chuyên đề Hình học 12

TỈ SỐ THỂ TÍCH

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH

NG ƯỜ I VI T Ế : VŨ THỊ DI P Ệ

1 Công thức tính thể tích các khối đa diện

a) Khối chóp

Trong đó B: diện tích đáy, h: chiều cao

b) Khối lăng trụ

Trong đó B: diện tích đáy, h: chiều cao

Nhận xét: Để tính thể tích của một khối đa diện bất kỳ, chúng ta chia khối đa

diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính rồi cộng các kết quả lại Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ

và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối

2 Công thức tỉ số thể tích

a) Bài toán 1: (Bài 4 sách giáo khoa hình học 12 ban cơ bản trang 25)

Cho hình chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Chứng minh rằng (1)

B

A

A'

B' S

Nhận xét: ♦ Sau khi hướng dẫn học sinh chứng minh xong bài toán 1, giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ công thức (1) và lưu ý công thức (1) chỉ áp dụng đối với khối chóp tam giác Khi gặp khối chóp tứ giác, ngũ giác, ta phải sử dụng phương pháp phân chia thành các khối chóp tam giác, sau đó áp dụng công thức (1)

♦ Giáo viên cũng có thể xét trường hợp đặc biệt của bài toán trên khi chọn B' ≡ B, C' ≡ C Ta có:

b) Hệ quả 1: (2)

C

B

A A'

S

Nhận xét: Ta lại có (*)

Do (2) nên (*) ⇔

Vậy Từ đó suy ra:

c) Hệ quả 2: (3)

Nhận xét: Tổng quát hóa công thức (3) ta có bài toán sau:

d) Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi A1A2 An (n ≥ 3) Trên đoạn thẳng SA1 lấy A1' không trùng với A1

Khi đó ta có: (4)

Dựa vào các công thức từ (1) → (4), ta sẽ xét một số bài tập tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng Sau đây là hệ thống bài tập phân theo dạng

DẠNG I: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B', D' lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C' Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mặt phẳng (AB'D')

Lời giải:

D B'

O

O' I

A S

Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và B'D' Khi đó AI cắt

SC tại C' Ta có và

Suy ra

Kẻ OO' // AC' (O'∈SC) Ta có SC'=C'O'=O'C

Do đó

Hay là

Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD Gọi (α) là mặt phẳng qua AB và trung điểm M của SC Gọi (β) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SA

a) Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó b) Mặt phẳng (β) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Lời giải:

a) Gọi N là trung điểm của SD Thiết diện khi cắt hình chóp bởi (α) là hình thang ABMN

Gọi V, V1, V2 theo thứ tự là thể tích của khối đa diện SABCD, SABMN, ABMNDC

Ta có V

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có

Do đó

Vậy

C D

M N

S

O I

C B

D B'

D' A'

A S

b) Gọi O là tâm của đáy Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều, gọi A' là trung điểm của SA, khi đó CA' ⊥ SA Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của CA' và SO, ta có I là trọng tâm tam giác SAC Trong mặt phẳng (SBD), đường thẳng qua I và song song với BD cắt SB, SD theo thứ tự tại B', D' Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (β) là A'B'CD' Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

Nên

Vậy

Nhận xét: Sau khi hướng dẫn xong học sinh trình bày ví dụ 2b, tôi có thể khai

thác và phát vấn thêm học sinh như sau:

♦ Hướng 1:(Bổ sung câu c) Biết đáy là hình vuông cạnh a Tính thể tích khối chóp SA'B'CD' Từ đó suy ra thể tích khối đa diện A'B'D'ABCD (Đây là nội dung của ứng dụng thứ 2 mà tôi sẽ trình bày ở phần bài tập dạng 2)

♦ Hướng 2: (Bổ sung câu d) Thay thế dữ kiện góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 600 bởi góc ϕ Tìm ϕ sao cho mặt phẳng (β) chia khối chóp thành hai phần:

i) Thỏa mãn khối đa diện chứa đỉnh S bằng lần khối đa diện còn lại

ii) Bằng nhau

Rõ ràng mức độ bài toán khi đó sẽ khó hơn rất nhiều

Ví dụ 3: Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối chóp tam giác SABC sao cho ; Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần đó

Lời giải:

I

C D

E

N

B A

M S

Kéo dài MN cắt AB tại I, kẻ MD // SC (D ∈ AC) DI cắt BC tại E Vậy tứ giác MNED là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi (α)

Ta có

Ta cũng có

Gọi , V2 là phần còn lại thì:

Khi đó và

Ví dụ 4: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD của tứ diện ABCD lấy các điểm Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 theo thứ tự (các điểm này không trùng với đỉnh của

tứ diện) Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số Trong đó lần lượt là thể tích các khối tứ diện , , , , ABCD

Lời giải:

Q 3

Q 6

Q 5

Q 4

Q 2

C

D B

Q 1

A

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

; ;

;

Dẫn đến

Dấu " = '' xảy ra khi và chỉ khi Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD Vậy GTLN của tỉ số là

2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC, có đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và M,

N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp HMNP và SABC Từ đó tính thể tích khối chóp HMNP

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có AB = a SA tạo với đáy góc 600, gọi

D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SDBC và SABC

b) Tính thể tích khối chóp SDBC

Bài 3: Cho hình chóp đều SABCD, gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB,

AD, SC Chứng minh rằng mặt phẳng (MNE) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C'

và C'D' Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H'), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A' Tính tỉ số thể tích giữa hai hình đa diện (H) và (H')

Bài 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Gọi O, O' lần lượt là tâm của tam giác ABC, A'B'C' P là điểm trên OO' sao cho Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và BC

a) Dựng thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (MNP)

b) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lăng trụ được chia bởi (MNP)

Bài 7: Chứng minh rằng mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối của một tứ diện chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (α) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính để mặt phẳng (α) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Bài 9: Cho hình chóp SABCD là hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SH = h Cho mặt phẳng (P) qua BD và vuông góc với mặt phẳng (SCD) Tính tỉ lệ thể tích hai khối đa diện được chia bởi (P) với ϕ là góc giữa mặt bên và mặt đáy

Bài 10: Cho tứ diện DABC và G là trọng tâm của tứ diện Một mặt phẳng thay đổi chứa AG cắt các cạnh DB, DC tại các điểm B1, C1 khác D Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số (Ở đó V1, V lần lượt là thể tích các tứ diện DAB1C1, DABC)

DẠNG II: TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, , AB = BC = a, AD

= 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp SBCNM

Lời giải:

N M

C B

S

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có ;

Suy ra

Nhận xét: ♦ Giáo viên có thể phân tích trước khi đưa ra lời giải:

Việc tính thể tích khối chóp SBCNM trực tiếp theo công thức sẽ gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng công thức về tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối SBCNM về tính thể tích khối chóp SBCA và SCAD dễ dàng hơn nhiều ♦Ngoài ra, giáo viên cũng có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối

đa diện ABCDMN

Ví dụ 2: Cho khối chóp DABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và

DA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC Tính thể tích khối chóp ABCNM theo a

Lời giải:

M N

C

B A

D

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có

AM, AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có Tương tự

Do đó Suy ra

Mà Vậy

Nhận xét: Sau khi hướng dẫn học sinh trình bày xong ví dụ 2, tôi có thể đưa ra

câu hỏi mở rộng như sau:

Tính diện tích tam giác AMN Từ đó suy ra khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AMN)

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP Lời giải:

P

A

D

M S

C

B

Ta có (1) và (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Do đó Vậy

Nhận xét: Giáo viên cũng có thể nêu câu hỏi:

♦ Tính diện tích tam giác MNP Từ đó suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (MNP)

Hoặc hỏi ở mức độ khó hơn:

♦ Tính khoảng cách từ S và A đến mặt phẳng (MNP) ( Đây là nội dung của ứng dụng 3 mà tôi sẽ trình bày ở phần bài tập dạng 3)

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, G là trọng tâm tam giác SAC Mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a, góc tạo bởi AN và mặt phẳng đáy là 300

Lời giải:

G

O

M

D

N

A S

Trong (SAC), AG cắt SC tại M Trong (SBD), BG cắt SD tại N Do G là trọng tâm tam giác SAC nên suy ra G là trọng tâm tam giác SBD và M, N là trung điểm của SC, SD

Ta có

Áp dụng công thức tỉ số thể tích

Ta có, góc giữa AN và (ABCD) chính là , N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N Suy ra,

Từ đó tính được

2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho khối chóp SABC có tam giác ABC vuông tại A, , AB = 2a Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với đáy, SB = Mặt phẳng (α) qua B vuông góc với SC cắt SA, SC lần lượt tại D và E Tính thể tích khối chóp BACED

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a,

SA vuông góc với đáy, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 M là điểm nằm trên

cạnh SA sao cho Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp SBCNM

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng

M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD

=, SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM

Bài 5: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD có trung đoạn của nó (là đường cao của một mặt bên hạ từ đỉnh của hình chóp) bằng 6, còn góc giữa hai mặt bên đối diện là 600 Qua CD dựng mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (SAB) cắt

SA, SB lần lượt tại E và F Tính thể tích khối chóp SCDEF

DẠNG III: TÍNH KHOẢNG CÁCH VÀ DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN

Nhận xét: Đôi khi việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng

phương pháp trực tiếp rất khó khăn Khi đó ta có thể khắc phục bằng phương pháp gián tiếp thông qua công thức thể tích Khoảng cách đó là độ dài đường cao của khối đa diện mà ta đã biết thể tích và diện tích đáy của khối đa diện đó

Cũng tương tự như vậy, việc tính diện tích đa giác phẳng (diện tích thiết diện) bằng phương pháp trực tiếp đôi khi cũng gặp rất nhiều khó khăn Khi đó giáo viên hướng dẫn học sinh có thể tính gián tiếp thông qua thể tích của các khối đa diện mà ta đã biết chiều cao Sau đây là một số ví dụ minh họa

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, , AD = 2a, BA = BC =

a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Lời giải:

C B

S

Ta có

Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao nên

Vậy

Ta có tam giác SCD vuông tại C (do AC2 +CD2 = AD2) nên

Vậy

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông,

AB = BC = a, AA' = Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C

Lời giải:

E H

C

B A

C'

B' A'

Gọi E là trung điểm của BB', ta có EM // CB' Khi đó B'C // (AME) nên

d(B'C;AM) = d(B'C; (AME)) = d(C; (AME))

Ta có

Gọi H là hình chiếu của B trên AE, ta có BH ⊥ AE

Hơn nữa BM ⊥ (ABE)⇒ BM ⊥ AE, nên ta được AE ⊥ HM

Mà , tam giác ABE vuông tại B nên

Tam giác BHM vuông tại B nên

Do đó

Vậy d(C; (AME))=

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính diện tích tam giác AMN biết (AMN) ⊥ (SBC)

Lời giải:

N

C O

I M

K B A

S

Gọi K là trung điểm của BC và I là trung điểm của MN

Ta có (1)

Từ (AMN) ⊥ (SBC) và AI ⊥ MN (do tam giác AMN cân tại A) nên AI ⊥ SI Mặt khác MN ⊥ SI, do đó SI ⊥ (AMN)

Từ (1) suy ra (với O là trọng tâm tam giác ABC)

Ta có tam giác ASK cân tại A (Vì AI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến) nên

và

Vậy

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đường cao SH và mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với SC Biết (α) cắt SH tại H1 mà SH1:SH=1:3 và cắt SB, SC,

SD tại B', C', D'

a) Tìm tỉ số diện tích thiết diện AB'C'D' và diện tích đáy của hình chóp

b) Cho biết cạnh đáy bằng a Tính thể tích hình chóp SAB'C'D'

Lời giải:

C D

H

H 1

D'

C' S

C 1

B'

A

a) Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có

Ta có

Trong tam giác SAC kẻ HC1 // AC' (C1∈SC) ⇒

Ta lại có

b) Ta có

2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách từ A đến (BCC'B')

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt

là trung điểm AB và AD, gọi H là giao điểm của CN và DM Biết SH ⊥

(ABCD), SH =

a) Tính thể tích khối chóp SCDNM

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = 2a, SA ⊥ (ABCD) Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện khi cắt hình chóp bởi (α)

Bài 4: Cho nửa lục giác đều ABCD, AB = BC = CD = a, AD = 2a Trên tia

Ax⊥(ABCD) lấy điểm S sao cho SA = h Mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với

SD cắt SB, SC, SD tại B', C', D'

a) Tính thể tích khối chóp theo a, h

b) Chứng minh tứ giác AB'C'D' nội tiếp được Tính diện tích tứ giác này

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD), (P) lần lượt cắt SC và SD tại C' và D'

a) Tính diện tích tứ giác ABC'D'

b) Tính thể tích khối đa diện ABCDD'C'

c) Tính tỉ số thể tích hai phần mà (P) chia ra trên khối chóp

DẠNG IV: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự A', B', C', D' Chứng minh rằng

Lời giải:

C

D

B A

D'

A'

S

Gọi V là thể tích khối chóp SABCD Ta có VSABD=VSCBD= VSABC =VSDBC=