5 chuyen de BDHGS so hoc hay

Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là s

Kênh Youtube:NĐT OFFICIAL Page Góc Toán Học: Facebook.com/Thaygiaodepzai

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa

6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] =

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) -

4

1 k(k+1)(k+2)(k-1)

4

1.2.3.4.5 -

4

1.1.2.3.4 +…+

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) -

4

1 k(k+1)(k+2)(k-1) =

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2  k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính

phương.

Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 10n + 8 11…1 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1

9 8 10 8 10 4 10

4 2n  n  n  

=

9

1 10 4 10

2 n

Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia

hết cho 3 n-1 chữ số 0

.

2 n

 Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương

Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:

10 2n  n  n  

=

9

4 10 4

2

10n

là số chính phương ( điều phải chứngminh)

Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên

tiếp không thể là một số chính phương

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).

Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5

 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương

và n>1 không phải là số chính phương

n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]

= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)Với nN, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2

Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn

chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương

Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1

1 10 ( 2008  2008 

+ 1 =

9

9 5 10 4 ) 10 ( 2008 2  2008  

2007 chữ số 0

2

2

có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1  k+n+1 = 11  k = 6

k – n - 1 = 1 n = 4

b Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2

 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2  (2n + 3)2- 4a2 = 9

 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1  2n + 3 + 2a = 9  n = 1

 n = 13k2  8k + 1

Vậy n = 13k2  8k + 1 (Với k  N) thì 13n + 3 là số chính phương

d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m  N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2

 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên

ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

…; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số

3 nên nó không phải là số chính phương

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3

a n 2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)

b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21;

23)

Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn

 (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4  Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)

Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương

Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)

Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 <

x ≤ 9 (2)

Từ (1) và (2)  x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7

Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776

Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các

số chính phương.

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84

Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương.Vậy n = 40

2

Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều

là các số chính phương thì n là bội số của 24.

4a a

= 2a(a+1)

 n chẵn  n+1 lẻ  k lẻ  Đặt k = 2b+1 (Với b  N)  k2 = 4b(b+1) +1

 n = 4b(b+1)  n 

8 (1)

Ta có k2 + m2 = 3n + 2  2 (mod3)

Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Nên để k2 + m2  2 (mod3) thì k2  1 (mod3)

 n = 5+7 = 12

Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ

số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.

Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số

đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống

nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b  N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤

b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18  a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính

Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số

nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính

 abcd = 2025

Vậy số phải tìm là 2025

Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của

số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một

số chính phương

Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )

Số viết theo thứ tự ngược lại ba

Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11  a2 -

b2  11

Hay ( a-b )(a+b )  11

Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11  a + b = 11

Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ

số đó ta cũng được một số chính phương Tìm số chính phương ban đầu

( Kết quả: 1156 )

Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương

của tổng các chữ số của nó

Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9

Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3

Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số

của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

* NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊtmét thõa sè cña tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p.

* NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tÝch ab kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p

II C¸c vÝ dô:

VD1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 Tổng

của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ

HD:

Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên

tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ Do

đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn

VD2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 Tìm số nguyên

tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó

HD:

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2

VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay

không? Vì sao?

HD:

Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số

nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do

2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải là

VD6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có

dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1

HD:

Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số d: 0;1; 2; 3 Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết đợc dới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3

VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của

hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố

2 2 2 2 2

2

2 2 2

II Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè

Bài 3:

a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số

b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số

c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số

d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số

e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số

f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số

g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số

h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minhrằng: 8p + 1 là hợp số

i) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số

j) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số

Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số

nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6

Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn

số trớc là d đơn vị Chứng minh rằng d chia hết cho 6

Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết

số đó theo thứ tự ngợc lại thì ta đợc một số là lập phơng của một số tự nhiên

Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn

bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên

Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho

a.b.c < a.b + b.c + c.a

Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r

Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z

Bài 15: Tìm số nguyên tố

2

, � c�c s� nguy� n t� v� b

abcd sao cho ab ac l cd b c 

Bài 16: Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c

�N*) là các số nguyên tố Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau

Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:

Bµi 23: Cho sè tù nhiªn n�2 Gäi p1, p2, , pn lµ nh÷ng sè nguyªn tè sao cho

pn � n + 1 §Æt A = p1.p2 pn Chøng minh r»ng trong d·y sèc¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Kh«ng chøa mét sè nguyªn tè nµo

Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyªn tè th×

Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa

bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6

e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên

lẻ nào cũng cho ta số có chữ số tận cùng là 5.

Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n

thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3

sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ

số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n +

Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 − 1 = (9 − 1)(98 +

97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4  99 = 4k + 1 (k  N)  799 = 74k + 1 = 74k.7

Do 74k có chữ số tận cùng là 1  799 có chữ số tận cùng là 7

b) Dễ thấy 1414 = 4k (k  N)  141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.c) Ta có 567 − 1 M 4  567 = 4k + 1 (k  N)  4567 = 44k + 1 = 44k.4  44k cóchữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4

Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia

cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n  {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ

số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + …+ 9) + 9 = 9009

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9

Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia

cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là

7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằngchữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 +

4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 +9) + 8 + 7 + 4 = 9019 Vậy: chữ số tận cùng của tổng T là 9

19952000

là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích củahai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2; 6

 n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7  n2 + n + 1 không chia hết cho

5

Vậy: không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ

số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được Bài sau:

Bài 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương:

cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùngcủa số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tựnhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơngiản hơn

Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số

tự nhiên x = am như sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = am M 2m Gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1

Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an − 1 M 100

sao cho 2n − 1 M 25

Ta có 210 = 1024  210 + 1 = 1025 M 25  220 − 1 = (210 + 1)(210 − 1) M 25 

23(220 − 1) M 100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 =100k + 8 (k  N)

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08

b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n

− 1 M 100

Ta có 74 = 2401 => 74 − 1 M 100 Mặt khác: 99 − 1 M 4 => 99 = 4k + 1 (k N)

Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q  N) tận cùng bởi hai chữ số

07

trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n − 1 M 100

Ta có 310 = 95 = 59049  310 + 1 M 50  320 − 1 = (310 + 1) (310 − 1) M 100 Mặt khác: 516 − 1 M 4  5(516 − 1) M 20  517 = 5(516 − 1) + 5 = 20k + 5 

3517 = 320k + 5 = 35(320k − 1) + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai chữ số tận cùng là

43

Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18

Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách giántiếp

Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khảnăng của hai chữ số tận cùng Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 đểchọn giá trị đúng

Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n

= 4

Một câu hỏi đặt ra là: Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tínhchất sau đây:

Bài 13: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng:

a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003

hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25

Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a  N và (a, 5) = 1 ta có a�

100 − 1 M 25

Vậy với mọi a  N ta có a2(a100 − 1) M 100

Do đó S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042

Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tậncùng của tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

12 + 22 + + 20042 = 2005 � 4009 � 334 = 2684707030, tận cùng là 30 Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 − 1) + +

20043(20042000 − 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2

cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + + 20043 Áp dụngcông thức:

Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:

+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 ;

+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ ;

+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 ;

+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ

số chính phương

− 1 = 2400 M 100 Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2 Vậy haichữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r =

0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45 Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 khôngthể là số chính phương khi n không chia hết cho 4

III Tìm ba chữ số tận cùng

Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba

chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia xcho 1000