u trùng em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Hà N i, tháng 05 n m 2008

Sinh viên

Ph m Th Thu

Bài 2: Phép quay quanh đi m trong m t ph ng……… 4

Ch ng 2: Phép quay quanh đi m trong m t ph ng và bài t p hình

5

Ph n 1: m đ u

1 Lí do ch n đ tài

Trong nhà tr ng ph thông, hình h c luôn là m t môn h c khó đ i v i

h c sinh B i hình h c có tính ch t ch t ch , tính lôgic và tính tr u t ng cao

h n các môn h c khác c a toán h c

Trong ch ng trình toán b c trung h c ph thông hi n nay có đ a ra cho h c sinh m t công c m i đ gi i toán hình h c đó là s d ng phép bi n hình trong m t ph ng B i phép bi n hình nói chung và phép quay nói riêng

th hi n tính u vi t rõ r t trong gi i toán

Là m t giáo viên ph i tu vào trình đ h c sinh c a mình mà đ a ra bài toán phù h p nên m i giáo viên c n bi t cách xây d ng m t bài toán S d ng phép bi n hình nói chung và phép quay nói riêng ta có th xây d ng và sáng

- Xây d ng h th ng bài t p ng d ng phép quay đ gi i

- Xây d ng, sáng t o bài toán b ng cách s d ng phép quay

3 Ph ng pháp nghiên c u

Trên c s nghiên c u lí thuy t c a phép quay quanh đi m trong m t

ph ng đ a ra h th ng bài t p phù h p

Trong m t ph ng cho đi m O thì xung quanh O có hai chi u quay, n u

ta ch n m t chi u làm chi u d ng và chi u còn l i làm chi u âm thì ta nói

r ng đã đ nh h ng đ c m t ph ng Thông th ng, ta ch n chi u quay xung quanh O ng c chi u kim đ ng h làm chi u d ng còn chi u ng c l i làm chi u âm

2 Góc đ nh h ng gi a hai tia

Trong m t ph ng đ nh h ng cho hai tia chung g c O: Ox, Oy Góc

đ nh h ng có tia đ u là Ox, tia cu i là oy, kí hi u (Ox,Oy) là góc thu đ c khi ta quay tia đ u Ox t i trùng tia cu i Oy

* Nh n xét: Giá tr c a góc đ nh h ng trên không ph i là duy nh t, ta qui

c giá tr đó là âm hay d ng tu theo chi u quay là chi u âm hay chi u

Kí hi u phép quay tâm O v i góc quay là Q O ho c Q(O; )

'ONON

'OMOM

'ONON

'OMOM

9

 OMN = OM'N' (c.g.c)  MN M'N'

V y Q(O; ) là phép d i hình

2.2 Q(O; ) (  k2 , k Z) có m t đi m b t đ ng duy nh t và là phép

bi n đ i 1-1

CM:

Theo đ nh ngh a ta có O là đi m b t đ ng c a Q(O; )

Gi s O’ là đi m b t đ ng th hai c a Q(O; ), khác O Th thì góc t o b i tia OO’ và chính nó b ng , ngh a là = 0 (mâu thu n gi thi t) i u đó

ch ng t Q(O; ) có đi m O là đi m b t đ ng duy nh t

Theo tính ch t 2.1, phép quay Q(O; ) là phép d i hình Do đó n u A’, B’, C’

l n l t là nh c a ba đi m th ng hàng theo th t A, B, C thì A’, B’, C’

th ng hàng theo th t đó

* H qu : Phép quay Q(O; ) bi n:

i)M t đ ng th ng d thành đ ng th ng d’và góc đ nh h ng t o b i hai đ ng th ng đó b ng , dd' khi = ± 90o

ii)Bi n tia Sx thành tia S’x’ và góc t o b i hai tia đó b ng

iii)Bi n đo n PQ thành đo n P’Q’ và PQ = P’Q’

10

iv)Bi n góc xSy thành góc x'S'y' và hai góc đó b ng nhau

v)Bi n đ ng tròn (I;R) thành đ ng tròn (I’;R)

2.4 Tích c a hai phép quay ho c là m t phép t nh ti n ho c m t phép quay

B đ : Tích c a hai phép đ i x ng tr c c t nhau là m t phép quay quanh giao

đi m v i góc quay 2(a,a')(a và a’ là hai tr c)

I'M

M'

M'' M

I

''IM'IMIM

gi i m t bài toán hình h c b ng phép quay ta c n chú ý m t s đi m

sau:

- Ch n cách v hình c a bài toán sao cho khi th c hi n t ng h p các phép quay riêng bi t d quan sát

- Nh ng bài toán hình h c mà trong gi thi t xu t hi n các y u t góc đ c

bi t nh : góc: 90, 30, 60…và các y u t dài b ng nhau nh : tam giác cân, tam giác đ u, hình thoi, hình vuông, … th ng g i cho ta ý t ng dùng phép quay đ gi i

C th ta s nghiên c u h th ng bài t p sau:

1 Bài toán tính toán

1.1 Bài toán tính toán

Trong hình h c ta th ng g p m t s bài toán tính toán nh : tính đ dài, tính s đo góc,…

gi i bài toán tính toán ta ph i thi t l p m i quan h gi a nh ng cái đã

bi t và cái c n tìm, sau đó tính toán theo yêu c u bài toán

1.2 Gi i bài toán tính toán nh phép bi n hình

: (O) (O')

Mt M't' (Mt,M't') 60

Cho hình vuông ABCD c nh a G i M là trung đi m c a CD, N là giao đi m

c a c nh BC v i tia phân giác góc BAM Tính đ dài đo n BN

o -90 A

Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có BAC80 Bên trong tam giác ta l y

đi m M sao cho MBC30 , MCB 10   

Tam giác ACE đ u nên: ACE 60 (2)  

Tam giác BAC cân t i A và

A

C M

A

15

y

x A

B M'

Cho góc xOy và đi m M n m trong góc đó Tìm trên các c nh Ox, Oy các

đi m A, B sao cho OA = OB và MA + MB nh nh t

Gi i:

G i  xOy

Th c hi n phép quay: Q O

Tam giác ABC có BC = a, AC = b, C = ( < 120 )o Tìm đi m M trong

m t ph ng sao cho MA + MB + MC nh nh t và tính giá tr nh nh t đó

A'

B

dài đ ng g p khúc BMM’A’ ng n nh t khi M, M’n m trên BA’ Khi đó

:CMA ' CAA '60 Do đó đi m M thu c đ ng tròn ngo i ti p tam giác ACA’

Tóm l i, đi m M c n tìm là giao đi m c a đ ng th ng BA’ và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ACA’ Khi đó đ dài ng n nh t c n tìm là:

   Trên đ ng tròn (O;R) ta l y đi m M, trên đ ng tròn (O’;R)

ta l y đi m M’ sao cho MM’ đi qua B G i S là giao đi m các ti p tuy n c a hai đ ng tròn t i M và M’ Xác đ nh v trí c a hai đi m M và M’ đ bán kính

đ ng tròn ngo i ti p tam giác SMM’ l n nh t

19

M' C

Ch ng t M thu c cung ch a góc150 d ng trên dây AB T p h p các đi m

M là cung 150 n m trong tam giác ABC d ng trên dây AB, tr A, B

o l i, n u M là đi m thu c cung đó thì phép quay -60 o

B

đi m M’ và cung AMB thành cung CM’B có s đo 150

Cho đ ng tròn tâm O và dây cung AB có đ dài không đ i G i M là trung

đi m AB Ta d ng tam giác đ u OMN Tìm t p h p đi m N khi các đ u mút

Bài toán d ng hình th ng đ c gi i theo qui trình 4 b c:

- B c 1 (phân tích): Gi s đã có hình c n d ng, t đó thi t l p m i liên

h gi a y u t ph i tìm và y u t đã cho đ đ a ra cách d ng

- B c 2 (cách d ng): Ch ra h u h n có th t các phép d ng c b n và bài toán d ng hình c b n c n ph i th c hi n đ có hình c n d ng

- B c 3 (ch ng minh): Là vi c ch ra hình c n d ng b c 2 đã tho mãn yêu c u bài toán

- B c 4 (bi n lu n): Kh ng đ nh s nghi m c a bài toán

4.2 Gi i bài toán d ng hình nh phép bi n hình

Gi i bài toán d ng hình nh s d ng phép bi n hình th hi n b c phân tích, ta qui vi c xác đ nh t ng b ph n c a hình c n d ng v nh c a hình đã cho qua m t phép bi n hình

Ví d 1:

: N N'

P P'Q

:P' P

23

y z

Bài toán có m t nghi m hình n u đo n N’P’ c t đo n MQ

Bài toán vô nghi m hình n u đo n N’P’ không c t đo n MQ

Theo cách d ng ta có: By, Ax

o

A

C = Q (B)  CBA=60 ,AC=AB ABClà tam giác đ u

V y ABC là tam giác đ u c n d ng

- B c 4 (bi n lu n):

Bài toán có m t nghi m hình n u z’ c t y

Bài toán vô nghi m hình n u z’ song song v i y

Bài toán có vô s nghi m hình n u z’ trùng y

*Nh n xét: Trong ví d 2, khi ta thay ba đ ng th ng b i ba hình khác, ch ng

h n: ba đ ng tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, m t đ ng th ng và hai đ ng tròn, m t đ ng tròn và hai đ ng th ng,… thì ta đ c các bài toán hoàn toàn t ng t , s d ng cách gi i nh trên

tr c v i: A thu c MN, B thu c NP, C thu c PQ, D thu c QM

Ta có: ABCD và MNPQ có chung tâm đ i

90 O

Bài toán có m t nghi m hình

5 Bài toán ch ng minh

5.1 Bài toán ch ng minh

Bài toán ch ng minh có d ng: A , trong đó: B

A là gi thi t, bao g m: nh ng y u t đã cho (đi m, đ ng th ng, đ ng tròn,…); nh ng quan h đã bi t (liên thu c, song song, vuông góc,…);nh ng

y u t v l ng (đ dài, góc,…)

B là k t lu n c n đ c kh ng đ nh là đúng

N u ta thi t l p đ c m i quan h gi a các đi m hay đ ng đã cho trong

gi thi t A v i các đi m hay đ ng trong k t lu n B thông qua m t phép bi n hình nào đó thì nh nh ng tính ch t đ c b o toàn qua các phép bi n hình đó

ta có th nh n đ c các k t qu v :

Tính đ ng qui hay tính th ng hàng

Các quan h song song, vuông góc hay liên thu c

Các đo n th ng b ng nhau hay các góc b ng nhau

giúp suy ra đi u c n ch ng minh

Phép quay là m t công c u vi t trong vi c s d ng đ đ a đ n các k t

qu trên

Ta có th chuy n đ i bài toán nh phép bi n hình, chuy n m nh đ

“A ” thành m nh đ “A'B  ” , “A'B'  ” hay “AB  ”b ng cách B'

chuy n A thành A’ và B thành B’ qua m t phép bi n hình Khi m nh đ thay

th đ c ch ng minh thì nh tính ch t 1_1 và tính ch t c a phép bi n hình đã

s d ng đ suy ra m nh đ ban đ u

Trong nhi u tr ng h p, vi c v thêm các đi m, các đ ng mà ta quen g i

là d ng các hình ph có th giúp mang nh ng d ki n đã cho đ n v i nh ng hình có liên quan h p thành m t hình m i đ t đó có th nh n đ c đi u c n

ch ng minh Thông th ng vi c d ng hình ph t ng đ ng v i vi c d ng

nh c a đi m hay đ ng qua m t phép bi n hình nào đó

Ví d 1:

Cho hai tr c x’Ox và y’Oy vuông góc v i nhau t i O Gi s C là đi m trên

phân giác góc xOy, vòng tròn tâm I di đ ng qua C và O c t Ox’, Oy l n l t

t i M, N

O'

C

O I

a, Ch ng minh r ng :OM + ON = k không đ i

b, Gi s vòng tròn tâm I’ qua C và O c t Ox’, Oy l n l t t i A, B thì ta

28

d3

d2 d1 d4 C''

B''

A'' O

D' B'

D A

B

C' C

Ví d 2:

Cho hình vuông ABCD Trên c nh BC l y đi m M, trên c nh CD l y đi m N

sao cho MAN = 45o Ch ng minh r ng: CM + CN + MN không ph thu c

MN + CM + CN = BM +DN + CM + CN = (BM + CM) + (DN



+ CN) = BC + DC

= 2BC

V y CM + CN + MN không ph thu c v trí c a các đi m M, N trên BC và

CD

Ví d 3:

Cho hình vuông ABCD n i ti p hình bình hành A’B’C’D’ sao cho:

A A'B', B B'C', C C'D', D D'A'    H t các đ nh D’, A’, B’, C’, các

29

r ng qua phép quay 90 quanh đi m O (O là

tâm hình vuông ABCD) các đ ng th ng

A' A''B' B'':

C' C''D' D''Q

d1 d2: d3 d4

*Chú ý: Có nhi u bài toán sau khi gi i xong ta thu đ c nh ng k t qu mà

d a vào đó ta có th xây d ng và gi i nhi u bài toán khác liên quan i u đó

đ c th hi n qua m t s ví d sau đây:

Ví d 1:

Cho tam giác ABC D ng ra phía ngoài c a tam giác đó các hình vuông

ABMN, ACPQ

a, Ch ng minh r ng: BQ = CN, BQ CN

b, G i D là trung đi m BC và K, H theo th t là tâm các hình vuông

ABMN, ACPQ Ch ng minh r ng tam giác DKH là tam giác vuông cân

Gi i:

M N

B

C A

S

H K

M

N

P Q

ngh a là tam giác DKH vuông cân t i D

*Nh n xét: T k t qu c a ví d 1 ta có công c đ gi i m t s bài toán sau:

Bài 1:

Cho tam giác ABC, d ng ra phía ngoài c a tam giác các hình vuông ABMN,

ACPQ, BCEF l n l t có tâm là K, H, G Ch ng minh r ng:

Xét tam giác MBQ ta có BMNA, BCPQ

là các hình vuông d ng ra phía ngoài tam

giác đó nên theo ví d 1 ta có:

K t h p (1) và (2) ta có: KIHR là hình

vuông

Bài 3:

Cho t giác l i ABCD G i E, F, G, H theo th t là tâm các hình vuông có

c nh là AB, BC, CD, DA d ng ra phía ngoài t giác Ch ng minh r ng: trung

C A

B

C D

Qua N’ d ng đ ng th ng d4 song song v i d2, c t d3 và M’M’’ l n l t t i

M M'M''  M DC i u này mâu thu n v i gi thi t

MAB V y tr ng h p này bài toán vô nghi m hình

Các tr ng h p khác bài toán có m t nghi m hình

Bài 2:

D ng hình vuông ABCD bi t đ nh A và trung đi m M c a BC

Gi i:

- B c 1 (phân tích):

Gi s đã d ng đ c hình vuông ABCD tho mãn yêu c u bài toán

Qua M k đ ng th ng d1 vuông góc v i AM, c t AB, DC l n l t t i P, Q thì theo ví d 2 ta có: PQ = AM

- B c 2 (cách d ng):

Qua M d ng đ ng th ngd1 vuông góc v i AM

Trên d1 và v hai phía c a M l y hai đi m P, Q cách đ u M sao cho PQ =

AM

Qua M d ng đ ng th ng d2 vuông góc v i AP, c t AP t i B

Qua A d ng d3 song song v i d2

Qua Q d ng đ ng th ng d4 song song v i AP, c t d2 và d3 l n l t t i C và

D

Khi đó ta đ c hình vuông ABCD c n d ng

- B c 3 (ch ng minh): D th y hình vuông ABCD đ c d ng nh trên tho mãn yêu c u bài toán

- B c 4 (bi n lu n): Bài toán có m t nghi m hình

Bài 3:

Hãy d ng hình vuông ngo i ti p t giác l i ABCD

D ng đ ng th ng d1 qua D và vuông góc v i AC

Trên d1 l y đi m B’ sao cho DB’ = AC và AB’CD là t giác l i

Bài toán có m t nghi m hình n u B’ không trùng v i B

Bài toán có vô s nghi m hình n u B’ trùng v i B

Bài 2: Xây d ng bài toán m i nh s d ng phép quay

Xu t phát t nh ng đi u đã bi t và bài toán đ n gi n, s d ng các phép

bi n hình ta có th xây d ng, sáng t o bài toán m i khoá lu n này em ch trình bày cách sáng t o, xây d ng bài toán m i nh s d ng phép quay mà

không trình bày l i gi i c a bài toán đó vì l i gi i d dàng có đ c trong cách

ta xây d ng bài toán

d4

d1

B' P N

A

C

D B

D'

B'

D A

Q

o

90 O

Cho hai hình vuông ABCD và

A’B’C’D’ có chung tâm và các đ nh

cùng đ c đánh theo chi u quay kim

Hai tam giác đ u ABC và A’B’C có các

đ nh cùng đ c đánh theo chi u quay

kim đ ng h G i M, N l n l t là trung

G A

A

C A'

39

N

M E F

*T s phân tích trên ta xây d ng đ c các bài toán sau:

b, Tam giác CMN đ u, trong đó M, N l n l t là trung đi m BF, EA

Khi đi m C n m ngoài đ ng th ng AB ta c ng có k t qu t ng t và ta có

bài toán sau:

C F

60 60

B'

C

A

C' B

Bài toán 2:

Cho ba đi m A, B, C không th ng hàng D ng các tam giác đ u CBE và CFA cùng chi u theo th t đó Ch ng minh r ng:

a, AE = BF

b, Tam giác CMN đ u v i M, N l n l t là trung đi m BF, AE

Khi góc quay 60 đ c thay b i góc quay 90 thì ta có bài toán sau:

Bài toán 3:

Trên đo n th ng AB l y đi m C khác A và

B D ng các hình vuông ACMN, CBEF n m

đo n còn l i Do đó, theo trên ta có: trong ba đo n B’C’, CC’, BB’ thì đo n

l n nh t không l n h n t ng hai đo n còn l i

*T s phân tích trên ta xây d ng đ c bài toán sau:

Bài toán:

41

C F

C M

Cho ba đi m không th ng hàng A, B, C D ng tam giác đ u ABB’ và tam giác đ u ACC’ sao cho hai tam giác đó cùng chi u theo th t đó Ch ng minh r ng đo n th ng l n nh t trong ba đo n B’C’, BB’, CC’ không l n h n

*T s phân tích trên ta có bài toán đ c xây d ng nh sau:

Bài toán:

Cho hình bình hành ABCD D ng các tam giác đ u ABE và ADF sao cho E

n m cùng phía v i đi m C đ i v i đ ng th ng AB, đi m F n m cùng phía

v i đi m C đ i v i đ ng th ng AD Ch ng minh r ng: tam giác CEF là tam giác đ u

Ví d 6:

43

p B

A

C M

P

N

n

p m

BC hay tam giác BCP cân t i P d ng ra

phía ngoài tam giác ABC và có góc BPC

 sao cho n + m + p = 360o Tính các góc c a tam giác PMN

Khi cho m, n, p các giá tr xác đ nh thì ta có các bài toán c th nh sau:

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC D ng ra phía ngoài tam giác đó các tam giác đ u ABM, CAN, BCP l n l t có tâm là K, H, G Ch ng minh r ng: tam giác KHG là tam giác đ u

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC D ng ra phía ngoài các tam giác vuông cân ABM, CAN

l n l t cân t i M, N G i P là trung đi m BC Ch ng minh r ng: MNP là tam

giác vuông cân

Cho m, n, p các giá tr xác đ nh ta có các bài toán c th , ch ng h n ta xây

d ng đ c bài toán sau:

Bài toán:

Cho tam giác ABC D ng ra phía ngoài tam giác đó các tam giác AMB, ANC sao cho: tam giác AMB vuông cân t i t i M, tam giác ANC đ u; d ng vào phía trong c a tam giác ABC tam giác BPC cân t i P sao cho o

BPC = 150

Tính các góc c a tam giác PMN