HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A Bài A.1.. Chứng minh rằng anlà một dãy đơn điệu.. Tìm điều kiện của a0 đ
Trang 1HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015
Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng A
Bài A.1 Cho dãy số (an)được xác định bởi công thức truy hồi:
2an+1− 2an + a2n = 0, n = 0, 1, 2,
1 Chứng minh rằng (an)là một dãy đơn điệu
2 Biết a0 = 1, hãy tìm lim
n→∞an
3 Tìm điều kiện của a0 để dãy (an) có giới hạn hữu hạn Trong trường hợp này, hãy tìm lim
n→∞nan
Bài A.2 Cho α, β là hai số thực bất kỳ mà |α| 6= |β| Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục tại
0và thỏa mãn phương trình
f (αx) = f (βx) + x2 với mọi x ∈ R Có tồn tại hàm f thỏa mãn các điều kiện nói trên không nếu |α| = |β|?
Bài A.3 Cho f là một hàm nhận giá trị thực, xác định và liên tục trên [0,1] Chứng minh rằng
tồn tại các số x1, x2, x3 ∈ (0, 1) sao cho
f (x1) 4x1 +
f (x2) 6x2 2
= f (x3)
Bài A.4 Cho f : [0, ∞) → [0, ∞) là một hàm liên tục Biết rằng tồn tại giới hạn
lim
x→∞f (x)
Z x 0
(f (t))2dt = a ∈ (0, ∞),
hãy tìm limx→∞√3
xf (x)
Bài A.5 Cho (an) là một dãy đơn điệu giảm, không âm, sao cho chuỗi
∞
P
n=1
an hội tụ Chứng minh rằng chuỗi
∞
P
n=1
n(an− an+1)cũng hội tụ
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm