ĐỀ THI ĐẠI HỌC (01) CÓ ĐÁP ÁN

1Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố đ̣nh và tính thể tích tứ diện SACN theo a và .. Chứng minh rằng SC AHK và tính độ dài đoạn HK... Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chươ số đôi m

ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( ĐỀ SỐ 1)

A.PHẦN BẮT BUỘC

CÂU I:

Cho hàm số y2x3 3( - 3)m x2 11- 3m (C ) m

1) Cho m=2 T́m phương tŕnh các đường thẳng qua (19, 4)

12

A và tiếp xúc với đồ t(C )2

của hàm số 2) T́m m để hàm số có hai cực tṛ Gọi M và 1 M là các điểm cực tṛ ,t́m2

m để các điểmM , 1 M và B(0,-1) thẳng hàng.2

CÂU II:

0

sin sin 3 cos

xdx I







2 6

0

cos sin 3 cos

xdx



1) Tính I-3J và I+J 2) Từ các kết quả trên ,haơy tính các giá tṛ của I, J và

5 3

3 2

cos 2 cos 3 sin

xdx K











CÂU III:

1 t 1 t  1 1 t  2 t

2)Giải phương tŕnh:

1 2x x  1 2x x 2(x 1) (2x  4x1)

CÂU IV:

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chủ số đôi một khác nhau ( chử số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chử số 0 nhưng không có mặt chử số 1?

2) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chử số ( chử so áđầu tiên phải khác 0) biết rằng chư số 2 có mặt đúng hai lần, chử số 3 có mặt đúng ba lần và các chử số còn lại có mặt không quá một lần?

B.PHẦN TỰ CHỌN

Thí sinh được chọn một trong 2 câu Va và Vb:

CÂU Va:

Cho h́nh chóp SABCD có đáy ABCD là h́nh vuông cạnh a, SA(ABCD)và SA a 2 Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt góc ˆACM  Hạ  SN CM

1)Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố đ̣nh và tính thể tích tứ diện SACN theo a và

 2) Hạ AH SC, AK SN Chứng minh rằng SC (AHK) và tính độ dài đoạn HK

CÂU Vb:

Trong mặt phẳng Oxy, xét đường thẳng ( )d : 2 x my  1 2 0

và hai đường tròn:

1

( ) :C x y  2x4y 4 0 và 2 2

2

( ) :C x y 4x 4y 56 0 1)Gọi I là tâm đường tròn ( )C T́m m sao cho ( )1 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A1

và B.Với giá tṛ nào của m th́ diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá tṛ đó

2)Chứng minh ( )C tiếp xúc với 1 ( )C Viết phương tŕnh tổng quát của tất cả các tiếp2

tuyến chung của( )C và 1 ( )C 2

ĐÁP ÁN

CÂU I:

Cho hàm số y2x3 3( - 3)m x2 11- 3m (C m)

1 Cho m=2 T́m phương tŕnh các đường thẳng qua ( 9 , 4)

12

A và tiếp xúc với (C2)

Với m=2: y 2x3 3x2 (C5 2)

Đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k:

19

12

y k x  

(d) tiếp xúc (C2) 

19

12 2







 có nghiệm

Thay (2) vào (1):

19

12

2









 Vậy phương tŕnh đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C2) là:

y=4 hay y=12x - 15 hay 21 645

32 128

y x

2 T́m m để hàm số có 2 cực tṛ

Ta có:y2x33(m 3)x211 3 m

,y 6x26(m 3)

,y  0 6x2 6(m 3) 0 (1)

0

(1)

3

x





   

 Hàm số có 2 cực tṛ  (1) có 2 nghiệm phân biệt

T́m m để 2 điểm cực tṛ M1, M2 và B(0, -1) thẳng hàng

Để t́m phương tŕnh đường thẳng qua 2 điểm cực tṛ M1, M2 ta chia f(x) cho f x'( ):

m

f x f x  x   m x  m

Suy ra phương tŕnh đường thẳng M1M2 là:

2

y m x  m

M1, M2, B thẳng hàng  B M1M2

 -1=11-3m  m= 4

So với điều kiện m3 nhận m= 4

ĐS:m=4

CÂU II:





1) Tính I - 3J và I + J

6 sin x - 3cos x

sinx + 3cosx 0

π

6 (sinx - 3cosx)(sinx + 3cosx)

sinx + 3cosx 0

π

6

= (sinx - 3cosx)dx

0

π 6

=(-cosx - 3sinx) 0 =1 - 3







π

6 sin x + cos x

sinx + 3cosx 0

π

sinx + 3cosx

0

π

0 2( sinx + cosx)

π

6

π

2 0 sin(x+ )

3 π

π sin(x + )

6

π

2 0 1 - cos (x + )2

3











t x  dt x dx

Đổi cận :

1 0

2 0 6

0 1

2

2 11 2 1 2

2

2 10 1 2

1

dt

I J

t

dt t

dt

t t









2 Tính I, J, K

5

3 cos 2 cos 3 sin 3

2

x dx





 



Ta có:

ln 3

1

ln 3 4

I

I J

I J

J



Đổi biến số cho tích phân K:

2

t x    dt dx

Đổi cận:

3

0 2

5



3 cos 2

6 cos 2 sin 3 cos 0

6 sin cos sin 3 cos 0

ln 3

t

t dt

dt

I J













 





 





CÂU III:

1 Chứng minh

v́ t   1,1 nên đặt t= cos2x với 0,

2

x   Khi đó bất đẳng thức trở thành:

1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 1 cos 2 x  2 cos 2x

2

2

2 cos sin 1 sin 2 1 sin 2 (*)

1 sin 2 2 cos sin ( )

1 sin 2 1 sin 2 ( )



 

 Tacó:

(a) cosxsinx2 2(cosxsin )x đúng 0,

2

x  

   

(b)  sin 2xsin 22 x đúng 0,

2

x  

   

Do đó (*) đúng 0,

2

x  

   

 , nghĩa là bắt đẳng thức được chứng minh

2 Giải phương tŕnh:

Ta đặt điều kiện cho phương tŕnh :

Điều kiện của vế trái:

2

2

x x

x x





Điều kiện của vế phải:

Với 0 x 2 th́ 2

0 2x x  , do đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức 1

2

1 t 1 t  2 t trong câu 1 th́ ta được:

VT= 1 2x x 2  1 2x x 2  2  2x x 22x2 2x2

Do (VT) 2

   nên điều kiện của vế phải là:

2(x1) (2x  4x1)x  2x2

2(x 2x 1) 2(x 2 ) 1x  x 2x 2

Đặt 2

2

t x  x khi đó điều kiện trở thành:

2

2(t1) (2t1) t 2

2

(4 10 7) 0

2

0(4 10 7) 0,

Vậy điều kiện vế phải là:

x  x  x  x Tóm lại: điều kiện của phương tŕnh là:

x

 





 Deă dàng nhận thấy rằng x 0 x2 là nghiệm của phương tŕnh do đó phương tŕnh có 2 nghiệm x 0 x2

CÂU IV:

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chươ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chươ số 0 nhưng không có mặt chươ số 1

Gọi số cần t́m là:x= 1 2 3 4 5 6a a a a a a

V́ không có mặt chươ số 1 nên còn 9 chươ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần t́m V́ phải có mặt chươ số 0 và a  nên số cách xếp cho chươ số 0 là 5 cách.1 0

Số cách xếp cho 5 ṿ trí còn lại là : 85A

Vậy số các số cần t́m là: 5 85A =33.600 (số)

2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chươ số biết rằng chươ số 2 có mặt đúng 2 lần, chươ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chươ số còn lại có mặt không quá 1 lần

Gọi số cần t́m là:

Y= 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a

Giả sử a có thể bằng 0: 1

Cách xếp ṿ trí cho hai chươ số 2 là: 27C

Cách xếp ṿ trí cho ba chươ số 3 là: 35C

Cách xếp cho 2 ṿ trí còn lại là: 2! 28C

Bây giờ ta xét a1= 0:

Cách xếp ṿ trí cho hai chươ số 2 là: 26C

Cách xếp ṿ trí cho ba chươ số 3 là: 3C4

Cách xếp cho 1 ṿ trí còn lại làø:7 Vậy số cần t́m là:

2 7

C 35C 2! 28C - 26C 3C4.7= 11.340 (số)

CÂU Va:

1 N thuộc đường tròn cố đ̣nh

Ta có: SN CM  AN NC

N ( ABCD) và ANC 900 nên N thuộc đường tròn đường kính AC cố đ̣nh

Ta có: CN=AC cos a 2 cos

Vậy VSACN =1 1 1 sin

3S ACN SA3 2AC CN  SA

=1 2 2.cos sin 2

= 3 2

sin 2 6

a



2 Tính đoan HK

Ta có CN (SAN) CN AK (1)

Và AKSN (2)

Từ (1),(2)

( )

AK SCN

AKH

  vuông tại K

Ta có: AN AC.sin a 2 sin

SAN

sin 2 2

1 sin

a



 Tam giác SAC có AH= a

2

1 sin

a





= 2 2sin2 2

1 sin







HK cos2

1 sin







CÂU Vb:

2

Ta có ( )C có tâm I (1;-2) và bán kính 11 R =3

(d) cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A, B 1  d I( ( ))d R1

2

2

m R

Vậy : SIAB lớn nhất là 92 khi AIB 900

 AB =R1 2 3 2

 d(I,(d))=3 2

2

 3 2 2

2

2

2

2) ( )C2 có tâm J(-2,2) và bán kính 2R = 8

Ta có: IJ= 9 16 =5= 2 1R  R

Vậy ( )C và ( )1 C2 tiếp xúc trong tại điểm có tọa độ thỏa :

14

5

x









 Suy ra phương tŕnh tiếp tuyến chung là:

0

         

 3x - 4y – 26 = 0