Dap an mon toan ki thi tuyen sinh DH 2005.pdf

Dap an mon toan ki thi tuyen sinh DH 2005.pdf

Đáp án tham khảo đề thi khối A môn Toán

kỳ thi tuyển sinh ĐH và CĐ năm 2005

Câu I:

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Với

4

1

m = thì

x

4

1

• TXĐ: R\{0}

2 2 2

4

4 1

4

1 y'

x

x x

−

=

−

=







=

⇒

=

−

=

−

⇒

−

=

⇔

=

−

⇔

=

1 ) 2 ( 2

1 ) 2 ( 2 0

4 0

f x

f x

x

±∞

=











=

±

x x

1 4

1

lim

lim

0 0

0

=

⇒ x là tiệm cận đứng

x y x

y

x

1 0

4

1 4

1

lim lim − = = ⇒ =

±∞

→

±∞

Bảng biến thiên

• Đồ thị: có điểm Cực đại (-2;-1);

Cực tiểu (2;1) và nhận giao điểm

O(0,0) của 2 tiệm cận là tâm đối

xứng

• Đồ thị không cắt các trục tọa

độ

y

-2 1

2

0 -1

>

^

x

x 1

4

1

y = +

x

y =

x

y

2/

2 2

) ( 1

1 '

y

x

x x

mx x

=

Hàm số có cực trị ó y’=0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó

ó ϕ (x)có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó

ó ∆'x = m > 0 ⇔ m > 0

• Giả sử x1, x2 (x1< x2) là 2 nghiệm của ϕ (x) thì

m

x m

1 ,

1

Ta thấy ϕ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x2

m

x2 = 1

⇒ là hoành độ cực tiểu

m f

y2 =  1 = 2

⇒ tọa độ Cực tiểu  m

m;2

1

* Tiệm cận xiên của (Cm) là: y=mx ó mx-y = 0

(vì m>0 và lim( − )= lim 1 = 0

∞

→

∞

• Khoảng cách từ điểm Cực tiểu đến tiệm cận là

2 1

2

1 1

2 1

+

−

⇔

m

m m

m

2

1 1

2 = +

⇔

m m

m

m2 + 1 = 2

⇔

Câu 2

1 Giải bất phương trình 5x− 1- x− 1 > 2x−4 (1)

TXĐ: x ≥2

(1) => 5x− 1 > 2x− 4 + x− 1

ó 5x – 1 >2x - 4 + x – 1 + 2 ( 2x− 4 )(x− 1 )

ó 2x + 4 > 2 2x2 − 6x+ 4

ó x + 2 > 2x2 − 6x+ 4

óx2

+ 4x + 4 > 2x2 - 6x + 4

ó x2

-10x < 0 ó 0 < x < 10

Kết hợp với TXĐ ta có nghiệm của bất phương trình là : 2 ≤ x <10

2 Giải phương trình

cos23xcos2x – cos2x = 0

ó 2 cos2

3xcos2x – 2cos2x = 0

ó (1+ cos6x) cos2x – 1 – cos2x = 0

ó cos6xcos2x = 1

do cos6x ≤ 1 và cos2x ≤ 1 nên



















−

=

−

=







=

=

1 2

cos

1 6

cos

)

2

(

1 2 cos

1 6

cos

)

1

(

x x x x

(1) =>







=

=

−

1 2 cos

1 2 cos 3 2 cos

x

x x

=> cos2x =1 => 2x = 2kΠ => x = kΠ (k∈ Z)

(2) => cos2x = -1 ó x =

2

Π + kΠ

(3) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm là x =

2

Π + k

2 Π (k ∈ Z)

Câu 3:

1 Nhận xét hình vuông ABCD có B,D nằm trên Ox, A ∈ (d1) và C

∈(d2) thì A và C đối xứng qua Ox => A(xo,yo) thì

y0 = x0 và C (x1 ,y1) thì y1 = 1-2x1

và







=

−

=

1

1 0

y y

x x

o

ó















=

=

⇒

−

=

−

=

1

1 2

1

0

0 0

0 1

y

x x

x

x

x o

Do đó







−

=

=

1

1

1

1

y

x

Từ đó ta có:

A (1,1); C(1,-1)

=> tâm hình vuông là I(1,0) và IA = IC = 1

Vậy B(x2, 0), D (x3,0) ( với x2 < x3)

Do tính chất hình vuông => IA = IC = IB = ID = 1

Nên x2 =0, x3 = 2

Vậy B(0,0), D(2,0)

Kết luận : A(1,1), B(0,0), C(1,-1), D(2,0)

2

a Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng tham số

(d)









+

=

+

−

=

−

=

t z

t y

t x

3

2 3 1

Lấy I ∈ (d) => I ( 1-t,-3+2t,3+t)

Theo yêu cầu bai toán ta có

d (I,(P)) =2 ó

4 1 4

9 ) 3 ( 2 ) 2 3 ( ) 1 ( 2

+ +

+ +

− +

− +

= 2

• Theo đầu bài ta có A = (d) ∩(P) thì tọa độ của A là xo của hệ phương trình:

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

0 9 2

2

3

2 3

1













= +

−

+

+

=

+

−

=

−

=

z

y

x

t z

t y

t x

Thế (1)(2)(3) vào (4) ta có

2 - 2t = 0 ó t = 1 vậy A(0,-1,4)

• Gọi ur∆

là vecto chỉ phương của ( ∆ )thì ur∆

⊥ ur∆

(vecto chỉ phương của (d) và ur∆

⊥ nrp

( vecto pháp tuyến của (P)) =>

∆

ur

=[nrp urd

, ]mà urd

= (-1,2,1) ; n rp

= (2,1,-2) => u r∆

= (5,0,5) Vecto chỉ phương của ( ∆ )là

5

1

∆

u r

= (1,0,1) và phương trình tham số của( ∆ )là:









+

=

−

=

=

t z

y

t

x

4

1

Câu IV: 1) Tính tích phân:

dx x

x x

0 1 3 cos

sin 2

sin

π

Giải:

Biến đổi: sin2x + sinx = 2 sinx cosx

3

1 ) 1 cos 3 ( 3

2







Do đó dùng phép đổi biến u = 3 cosx + 1 thì

du = -3sinx dx ⇒ sinxdx = -

3

1

du Thay cận:

x 0 π / 2

u 4 1

Ta được:





= /2

sin 3

1 ) 1 cos 3 ( 3

2

π

x

xdx x

3





1 4

3

1 3

2

u

du u

=

3

1

du u

u

∫4 + −  1

2 / 1 2

/ 1

3

1 3

2

=

4

1

2 / 1 2

/ 3

) 2 9

1 3

2 9

2

27

34 9

2 27

4 9

4 8 27

4

=











−











Đáp số I =

27 34

2) Tìm số nguyên dương n sao cho:

C1

1

2n+ - 2.2C2

1

2n+ + 3.22

C3 1

2n+ - 4.23

C4 1

2n+ + …+ (2n+1)2 n

C2 1 1 2

+ +

n

n = 2005 Giải:

Xét hàm số: f(x) = (1 - x)2n+ 1

Ta có: f’(x) = - (2n+1).(1-n) n

(1)

Theo nhị thức Niutơn, ta có:

f(x) = C0

1

2n+ + C1

1

2n+ x + C2

1

2n+ x2

- C3

1

2n+ x3 + … - C2 1

1 2

+ +

n

n x2n+ 1 Suy ra:

f’(x) = - C1

1

2n+ + C2

1

2n+ 2x - C3

1

2n+ 3x2+ … - C2 1

1 2

+ +

n

n (2n+1)x n

(2)

Cho x = 2, ta được:

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2 1

1

2 + − 2 2 + + 3 2 + − 4 2 + + + ( 2 + 1 ) 2 n++

n n n

n n

Theo giả thiết vế phải của đẳng thức trên bằng -2005

Vậy f’(2) = - 2005, thay vào (1) ta được:

-2005 = - (2n+1).(1-2) n

⇔ 2n +1 = 2005 ⇒ n = 1002

Đáp số: n = 1002

Câu V

* CM bổ đề: ∀a, b dương luôn có:











 +

≤

a

1 1 4

1 1

(*)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b

c.m: (*) <=> ( ) 1 1 ≥ 4









 +

+

b a b

0

2 >

≥

0 2 1

1

>

≥

+

ab b

=> ( ) 1 1 ≥ 4









 + +

b a b

a Đẳng thức xẩy ra <=> a=b

* Do x, y, z dương nên áp dụng bổ đề (*) ta có:



















 + +







 +

≤









+

+ +

≤ + + +

=

+

x

1 1 2 16

1 1

1 4

1 1 1 4

1 4

1 1

1 4

1 1

2

1

=>







 + +

≤ +

x

1 1 2 16

1 2

1

(1)

Tương tự









+ +

≤

+

x

1 2 1 16

1 2

1

(2)









+ +

≤ +

x

2 1 1 16

1 2

1

(3)

Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được:

1 4 4 4 1 1

1 1

=

=



 + +

≤ +

+