Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản GV: Phạm Sơn Hà Trang 1 QUAN HỆ VUÔNG GÓC I Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau: 1 Tích vơ hướng của hai véc-tơ: cos.. Trư
Trang 1Chuyên đề hình học 12_Ban
cơ bản
vuông góc
Trang 2Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà Trang 1
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I) Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau:
1) Tích vơ hướng của hai véc-tơ:
cos b a b
a = (a, b) 2) Ứng dụng của tích vơ hướng:
Xác định gĩc giữa hai vectơ: cos(a, b) =
b a
b a
.
3) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau:
* Cách 1: áp dụng định nghĩa:
) ,
( b a b
* * Cách 3: Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau khi
đường thẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng chứa dường thẳng kia
* Cách 5: Cho đường thằng a // (α) Nếu đường thẳng
b vuơng gĩc với mp (α) thì nĩ cũng vuơng gĩc với đường thẳng a
( )
ba)(b
⊥α
* * Cách 6: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai cạnh của một tam giác thì nĩ cũng vuơng
gĩc với cạnh cịn lại
II) Chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng ( α):
* * Cách 1: Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với hai đường thẳng
ca
ba
* * Cách 2: Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc (α) và (β) Khi đĩ,
bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này
và vuơng gĩc với giao tuyến thì cũng vuơng gĩc
Trang 3Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
với mp còn lại
( ) ( ) ( ) ( )⇒ ⊥( )α
ab
aa
)(
* Cách 3: Nếu hai mp cắt nhau cùng vuông góc với mp
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với
mp thứ ba
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ⊥( )α
α
⊥β
=γ
∩β
aa
III) Chứng minh hai mặt phẳng ( α) ⊥ (β):
* Cách 1: áp dụng định nghĩa:
(α) ⊥ (β) ⇔ góc giữa chúng bằng 900
* * Cách 2: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi
mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại
⊥
β
⊂a
)(a
IV) GÓC:
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc a’
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
b
'a//
Để dựng góc giữa hai đường thẳng chỉ cần lấy điểm
O trên a từ đó kẻ đường thẳng b’ // b Khi đó, góc
giữa a và b chính là góc giữa a và b’
b // b’ ⇒ (a, b) = (a’, b’)
2) Góc giữa đường thẳng a và mp ( α):
Đ/n:
Góc giữa đường thẳng a và mp (α) bằng góc giữa
đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên mp (α)
(a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α)
3) Góc giữa hai mặt phẳng ( α) và (β):
Các bước xác định góc:
Trang 4Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà Trang 3
+ Xác định giao tuyến c của (α) và (β)
α
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (β) đồng thời cùng vuông góc
3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song:
Cho đường thẳng a song song với mp (α) Khoảng cách O
H
α
a giữa đường thẳng a song song với mp (α) bằng khoảng
Cho hai mp song song (α) và (β) Khoảng cách
giữa (α) và (β) bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên mp này đến mp còn lại
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng
d( a, b) = MN, với MN là đoạn vuông góc chung
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt
phẳng song song chứa đường thẳng còn lại
Trang 5Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
N
d(a, b) = d(a, (α)), với (α) chứa b và song song a
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó
Trang 6Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
Hình chóp đều đáy tam giác Hình chóp đều đáy tứ giác
Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
BÀI TẬP
1/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, SA = a và vuơng gĩc với đáy
a) CMR: các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng
b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’ CMR: B’D’ //
BD và AB’ ⊥ SB, AD’ ⊥ SD
2/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc BAD = 600 Gọi O là giao điểm của
AC và BD, đường thẳng SO vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và SO =
4
a3
Gọi E là trung điểm BC, F
là trung điểm của BE
a) CMR: (SOF) ⊥ (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC)
3/ Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vuơng gĩc nhau Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = a, AC = b Tam giác ADC vuơng tại D cĩ CD = a
a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuơng
b) Gọi I, K là trung điểm của AD và BC CM: IK là đường vuơng gĩc chung của AD và BC
4/ Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a và cĩ gĩc BAD = 600 và SA = SB = SD =
2
3a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC
Trang 7Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
CHƯƠNG I THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ
Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy
một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
Sin A’ =
'AA
Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là:
Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ =
4
a3h.a2
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A1BB 1C1, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 60 , 0
đường chéo BC1 của mặt bên (CC1BB 1) hợp với mặt bên (ACC1A1) một góc 30 0
a Tính độ dài đoạc AC1 b Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: a AC1 = 3a, b V = 6 a3
Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A1BB 1C1D1 , đáy là hình thoi Biết diện tích 2 mặt chéo ACC1A1 và
BĐ1BB 1 là s1 và s2 Biết góc BA1D là góc vuông Tính thể tích khối hộp
ĐS: V =
1
2 2
2 1
)ss(4
ss
−
Trang 8Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
GV: Phạm Sơn Hà Trang 7
Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1BB 1C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A1 lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy
a2 +
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A1BB 1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 Chân đường vuông
góc hạ từ B
0
1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB1= a
a Tính góc giữa cạnh bên và đáy b Tính thể tích khối hộp
ĐS: a 600, b V=
4
a
3 3
Bài 5 Cho lăng trụ đều ABCD.A1BB 1C1D1 cạnh đáy bằng a Góc giữa đường chéo AC1 và đáy là 60
Tính thể tích của khối lăng trụ
0
Bài 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1BB 1C1D1 có đường cao bằng h Mp (A1BD) hợp với mặt bên
(ABB1 B A1) một góc α Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 7 (đề thi ĐH khối D-2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1BB 1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc
α và góc BAC’ = β Tính thể tích hình hộp
Bai 9 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB 1C1 , cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng
(BCC1B1 B ) một góc α Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC1
a CM: góc AJI bằng α b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1BB 1C1 , cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên
(BCC1B1 B ) hợp với mặt bên (ABB1A1) một góc α
a Xác định góc α b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 11. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB 1C1 , đáy ABC là tam giác cân tại A Góc giữa AA1 và BC1 là
300 và khoảng cách giữa chúng là a Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 600 Tính thể tích khối
lăng trụ
Bài 12. Cho lăng trụ đều ABC.A1BB 1C1 Mặt phẳng (A1BC) cách A một khoảng
4
3a
Bài 13. Cho lăng tru đứng ABC.A1BB 1C1 , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= b, góc C bằng α
Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) một góc β
a Tính thể tích khối lăng trụ
b Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy
Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A1BB 1C1 đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Góc BAA1 bằng 450 Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 15. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB 1C1 đáy là tam giác vuông cân tại A Mặt bên (ABB1A1) là hình
thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy một
góc α Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 16. Cho lăng trụ xiên ABC.A1BB 1C1 đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a, BC = 2a Mặt bên
Trang 9Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1BB 1) nằm trong mặt phẳng vuông với đáy, hai mặt này
B Bài toán 2: Tính thể tích khối chóp
Ví dụ: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy
Gọi I là giao điểm của AH và BC
Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm
của tam giác ABC
⇒ AI =
2
3a
32
3a
=
Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
3a2
3a
4
3
a⋅ =
BÀI TẬP
Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp
với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 2. Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với
đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 3 Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B Cạnh bên SA vuông góc với đáy Từ A
kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết rằng AB= a, BC= b,
Bai 5. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc của chúng Biết AC = h,
AB = a, CD = b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600 Tính thể tích của khối tứ
diện ABCD
Trang 10Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
a3 2 α −
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên (SAB) một góc β
2
sincos
a
, b V =
)sin(cos
3
sinsina
2 2
3
β
−α
βα
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông có cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC
a CMR: SH ⊥ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
b Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM
c Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với 0≤x≤a
xa4xa4a7
2 2
2 2 3
Bài 12 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc giữa mặt đáy và mặt bên là α
Tính thể tích khối chóp SABCD theo h và α
Bài 13 Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác
cân đỉnh A Trung tuyến AD bằng a Cạnh SB tạo với đáy một góc α và tạo với mp(SAD) một góc β
a Xác định góc α và β b CMR: SB2 =SA2 +AD2 +BD2
c Tính thể tích khối chóp
Bài 14 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA= SB = a
a CMR: tam giác SBC là tam giác vuông
b Cho SC = x Tính thể tích khối chóp theo a và x
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h Gọi (P) là mp
qua A và vuông góc với SC và (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’
a h phải thỏa đk gì để C’ là điểm thuộc cạnh SC
b Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
c CM: tam giác B’C’D’ luôn có một góc tù
Bài 16. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x (0≤x≤a) và
trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = y với y >0
Trang 11Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
a CMR: (SAB) ⊥ (SBC) b Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC)
c Tính thể tích khối chóp SABCM
d Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích SABCM
Bài 17 (đề thi ĐH khối B - 2008)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính thể tích của khối chóp SBMDN và
tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM, DN
Bài 18 (đề thi ĐH khối A – 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai
mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a
Bài 19 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a 3 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
ĐS:
5
a15
3 3
Bài 20 (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy Biết góc BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 21 (đề thi ĐH khối B – 2009)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600,
tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600 Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng
tâm tam giác ABC Tính thể tích tứ diện A’.ABC theo a ĐS:
208
a
9 3
Bài 22 (đề thi ĐH khối D – 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’= 2a,
A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích
khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: V=
Bài toán 3: Tính tỉ số thể tích
Phương pháp: Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện (H) được phân chia thành (H1) ,
(H2) bởi mặt phẳng (α) ta lựa chọn một trong hai cách sau đây:
¾ Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α)
Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 của (H1) , (H2) Bước 3: Tính k =
2
1VV
¾ Cách 2: Sử dụng kết quả : “Cho hình chóp SABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba
điểm A’, B’, C’ khác S Gọi V và V’ là thể tích của SABC và SA’B’C’.
Khi đó:
'SC
SC'SB
SB'SA
SA'SC'
SB'
SA
SC.SB.SA'V
V = = S A’
C’
A B’ C
Trang 12Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P)
Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm E
BD
SHBD
(
)SBD(BD
)P//(
BD
⇒
3
2SB
'SBSH
'SHSD
'
SD = = = , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’
Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E
Khi đó: EC’ = EC,
3
2SE
1SE
'SC
23
2V
V
ABD S
' D ' AB
9
22
13
23
2V
V
BCD S
' D ' C ' B
V9
29
3AC2
6a
2
6 =
⇒ VS.AB’C’D’ = a3
186
BÀI TẬP
Trang 13Trường THPT Hà Huy Giáp Chuyên đề Hình Học 12- Ban Cơ Bản
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC
a Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp
b Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi hai mặt phẳng
VV
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi M, N là trung điểm
của A’B’ và B’C’
Tính thể tỉ số tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chứ nhật ABCD.A’B’C’D’
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC= b, AA’ = c Gọi E và F là những
điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ sao cho BE=
Tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H’)
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của
C’D’ Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do mặt mặt (A’MO) cắt ra
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD,
CD và gọi P lfa điểm trên cạnh BB’ sao cho BP = 3 PB’
a) Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương
b) Tính thể tỉ số tích hai phần của hình lập phương do thiết diện cắt ra
CHƯƠNG II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU.
I) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN:
1) Mặt nón:
Cho hai đường thẳng Δ và d cắt nhau tại O
và tạo thành góc α (0 < α < 900) Mặt tròn
xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay
quanh đường thẳng Δ gọi là mặt nón
Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một
tam giác vuông khi quay quanh một cạnh
góc vuông
* Diện tích xung quanh: Sxq = rl π
l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối nón:
Hình nón cùng với phần trong của nó
được gọi là khối nón
* Thể tích khối nón: V= π
31
r2h
