Sinh 8

Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong tam giác.. Gọi K, M, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB.. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 VÒNG TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009

……… MÔN THI : TOÁN

( Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề )

Câu 1: (2,5 điểm) Cho phương trình: 2 2 3 1 0





x (1) Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1)

a, Hãy lập phương trình ẩn y nhận

1 2 2 2 1 1

2 ,

2

x x y x x

y     làm nghiệm

b,Không giải phương trình (1) hãy tính giá trị biểu thức: 3

2 1 2

3 1

2 2 2 1

2 1

4 4

3 5

3

x x x x

x x x x A









Câu 2: (1,5 điểm).cho phương trình : 4 3 2 1 0









ax bx ax

x có ít nhất một nghiệm thực , với a,b là số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của a 2 b2

Câu 3 : (2,5 điểm)

a, Giải phương trình: 4

3

10 2

6







b, Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: 2

12 )

1 ( ) 1 ( 3

7 ) 1 ( ) 1 ( 2 2

2





















m x

x x x

x

x x x

Câu 4: (1,5 điểm).Cho x,y,z1 ; 2 Tìm giá trị lớn nhất của ( )(1 1 1)

z y x z y x

P    

Câu 5: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc miền trong tam giác Gọi K, M, L lần lượt là hình

chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí P sao cho tổng BK2 CL2 AM2 nhỏ nhất

……… HẾT……….

( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:………

Số báo danh:………

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

Câu Nội dung Điểm

I

Theo Vi-Et ta có : 





 1

3 2 2

1 2 1

x x x

2 1

2 1 2 1 2

x x

x x x x y

9 4 4 2 1 2

1 2

x x x

x y

Vậy: 2 6 3 9 0





2 2 1 2 1

2 1 2

1

2 2 1

2 ) (

4

5 ) 2 ) (

3

x x x

x x x

x x x

x x

x A













0,25

( 2 3 ) 2 1

1 4

1 ) 3 2 (

3

2 2





4(3612 12) 87





II

* x = 0 không là nghiệm pt

* x  0 : Phương trình trở thành : 2 12 ( 1) 0









x x a x x

0,25

Đặt 1 t;t  2

x

x , khi đó phương trình trở thành: t2at 2 b 0  2  t2 atb 0,25

Theo Bunhia

1

2 1 )

1 )(

(

2 2

2 2 2 2

2 2

























t

t t

b at b a t

b a b

6 1

9

2 2 2













t t b a

0,25

Mặt khác:



















5

16 25

) 1 ( 16

5

18 1

9 25

) 1 ( 9

2

2 2

t

t

t

Vậy

5

4 2 2



b

t

t t

x x

















6

10 1

6 3

0 2

6

2

2 2

0,25

0 96 48 12

8 3 2 4











2



IIIa 2

1



 x

KL:

0,25

IIIb

b, Đặt

x x

t  1, bài toán quy về tìm đk để bpt sau đúng với mọi t:

2 3

1 2

2

2











m t t

t t

0,25

Vì mẫu xác định với mọi t nên    m  3t tm 0 , t

12

1

Do đó bất phương trình tương đương với : 2t2  t 1  6t2  2t 2m, t

t m

t

 4 2 3 2 1 0 ,

0,25

0 ) 1 2 ( 16





32

25



 m

KL:

0,25

IV

Do vai trò x, y, z như nhau nên giả sử1 xyz 2











 



 





 



 



0 1

1

0 1

1

y z x

y

z y y

x

0,25

x

z z

x y

z x

y z

y y

x





































) ( 2 5 3

x

z z

x z

x x

z y

z z

y x

y y

x















































x = y hoặc y = z

0,25

Đặt t =  ; 1

2

1

z

x

, ta có:

2

5 1 0

) 2

1 )(

2

t t t

t (2) Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 2

1



t

0,25

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và chỉ khi







2 1

z y z

KL:

0,25

V

Đặt S = BK2 + CL2 +AM2 Theo tính chất của tam giác vuông ta có:

Do vậy: 2S =(BK2 +KC2) + (CL2 + LA2) + (AM2 +MB2

] ) (

) (

) [(

2

MB AM LA

CL KC



0,5

) (

2

AB CA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : BK KC,CLLA,AM MB 0,5