HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1.. Chứng minh rằng anlà một dãy đơn điệu.. Tìm điều kiện của a0 đ
Trang 1HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015
Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng B
Bài B.1 Cho dãy số (an)được xác định bởi công thức truy hồi:
2an+1− 2an + a2n = 0, n = 0, 1, 2,
1 Chứng minh rằng (an)là một dãy đơn điệu
2 Biết a0 = 1, hãy tìm lim
n→∞an
3 Tìm điều kiện của a0 để dãy (an) có giới hạn hữu hạn Trong trường hợp này, hãy tìm lim
n→∞nan
Bài B.2 Với mỗi số thực α 6= ±1, tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục tại 0 sao cho
f (αx) = f (x) + x2 ∀ x ∈ R
Có tồn tại hàm f thỏa mãn các điều kiện nói trên không nếu α = ±1?
Bài B.3 Cho f : [0, 1] → R là một hàm khả vi liên tục Chứng minh rằng tồn tại các số
x1, x2, x3 ∈ (0, 1) sao cho
f0(x1) 4x1 +
f0(x2) 6x2 2
= f0(x3)
Bài B.4 Cho f : [0, 1] → (−∞, 1] là một hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện R1
0 f (x) dx = 0 Chứng minh rằng
Z 1 0
(f (x))3dx ≤ 1
4.
Bài B.5 Cho f : [0, +∞) → (0, +∞) là một hàm liên tục Đặt
g(x) = p3
f (x)
Z x 0
1
f (t)dt ∀ x ≥ 0
Chứng minh rằng hàm g không thể bị chặn trên [0, +∞)
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm