Truong dong toan hoc 2017 mien

Là các sinh viên trưởng thành từphong trào Toán Olympic, chúng tôi quay lại giúp đỡ các bạn học sinh chuyênToán với tất cả nhiệt huyết, đam mê còn nguyên vẹn từ ngày xưa, ngày màchúng tô

TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC

MIỀN NAM 2017 NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ

VÕ THÀNH ĐẠT – LƯƠNG VĂN KHẢI – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG

Đội Huấn luyện viên Trường đông Toán học miền Nam 2017

VÕ THÀNH ĐẠT - LƯƠNG VĂN KHẢI - PHẠM THỊ HỒNG NHUNG

Đội HLV Trường đông Toán học miền Nam 2017

TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC

MIỀN NAM 2017 Những bài toán hay và khó

Tháng 12/ 2017

1 ĐỀ BÀI 9

1.1 Đại số 9

1.2 Hình học 12

1.3 Phương trình hàm - Dãy số 14

1.4 Số học 17

1.5 Tổ hợp 19

2 HƯỚNG DẪN GIẢI 25 2.1 Đại số 25

2.2 Hình học 51

2.3 Phương trình hàm - Dãy số 76

2.4 Số học 109

2.5 Tổ hợp 121

Nét đăc trưng của các chương trình Gặp gỡ Toán học và Trường đông Toánhọc miền Nam chính là đội Huấn luyện viên Là các sinh viên trưởng thành từphong trào Toán Olympic, chúng tôi quay lại giúp đỡ các bạn học sinh chuyênToán với tất cả nhiệt huyết, đam mê còn nguyên vẹn từ ngày xưa, ngày màchúng tôi ăn ngủ cùng những bài toán, nói những câu chuyện chỉ có những bàitoán, giải những bài toán mỗi ngày và đọc những bài viết về phương pháp giảitoán mỗi đêm Hơn ai hết, chúng tôi hiểu rõ những gì mà các học sinh chuyênToán trải qua, và chúng tôi muốn chia sẻ những khó khăn ấy cùng các bạn.Tập san này ra đời không ngoài mục đích đó Chúng tôi muốn đem những

gì có ở Trường đông Toán học miền Nam tới thật nhiều các bạn học sinh, để cácbạn, đặc biệt là những bạn chưa có điều kiện tham gia chương trình, đúng nhưtinh thần Bring Math to Everyone của thầy Trần Nam Dũng, đúng với nhữnggiá trị cốt lõi mà Gặp gỡ Toán học và Trường đông Toán học miền Nam Trongtập san này, các bài toán được chia theo lĩnh vực, đề bài được đưa ra trước đểcác bạn học sinh suy nghĩ, sau đó là phần hướng dẫn giải Có những bài sẽ cólời giải đầy đủ, có những bài chỉ có phần hướng dẫn sơ lược, và có những bài

sẽ có thêm phần nhận xét và mở rộng Xuất hiện ở đây không chỉ có những bàitoán được dùng trong các bài giảng của các thầy mà còn là những bài toán đượcthảo luận sau giờ học, trong giờ giải lao của các bạn học sinh

Các biên tập viên của tập san này chính là các Huấn luyện viên của Trườngđông Toán học miền Nam năm nay:

• Bạn Lưu Giang Nam (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học

Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) biên tập phần Phương trình hàm - Dãy số

• Bạn Trần Bá Đạt (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Sư phạm Tp.HCM) biên tập phần Tổ hợp

• Bạn Võ Thành Đạt (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự

nhiên, ĐHQG Tp HCM) biên tập phần Bất đẳng thức - Đa thức.

• Bạn Lương Văn Khải (sinh viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học

Lê Phúc Lữ (FPT Software Tp HCM) đã cung cấp các bài giảng Cảm ơn các bạnNgô Hoàng Anh, Phạm Hoàng Minh (học sinh chuyên Toán trường Phổ thôngNăng khiếu, ĐHQG Tp HCM), bạn Nguyễn Minh Uyên (học sinh chuyên Toántrường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang), bạn Lư Thương Thương (họcsinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh) đãnhiệt tình hỗ trợ ban biên tập Những bài nằng trong đề chính thức, đề đề nghịTrường Đông hay các đề tiêu thụ sẽ được ghi rõ nguồn, những bài còn lại lànhững bài tập hay của các thầy dạy tại Trường Đông miền Nam 2017 (do cácbạn học sinh và huấn luyện viên tham dự buổi học ghi chép lại) và những bài

mở rộng, thú vị xung quanh những bài có ghi nguồn Cảm ơn đơn vị tổ chứcchương trình là Công ty cổ phần Giáo dục Titan - Titan Education đã tạo mọiđiều kiện để chúng tôi hoàn thành được tập san này

Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đọc để những ấn phẩmsau được hoàn thiện hơn Mọi đóng góp xin gửi qua hộp thư ở fanpage chườngtrình https://www.facebook.com/gapgotoanhoc/ Những ý kiến của các bạn

sẽ là những kinh nghiệm lớn cho chúng tôi trong những lần biên tập sách tiếptheo

Cảm ơn tất cả các bạn!

ĐỀ BÀI

1.1 Đại số

Bài 1 (Đề tiêu thụ ngày 1 trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba số thực sao

cho(a − b)(b − c)(c − a) 6= 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca

1(a − b)2 + 1

(b − c)2 + 1

(c − a)2



Bài 2 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn abc= 1 Chứng minh rằng

Bài 4 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba số thực dương Xét

1 Chứng minh minh bất đẳng thức trên với n= 1

2 Với n = 2 thì bất đẳng thức trên còn đúng không? Nếu có, hãy chứngminh Nếu không, hãy chỉ ra phản ví dụ

Bài 5 (Đề chính thức trường đông Trung Trung Bộ) Cho a, b, c là các số thực

dương thoả mãn điều kiện a+ b + c = 3 Chứng minh rằng

9abc ≥ 2 a

c +c

b + ba

+ 3

Bài 6 Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức

xyz+ 2 + k(x − 1)2+ (y − 1)2+ (z − 1)2 ≥ x + y + z

đúng với mọi x, y, z không âm

Bài 7 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam

giác, chứng minh bất đẳng thức sau:

a2b(a − b) + b2c(b − c) + c2a(c − a) ≥ 0

Bài 8 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho a, b, c là các số thực không âm

thoả mãn điều kiện a+ b + c = 3 Chứng minh rằng

Bài 11 Tìm tất cả các đa thức P(x) ∈ R[x] thoả mãn

P(x)P (2x2) = P (x3+ x)

Bài 12 Cho đa thức P(x) ∈ R[x] và P (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R Chứng minh rằng

đa thức P(x) có thể biểu diễn dưới dạng

P(x) = (A(x))2+ (B(x))2trong đó A(x), B(x) cũng là các đa thức có hệ số thực

Bài 13 Cho đa thức

f(x) = xn+ an−2xn−2+ an−3xn−3+ + a1x+ a0 ∈ R[x]

Chứng minh rằng tồn tại i ∈ {1, 2, , n} sao cho |f (i)| ≥ n!

Ci n

Bài 14 Cho số nguyên n ≥3 và P (x) ∈ R[x] thoả mãn

P(x) = xn+ an−3xn−3+ an−4xn−4+ + a1x+ a0.Biết ít nhất một số trong các số a0, a1, , an−3 khác 0 Chứng minh rằng P(x)không thể có toàn nghiệm thực

Bài 15 Cho n là số nguyên dương chẵn Một đa thức monic bậc n có n nghiệm

thực (không nhất thiết phân biệt) Giả sử y là số thực dương thoả với mọi sốthực t < y, ta có P(t) > 0 Chứng minh rằng pP (0) −n pP (y) ≥ y.n

Bài 16 Tìm các đa thức f(x), g(x) hệ số nguyên thoả mãn

ai

an

+ 2 và P (m) là số nguyên tố.Chứng minh rằng P(x) bất khả quy trên Z

Bài 18 Cho số nguyên dương n Tìm tất cả đa thức P thoả mãn đồng thời hai

điều kiện sau:

i P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 trong đó {a0, a1, , an} ={0, 1, 2, , n}

ii Đa thức P có n nghiệm thực phân biệt

Bài 19 Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên f sao cho n|m ⇒ f(n)|f (m) vớimọi các số nguyên dương m, n.

Bài 20 (Đề chính thức ngày 1 trường đông miền Nam) Cho đa thức monic P(x)bậc n >1 (tức P có hệ số của bậc lớn nhất bằng 1) có n nghiệm thực x1, x2, xnphân biệt khác0 Chứng minh rằng:

Bài 1 (Trần Quang Hùng) Cho 4ABC điểm P di chuyển trên cạnh P C Q, R

lần lượt là hai điểm đối xứng với P qua CA, AB Lấy điểm M nằm trên đườngtròn ngoại tiếp 4AQR sao cho AM k BC Chứng minh đường thẳng P M điqua một điểm cố định khi P di chuyển trên cạnh P C

Bài 2 (Trần Quang Hùng) Cho 4ABC có đường cao AH Giả sử đường tròn

đường kính BC tiếp xúc đường tròn nội tiếp 4ABC Chứng minh rằng AH +

BC = AB + AC

Bài 3 (Trần Quang Hùng) Cho 4ABC có hai đường cao BE và CF Đường

tròn bàng tiếp góc A là(Ia) Hai tiếp tuyến chung trong của (AEF ) và (Ia) cắt

BC tại P và Q Chứng minh rằng BP = CQ

Bài 4 (Trần Quang Hùng) Cho đường tròn (O1) và (O2) ngoài nhau có AB

là một tiếp tuyến cung ngoài và CD là một tiếp tuyến chung trong Gọi P =

AB ∩ CD, Q= AD ∩ BC Chứng minh rằng P Q ⊥ O1O2

Bài 5 (Trần Quang Hùng) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và

một điểm P thuộc cung CD không chứa A và B Gọi E = P A ∩ BD, G =

BP ∩ AC, H = AP ∩ CD, F = BP ∩ CD, Q = EF ∩ HG Chứng minh rằng P Qluôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển

Bài 6 (Trần Quang Hùng) CCho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O cố

định có hai điểm BC cố định, A di chuyển trên (O) Gọi AD, BE, CF là bađường cao của tam giác cắt nhau tại H DE, DF lần lượt cắt HB, HC tại Q, R.Gọi M là trung điểm QR Chứng minh rằng HM đi qua điểm cố định

Bài 7 (Trần Quang Hùng) Cho 4ABC nội tiếp đường tròn(O) cố định có B, C

cố định và A di động trên(O) Gọi E, F lần lượt là điểm đồi xứng của B, C qua

CA, AB Gọi M = CE ∩ AB, N = BF ∩ AC Chứng minh rằng đường thẳngqua A vuông góc với M N đi qua một điểm cố định

Bài 8 (Đề chính thức trường đông Trung Trung Bộ) Cho tam giác ABC nhọn,

BE, CF là các đường cao M là trung điểm của BC N là giao điểm của AM

và EF Gọi X là hình chiếu của N lên BC Y, Ztheo thứ tự là hình chiếu của Xtrên AB, AC Chứng minh rằng N là trực tâm tam giác AY Z

Bài 9 (Trần Quang Hùng) Cho 4ABC có đường trung tuyến AM Đường cao

BE cắt đường trung tuyến AM tại P Lấy Q sao cho QE ⊥ AM, CQ ⊥ AB.Chứng minh rằng AQ ⊥ CP

Bài 10 (Đề chính thức ngày 1 trường đông miền Nam) Cho tam giác ABC nội

tiếp đường tròn(O) Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại T Gọi

M, N lần lượt là các điểm thuộc tia BT, CT sao cho BM = BC = CN Đườngthẳng M N cắt CA, AB theo thứ tự tại E, F; BE giao CT tại P, CF giao BT tại

Q Chứng minh rằng AP = AQ

Bài 11 (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Cho hai đường tròn(O1)

và(O2) tiếp xúc ngoài tại M Một đường thẳng cắt (O1) tại A, B và tiếp xúc với(O2) tại E (B nằm giữa A và E) Đường thẳng EM cắt (O1) tại điểm J khác

M C là một điểm thuộc cung M J không chứa A, B của (O1) (C khác M và J)

Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn(O2) (F là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng

CF và M J không cắt nhau Gọi I là giao điểm của các đường thẳng CJ và EF ,

K là giao điểm khác A của đường thẳng AI và đường tròn(O1) Chứng minhrằng:

1 Tứ giác M CF I là tứ giác nội tiếp và JA2 = JI2 = JM.JE

2 CI là phân giác ngoài tại C của tam giác ABC

3 K là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCI

Bài 12 (Đề đề nghị trường đông Trung Trung Bộ) Cho tam giác ABC Đường

tròn (K) bất kỳ tiếp xúc đoạn thẳng AC, AB lần lượt tại E, F (K) cắt đoạnthẳng BC tại M, N sao cho N nằm giữa B và M F M giao EN tại I Đườngtròn ngoại tiếp các tam giác IF N và IEM cắt nhau tại J khác I Chứng minhrằng IJ đi qua A và KJ vuông góc IJ

Bài 13 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho(I) là đường tròn nội tiếp tamgiác nhọn ABC, tiếp xúc BC, CA, AB ở D, E, F (O) là đường tròn ngoại tiếptam giác ABC Lấy D0 đối xứng với D qua EF

1 Chứng minh rằng AD0, BC, OI đồng quy

2 Gọi H, J lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và AEF Gọi R là giao

HJ và ID, T là giao D0J và OI Chứng minh rằng D0, R, T, I đồng viên

Bài 14 (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC, P là điểm bất kỳ A1 là hìnhchiếu của P lên BC.A2 là trung điểm AA1.A2P cắt BC tại A3.A4 đối xứng A1qua A3 Chứng minh rằng P A4 luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 15 (Tây Ninh 2017) Cho năm điểm A, B, C, D và E cùng nằm trên một

đường tròn Gọi M , N , P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của E xuốngcác đường thẳng AB, BC, CD và DA Gọi hình chiếu vuông góc của E xuốngcác đường thẳng M N , N P , P Q, QM lần lượt là R, S, T và U cùng nằm trênmột đường thẳng

1.3 Phương trình hàm - Dãy số

Bài 1 (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Tìm các hàm f : R → Rthoả mãn:

f(x2

) + f (xy) = f (x)f (y) + yf (x) + xf (x + y), ∀ xy ∈ R

Bài 2 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho hàm số :f : N → Nthoả

Bài 9 Tìm tất cả các hàm f : R → R thoả mãn:

f(yf (x) − x) = f (x)f (y) + 2x, ∀x, y ∈ R

Bài 10 Tìm f: R+

→ R+thoả mãn:

f(x + y) + f (x).f (y) = f (xy) + f (x) + f (y)

Bài 11 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm các hàm f : Q2

→ Qthoả mãn

1 f(a, b, c) = f (a, c)f (b, c), ∀a, b, c ∈ Q

2 f(c, ab) = f (c, a)f (c, b), ∀a, b, c ∈ Q

3 f(a, 1 − a) = 1, ∀a ∈ Q

Chứng minh rằng f(a, a) = f (a, −a) = 1 và f (a, b)f (b, a) = 1.

Bài 14 Cho hàm số f : N?× N? → N? (với N? = N ∪ {0}) thoả mãn các điềukiện sau:

n− 6un+ 7, ∀α ∈ N∗Tìm α để dãy số(un) có giới hạn hữu hạn khi và tìm giới hạn của dãy số trongcác trường hợp đó

Bài 17 Cho hai dãy số(an), (bn) được xác định bởi hệ thức truy hồi:

a1 = 3, b1 = 2, an+1 = a2n+ 2b2n, bn+1= 2anbn, ∀n ∈ N∗Tìm

Bài 19 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn:

f(yf (x + y) + f (x)) = 4x + 2yf (x + y), ∀x, y ∈ R

Bài 20 Đặt I = [0, 1] và G = {(x, y)|x, y ∈ I} Tìm tất cả các hàm số f : G → Ithoả mãn với mọi x, y, z ∈ I ta có:

Bài 1 (Đề chính thức ngày 2 trường đông miền Nam) Biết rằng với dãy nguyên

dương1 < k1 < k2 < < kn và dãy nguyên tương ứng s1, s2, , sn, với mọi sốnguyên dương N đều tồn tại i ∈ {1, 2, , n} sao cho N ≡ si (mod ki)

1 Tìm dãy {kn} và {sn} thoả mãn khi k1 = 2 và khi k1 = 3

Bài 3 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Chứng minh rằng tồn tại

vô số số nguyên tố dạng2nk+ 1 với k nguyên dương và n ≥ 2017

Bài 4 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm số nguyên dương n

nhỏ nhất sao cho1n+ 2n+ + 2016n6 .2017.

Bài 5 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho9 số nguyên dươngphân biệt d1, d2, , d9 và đa thức P(x) = (x + d1)(x + d2) (x + d9) Chứng

minh rằng có số N nguyên dương sao cho ∀x ≥ N thì P(x) có ước nguyên tốlớn hơn20.

Bài 6 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Cho P(x) ∈ Z[x] Biết

a1, a2, , an là các số nguyên thoả mãn: ∀x ∈ Z, ∃i ∈ {1; 2; ; n} sao cho

P(x) a

i Chứng minh rằng ∃j: P (x) a

j ∀x ∈ Z

Bài 7 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm các số nguyên dương

n sao cho với mọi số nguyên dương k, tồn tại số tự nhiên a sao cho a3+ a − kchia hết cho n

Bài 8 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) Tìm đa thức P(x) hệ sốnguyên biết với mọi số nguyên tố p, a, b nguyên dương thì ab ≡ 1 (mod p) ⇒

P(a).P (b) ≡ 1 (mod p)

Bài 9 (Đề tiêu thụ bài giảng trường đông miền Nam) An và Bảo cùng nhau chơi

một trò chơi: họ lần lượt viết các số tuỳ thích lên bảng thành một dòng, mỗingười3 số, An viết trước Sau đó Bảo "nhường" An điền dấu + hoặc − tuỳ ý vàogiữa các số đã viết An thắng nếu kết quả trên bảng không chia hết cho bất cứ

số tự nhiên nào từ 11 đến 18 Bảo thắng nếu xảy ra trường hợp ngược lại Annói rằng mình kiểm soát nhiều hơn, nên chắc chắn chiến thắng Bạn có đồng ýkhông? Tại sao?

Bài 10 (Đề đề nghị trường đông Trung Trung Bộ) Giả sử N∗ phân hoạch thành 3dãy tăng {an}, {bn}, {cn} thoả mãn:

Bài 14 (Nguyễn Song Minh) Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số nguyên sao cho

(P (n); P (2017n)) = 1 ∀n ∈ Z+

Bài 15 Cho số nguyên dương d Gọi f(d) là số nguyên dương nhỏ nhất có đúng

dước nguyên dương Chứng minh rằng f(2k+1) f(2k

) ∀k ∈ N

1.5 Tổ hợp

Bài 1 (Đề đề nghị trường đông miền Nam)23 người bạn muốn cùng nhau chơibóng đá Họ sẽ phải chọn ra một người làm trọng tài và22 người còn lại chialàm hai đội đá với nhau Họ muốn chia sao cho tổng cân nặng của mỗi đội làbằng nhau Giả sử cân nặng của từng người trong số23 người là các số nguyêndương và với bất kì cách chọn trọng tài nào thì họ cũng có thể chia thành haiđội mà tổng cân nặng của mỗi đội bằng nhau Chứng minh rằng23 người này

có cân nặng bằng nhau

Bài 2 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Bạn An chơi trò chơi xếp hình với

luật chơi như sau: Cho một hình vuông4 × 4 chia thành 16 ô, có 15 mảnh ghép

và một ô trống Trong mỗi bước chơi, An sẽ được phép trượt các mảnh ghép vào

ô trống để thu được hình mới Bạn An sẽ thắng nếu sau hữu hạn bước trượt, Anthu được hình như sau:

Hỏi An có thể chiến thắng nếu hình ban đầu là hình sau hay không?

Bài 3 (Đề đề nghị trường đông miền Nam) Cho một dãy vô hạn a1, a2, , an, với a1 = 1 Biết rằng với mỗi n > 1 thì:

• Nếu ước lẻ lớn nhất của n đồng dư với1 module 4 thì an= an−1+ 1

• Nếu ước lẻ lớn nhất của n đồng dư với3 module 4 thì an= an−1− 1

1 Chứng minh rằng trong dãy số đó mỗi số nguyên dương xuất hiện vô sốlần

2 Đặt bn= mini∈N(ai = n) Tìm một công thức tính bn theo n

Bài 4 Cho lục giác đều ABCDEF cạnh1 được điền các số như hình vẽ

0

1

0

11

2

A

B F

C D

E

Có một con ếch ở vị trí A nhảy xung quanh các đỉnh của đa giác với độ dài cácbước nhảy nguyên Gọi m là số cách nhảy của ếch sao cho tổng các số nó nhảyqua là2017 Chứng minh rằng m không là số chính phương.

Bài 5 Cho hai dung dịch A và B thoả mãn:

i Số đo khối lượng của1 lít A bằng số đo thể tích của 1kg B

ii p lít dung dịch A nặng bằng q lít dung dịch B với p, q là số nguyên tố phânbiệt

Người ta chia các dung dịch A và B vào các bình giống nhau chứa 1 lít dungdịch và vỏ bình nặng 1kg Chứng minh rằng có duy nhất 1 cách để ghép cácbình cùng loại A hoặc B với nhau sao cho tổng khối lượng thuộc(2017, 2018)

Bài 6 Có2020 người đến một buổi tiệc được chia vào các phòng khác nhau saocho:

i Không người nào trong một phòng quen biết tất cả các người trong phòngđó

ii Trong nhóm 3 người bất kì thuộc cùng một phòng, luôn tồn tại ít nhất 2người không quen biết nhau

iii Với bất kì một nhóm 2 người nào trong một phòng mà không quen biếtlẫn nhau, tồn tại đúng một người trong cùng phòng đó quen biết cả haingười này

1 Chứng minh rằng trong mỗi phòng, mỗi người có số người quen bằngnhau

2 Tìm số phòng lớn nhất

Bài 7 Cho tập hợp A = {1, 2, , 2n} với n nguyên dương Một hoán vị cácphần tử của A được gọi là đẹp nếu như có ít nhất hai phần tử hơn kém nhau nđơn vị đứng cạnh nhau Chứng minh rằng số hoán vị đẹp nhiều hơn số hoán vịkhông đẹp

Bài 8 Cho n là một số nguyên dương và S là tập hợp các điểm(x, y) trên mặtphẳng với x, y không âm và x+ y < n Các điểm trong S được tô màu đỏ hoặcxanh theo qui luật, nếu(x, y) là màu đỏ thì (x0, y0) được tô màu đỏ với x ≤ x0 và

y ≤ y0 Đặt A là số cách chọn n điểm xanh mà hoành độ x của nó khác nhau và

đặt B là số cách chọn n điểm xanh mà tung độ y của chúng khác nhau Chứngminh rằng A= B

Bài 9 Cho một dãy n tấm bìa đặt sấp ở trên bàn được đánh số từ 1 tới n Mỗilần cho phép thay đổi trạng thái của k tấm bìa liên tiếp từ sấp thành ngửa vàngược lại

1 Chứng minh rằng có thể chuyển hết tấm bìa từ sấp sang ngửa khi và chỉkhi m k

2 Nếu n không chia hết cho k, tìm số bìa tối đa có thể chuyển sang ngửa

Bài 10 Trong một bảng vuông n×n, ta đặt những chiếc đèn lên các ô của bảng,

mỗi ô một đèn Ở mỗi lần thay đổi, ta được phép chọn một đèn làm gốc và thayđổi trạng thái của đèn đó và tất cả các đèn khác cùng hàng cùng cột với nó từtắt sang bật và ngược lại Với trạng thái ban đầu là bất kì, ta có thể đưa tất cảđèn về trạng thái bật được hay không với

1 n= 6

2 n= 2017

Bài 11 Cho một bảng5 × 5 được tô trắng đen xen kẽ, các ô ở góc được tô đen.Trên mỗi ô đen có các đồng xu đen và trên các ô trắng có các đồng xu trắng.Các đồng xu có thể di chuyển đến các ô bên cạnh A và B cùng chơi một trò chơinhư sau: Đầu tiên, A khởi động trò chơi bằng cách lấy một đồng xu đen ra khỏibảng rồi di chuyển một đồng xu trắng vào ô trống Sau đó, B di chuyển mộtđồng xu đen vào ô trống Các lượt sau đó, A sẽ di chuyển một đồng xu trắngvào ô trống và B di chuyển đồng xu đen vào ô trống Trò chơi kết thúc khi mộttrong hai người không thể di chuyển được theo luật trên, và người còn lại làngười chiến thắng Hỏi có chiến thuật thắng hay không, nếu có hãy chỉ ra ai làngười thắng?

Bài 12 Cho lưới tam giác đều như hình vẽ, trong đó mỗi cạnh có chứa n điểm

(không tính hai đầu mút của cạnh), các đoạn thẳng song song với cạnh tamgiác lớn được nối với nhau Đếm số tam giác đều có đỉnh là các điểm trong lưới

đã cho

B C

A

Bài 13 Cho2018 bóng đèn đang ở trạng thái sáng được xếp liên tiếp nhau trênmột đường thẳng Hai người cùng chơi trò chơi như sau: Ở mỗi lượt chơi củamình, mỗi người sẽ chọn một bóng đèn sáng, sau đó đổi trạng thái của bóngđèn đó cùng với4 bóng đèn phía sau nó

1 Chứng minh rằng trò chơi sẽ dừng lại sau hữu hạn bước

2 Ai có thể luôn là người chiến thắng? Hãy đưa ra chiến thuật thắng ấy

Bài 14 Cho33 điểm khác nhau nằm bên trong một hình vuông có cạnh là 4 Vẽ

33 đường tròn nhận các điểm này làm tâm, có cùng bán kính√2 Chứng minhrằng tồn tại một đường tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong số 33điểm nói trên

Bài 15 Có 2010 que diêm trên bàn A và B cùng chơi trò chơi theo lượt như

sau: Đến lượt của mình, họ sẽ lấy đi 1, 3, 4, 5 hoặc 7 que diêm Người lấy quediêm cuối cùng sẽ chiến thắng Nếu A chơi trước, hỏi người nào sẽ có chiếnthuật thắng?

(b − c)2 + 1

(c − a)2





Dấu "=" xảy ra ⇔ b = 0

a= −c .Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9

(y − z)2 + 1

(z − x)2



đạt giá trị nhỏ nhất và hãy tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Chứng minh tương tự như lời giải.

2 Một số bài toán tương tự:

(a) (VMO 2008) Cho x, y, z là các số thực không âm đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

(xy + yz + zx)

1(x − y)2 + 1

Cho a, b, c là các số dương thoả mãn abc= 1 Chứng minh rằng

2 với x >0.

Ta có: f0(x) = x+ 2

2(x + 1)32

− 3√28x Giải phương trình f

3√2

2 ≥ 0.

Do abc= 1 nên ln a + ln b + ln c = 0 Từ đó ta được điều phải chứng minh

Nhận xét.

1 Công thức ln xy = ln x + ln y giúp ta chuyển điều kiện tích thành tổng để áp

dụng phương pháp tiếp tuyến.

2 Một số bài toán tương tự:

(a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng

√

a2+ 1 +√b2+ 1 +√c2+ 1 ≤ √2(a + b + c)

(b) (Moldova TST 2011) Cho các số dương x1, x2, , xnthoả mãn x1x2 xn=



≥ 3

2x3

Từ đây ta được điều phải chứng minh

Nhận xét.

1 Bất đẳng thức ở câu a còn được gọi là bất đẳng thức Vasc, là một bổ đề mạnh hay được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức.

2 Bất đẳng thức ở câu b chính là đề chọn đội tuyển Iran năm 2010.

3 Ngoài ra ta có thể tổng quát bất đẳng thức ở câu 1 như sau: Xét bất đẳng thức sau với các biến thực a, b, c:

1 Chứng minh minh bất đẳng thức (2.1) với n= 1

2 Với n= 2 thì bất đẳng thức (2.1) còn đúng không? Nếu có, hãy chứngminh Nếu không, hãy chỉ ra phản ví dụ

c+ a +

(c + a)(c + b)

a+ b ≥ 2(b + c)(c + a)(c + b)

a+ b +

(a + b)(a + c)

b+ c ≥ 2(c + a)Cộng lại theo vế ta được đpcm

Nhận xét.

1 Với n = 2 thì (2.1) còn đúng với a, b, c ∈ R thoả (a + b)(b + c)(c + a) 6= 0.

Thật vậy, dựa vô chứng minh ở trên, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Schur bậc 4 đúng với mọi a, b, c ∈ R bằng cách đặt α = m + n − p, β =

c +c

b + ba

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức

xyz+ 2 + k(x − 1)2 + (y − 1)2+ (z − 1)2 ≥ x + y + z (2.5)đúng với mọi x, y, z không âm

xyz+ 2 + √1

2(x − 1)2+ (y − 1)2 + (z − 1)2 ≥ x + y + zKhông mất tính tổng quát ta có thể giả sử(y −1)(z −1) ≥ 0, suy ra yz +1 ≥ y +zhay xyz+ x ≥ x(y + z) Từ đây ta quy về chứng minh

Nhận xét.

1 Do[(x − 1)(y − 1)] · [(y − 1)(z − 1)] · [(z − 1)(x − 1)] = (x − 1)2(y − 1)2(z −1)2 ≥ 0 nên trong 3 số (x − 1)(y − 1); (y − 1)(z − 1); (z − 1)(x − 1) phải có

ít nhất một số không âm, do vậy ta có thể giả sử (y − 1)(z − 1) ≥ 0.

2 Với k = 2 ta được bài toán của thầy Trần Nam Dũng trong cuộc thi Hello

IMO 2007: Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức

xyz+ 2(x2+ y2+ z2) + 8 ≥ 5(x + y + z)

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, chứng minh bất đẳng thức sau:

a2b(a − b) + b2c(b − c) + c2a(c − a) ≥ 0

Bài 7

Lời giải Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên tồn tại các số dương x, y, z

sao cho a = y + z, b = z + x, c = x + y Khi đó bất đẳng thức cần chứng minhtrở trành

y z

z

xx

Lời giải Trước hết xin phát biểu không chứng minh một BĐT quen thuộc.

Bổ đề 1 Với x, y, z là các số thực không âm, ta có

Quay lại bài toán Ta có

2 Bổ đề 1 là một bổ đề quen thuộc hay được sử dụng.

3 Bài tập tương tự (USA National Mathematical Olympiad 2017): Cho a, b, c, d

là các số thực không âm thoả mãn a + b + c + d = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, ta đều có

(b+c−a)2(c+a−b)2(a+b−c)2 ≥ (b2+c2−a2)(c2+a2−b2)(a2+b2−c2) (2.6)

Bài 9

Lời giải Nếu a2+ b2+ c2 = 0 thì ta sẽ được a = b = c = 0 Khi đó bất đẳng thức

luôn đúng nên ta có thể giả sử a2+ b2+ c2 >0 Khi đó (2.6) tương đương

(a2+b2+c2)(b+c−a)2(c+a−b)2(a+b−c)2 ≥ (a2+b2+c2)(b2+c2−a2)(c2+a2−b2)(a2+b2−c2).Mà

được sử dụng trong các bài toán có biểu thức (y +z −x)(z +x−y)(x+y −z),

được gọi là đẳng thức Heron.

2 Bài tập tương tự: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

abc(ab + bc + ca) ≥ (a2+ b2+ c2)(a + b − c)(c + a − b)(b + c − a)

Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng

Mặt khác ta lại có P0(x) = 4x3− 3(a + b + c + d)x2+ 2S2x − S3 nên từ đó ta được4x3−4 (α + β + γ) x2+4 (αβ + βγ + γα) x−4αβγ = 4x3−3(a+b+c+d)x2+2S2x−S3.Đồng nhất hệ số hai vế, suy ra

Điều này luôn đúng theo bất đẳng thức AM-GM nên ta được điều phải chứngminh

Nhận xét.

1 Bài tập tương tự (VMO 1996): Cho các số thực không âm a, b, c, d thoả mãn

2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + abc + bcd + cda + dab = 16

Chứng minh rằng

a+ b + c + d ≥ 2

3(ab + bc + ca + ad + ac + bd).

2 Ta có bài toán tổng quát (Bất đẳng thức Maclaurin): Cho số nguyên n ≥ 2

1k, k= 1, n Chứng minh rằng

Lời giải Xét các trường hợp:

TH1: P là đa thức hằng Trong trường hợp này ta tìm được các đa thức thoảmãn yêu cầu bài toán là

P(x) = 0; P (x) = 1

TH2: P không là đa thức hằng Từ (2.9) dễ thấy P(0) ∈ {0, 1}

• Nếu P(0) = 0, tồn tại đa thức G(x) ∈ R[x] và k ∈ Z+ thoả mãn

Từ đây suy ra G(0) = 0, mâu thuẫn

• Nếu P(0) = 1, đặt deg P = m với m ∈ Z+ Từ (2.9) ta cũng được

hệ số cao nhất của P là 1

2m Gọi x1, x2, , xm là n nghiệm phức của

đa thức P Theo định lý Viet ta có |x1x2 xm| = 2m Suy ra tồn tại

Áp dụng nhận xét trên ta sẽ chứng được bằng quy nạp rằng

|zn| > |zn−1| ≥ 2 ∀n ∈ Z+.Mặt khác ta lại có zn là nghiệm của P(x) với mọi n ∈ N Suy ra P (x)

có vô số nghiệm, mâu thuẫn

vậy các đa thức cần tìm thoả mãn đề bài là P(x) = 0; P (x) = 1

(i) deg(f ) 6= deg(g)

(ii) deg (f ) = deg(g) và f∗ + g∗ 6= 0, trong đó f∗, g∗ là hệ số cao nhất của các đa thức f và g tương ứng.

Khi đó với mọi số nguyên dương n tồn tại nhiều nhất một đa thức P(x) có bậc n và thoả mãn phương trình P (f (x))P (g(x)) = P (h(x)).

Chứng minh: xem trong [4].

Áp dụng định lý này ta có một số bài toán tương tự:

(a) (VMO 1990) Tìm tất cả các đa thức P ∈ R[x] thoả mãn P (x)P (2x2) =

P(2x3 + x)

(b) Tìm tất cả các đa thức P ∈ C[x] thoả mãn P (x)P (−x) = P (x2)

Cho đa thức P(x) ∈ R[x] và P (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R Chứng minh rằng đathức P(x) có thể biểu diễn dưới dạng

P(x) = (A(x))2+ (B(x))2trong đó A(x), B(x) cũng là các đa thức có hệ số thực

Bài 12

Lời giải Ta bỏ qua trường hợp đơn giản là P(x) ≡ C (với C là hằng số) Do

P(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R nên đa thức P (x) có bậc bằng 2n và có thể phân tíchđược dưới dạng tích các nhân tử bậc hai không âm, nghĩa là:

Cho đa thức

f(x) = xn+ an−2xn−2+ an−3xn−3+ + a1x+ a0 ∈ R[x]

Chứng minh rằng tồn tại i ∈ {1, 2, , n} sao cho |f (i)| ≥ n!

Ci n

n

Y

j=1 j6=i

j=1 j6=i

Bài (Đề tiêu thụ giảng trường đơng miền Nam) Tìm số ngun dương n

nhỏ cho1n+ 2n+ + 2016n6 .2017. ... A3 Chứng minh P A4 qua điểm cố định.

Bài 15 (Tây Ninh 2017) Cho năm điểm A, B, C, D E nằm một

đường tròn Gọi M , N , P Q hình chiếu vng... data-page="19">

Bài 14 (Nguyễn Song Minh) Tìm tất đa thức P(x) hệ số nguyên cho

(P (n); P (2017< sup>n)) = ∀n ∈ Z+

Bài 15 Cho số nguyên dương d Gọi f(d) số nguyên