Chứng minh tam giác AMN đều.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH NGUYỄN DU 2000- 2001
ĐAKLAK KHÓA NGÀY : 11 – 07 – 2000
……… )(……… ………****………
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN ( CHUYÊN )
150 Phút ( không kể thời gian giao đề )
BÀI 1 : ( 2đ)
Cho biểu thức P( x) =
1
2000 2
-2001 2
-2
2 3
4
+
+ +
x
x x
x x
a) Rút gọn biểu thức P ( x)
b) Tính giá trị của P(x) khi x = 3 2 2 3 2 2
BÀI 2 : ( 2đ)
Cho phương trình x2 + ( m – 1 ) x + 5 m – 5 = 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình khi m = - 1 Tính giá trị của biểu thức
A = x15 + x25
BÀI 3 : ( 2 đ)
Cho đường tròn ( O) , AB là dây cung của ( O) , C là điểm nằm ngoài ( O) nhưng nằm trên tia AB Từ trung điểm P của cung lớn AB ta kẻ đường kính PQ của (O) cắt dây AB tại D , CP cắt ( O) tại điểm thứ hai là I , các dây AB , QI cắt nhau tại K
1) Chứng minh : CI CP = CK CD
2) Giả sử A , B , C cố định , đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua A, B Chứng minh đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định
BÀI 4 : ( 2 đ)
1) Tìm các số nguyên x y , z thỏa m ãn x + y = 2
xy – z2 = 1
2) Cho 2 số thực x , y thỏa mãn x2 + x + 2y + 4xy + 4 y 2 ≤ 2
Chứng minh 1998 ≤ x + y2 + 2000 ≤ 2001
BÀI 5 : ( 2đ)
1) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Chứng minh nếu a2 + b 2 > 5c 2 thì độ dài cạnh
AB = c là nhỏ nhất
2) Cho lục giác đều ABCDEF Gọi M , N lần lượt là trung điểm của EF và BD Chứng minh tam giác AMN đều
Trang 2SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI (GV : Huỳnh Ngọc Hiệp
Bài giải
Bài 1 : a) P( x) =
1
2000 2
-2001 2
-2
2 3
4
+
+ +
x
x x
x x
= ( 2 1)( 22 2 2000)
1
x
+ = x2 – 2x + 2000
b) x =
2 12 17
2 2 3 2
12 -17
2 2 -3
+
) 2 2 3 (
2 2 3 )
2 2 -3 (
2 2 -3
+
+
3 2 2- - 3 2 2+
x = 3 2 2+ - 3 2 2- = (1+ 2)2- ( 2 1)- 2
x = ( 1 + 2 ) – ( 2 - 1 ) = 2
P(2) = 2000
Bài 2 : D = ( m + 1 )2 – 4 ( 5m – 5 ) = m2 – 22m + 21
Phương trình có nghiệm khi D ³ 0 Û ( m – 1 ) ( m – 21 ) ³ 0 m £ 1 ; m ³ 21
Khi m = -1 ; x2 – 2x – 10 = 0
A = ( x12 + x22 ) ( x13 + x23 ) – x12x22 ( x1 + x2)
S = x1 + x2 = 2 P = x1.x2 = - 10
x12 + x22 = S2 – 2P = 24
x13 + x23 = S3 – 3SP = 68
A = 1432
Bài 4: x + y = 2
a) xy – z2 = 1 suy ra xy = 1 + z2 Û xy > 1 ; xy cùng dấu
mà x + y = 2 suy ra x = 1 ; y = 1 ( khi đó z = 0 )
Vậy x = 1 ; y = 1 và z = 0
b) x2 + x + 2y + 4xy + 4 y 2 ≤ 2 Û ( x + 2y )2 + ( x + 2y ) – 2 £ 0
Đặt t = x + 2y ; ta có t2 + t – 2 £ 0 suy ra ( t – 1 ) ( t + 2 ) £ 0
Suy ra - 2 t£ £ 1 hay - 2 £ x+ 2y£ 1
Do đó 1998 ≤ x + y2 + 2000 ≤ 2001
Bài 5 1) Giả sử c ³ a , suy ra 2c ³ a + c > b , suy ra 4c2 ³ b2 ( 1)
Mà c ³ a suy ra c2 ³ a2 ( 2)
( 1) + ( 2) 5 c2 ³ a2 + b2 , trái giả thuyết Vậy c < a ; c < b
2) Có N thuộc đoạn OC ( O tâm lục giác đều ) · · 0
120
AFM =AON= Xét tam giác AFM và tam giác AON ta có AF = OA ; ON = FM · · 0
120
tam giác này bằng nhau suy ra ·NAO=MAF· AN = AM ( 1)
Có ·MAN=·NAO OAM+ · =MAF· + OAM· =OAF· = 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều
Trang 3
KDP=KIP = 900 suy ra tứ giác DKIP nội tiếp
Suy ra ·KDI=·KPI tam giác CID đồng dạng tam giác CKP ( vì góc C chung
KDI=KPI ) nên CI CD
CK =CP suy ra : CI CP = CK CD (1)
BPI=BAI ( cùng chắn ºBI ) và µC chung
Nên CBPD : D CIA suy ra CB CP
CI =CA Û CI CP = CA CB (2) Từ ( 1) và (2) suy ra CK CD = CA CB
Vậy A, B , C, D cố định nên K cố định