Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tọa độ của véc tơ:a.. Tích của một số với một véctơ: iii.. Tích vô hướng của hai véc tơ: iv.. Độ dài của véctơ: v.. Tọa độ của điểm: a.. Độ dài đoạn thẳng: iii.. Kiến thức về tam giác: a

1 Tọa độ của véc tơ:

a Định nghĩa:

b Các phép toán: cho hai véctơ ux y; &vx y'; ' Khi đó: i Tổng và hiệu hai véc tơ

ii Tích của một số với một véctơ:

iii Tích vô hướng của hai véc tơ:

iv Độ dài của véctơ:

v Góc của hai véctơ:

vi Điều kiện vuông góc:

vii Hai véctơ cùng phương:

viii Hai véctơ bằng nhau:

2 Tọa độ của điểm: a Định nghĩa:

b Các phép toán: Cho hai điểm A x y A; A&B x y B; B Khi đó: i Tọa độ véctơ:

ii Độ dài đoạn thẳng:

iii Trung điểm: M là trung điểm AB <=>

iv Ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng <=> AB& AC cùng phương <=> AB k AC   <=> 3 Kiến thức về tam giác: a Trọng Tâm G của tam giác (giao điểm ba đường trung tuyến) G là trọng tâm của  ABC <=> Trang 1  '; ' u v   x x y y   ;  u x y  u x i y j    ; ; ku kx ky k R ' '

u v x x  y y

cos ;

' '

u v





 

' ' 0

u v x xy y 

&

u v  cùng phương  u kv  x y x y ' ' 0

' '

x x

u v





  





 

M x y OM  x y  OM x i y j 

 B A; B A



 B A2  B A2



;

x B  x A : y B y A  x C x A : y C y A

;

b Trực tâm H của tam giác (giao điểm ba đường cao)

H là Trực tâm của  ABC <=> . 0

AH BC

BH AC









 

 

c Tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác (giao điểm ba đường trung trực)

- I(a;b) là tâm của (ABC) <=> AI = BI = CI = R (bán kính (ABC))

- Giải hệ AI2 = BI2 và BI2 = CI2 => Tọa độ của I

d Diện tích tam giác:

4 Phương trình đường thẳng:

a Phương trình tổng quát của đường thẳng:

PTTQ của () đi qua M(x0 ; y0) có VTPT n = (a;b):

b Các trường hợp riêng: Cho đ/thẳng (): ax + by + c = 0

i c = 0 <=> (): ax + by = 0 <=> () đi qua gốc tọa độ O

ii a = 0 , b  0 <=> (): by + c = 0 <=> () // hoặc trùng với Ox

iii b = 0 , a  0 <=> (): ax + c = 0 <=> () // hoặc trùng với Oy

c Phương trình theo đọan chắn:

Đ/thẳng () cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(a;0) , B(0;b) có PT (a.b 0)

d Phương trình tham số:

PTTS của đ/thẳng () đi qua M(x0 ; y0) có VTCP a = (a;b): 0

0

 





 



e Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k:

PT của đ/thẳng () đi qua M(x0 ; y0) có hệ số góc k :

Lưu ý: + Nếu () có VTCP là a = (a;b) với a  0 thì

+ Nếu () có hệ số góc k thì () có VTCP là a = (1;k)

5 Kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng:

a Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: (): ax + by + c = 0 và (’): a’x + b’y + c’ = 0

i () cắt (’) <=>

' '

a b ii () // (’) <=>

' ' '

a b c iii ()  (’) <=>

' ' '

b Hai đường thẳng vuông góc: ()  (’) <=>

c góc giửa hai đường thẳng:

2 a 2 b 2 c

24

abc

R

1

y y k x x /

k b a

' ' 0

a a b b 

 BÀI TẬP:

1) Lập phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua A(1;2) và có một véc tơ chỉ phương là a  3; 2 

b)  qua hai điểm A(1;3) ,B(1;5)

c)  qua A(4;0) và có một véc tơ pháp tuyến n  4;1

d)  song song với Ox và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng –4

e)  qua M(0;-2) và song song với đường thẳng 3x – y + 7=0

f)  qua N(-1;5) và vuông góc đường thẳng x –2y +1 = 0

2) Cho tam giác ABC với A(1;2) , B(2;1) ,C(-2;3) lập phương trình của:

a/ Đường trung tuyến AM b/ Đường cao AH

c/ Đường trung trực đoạn BC

3) Lập phương trình các cạnh của  ABC, biết trung điểm các cạnh AB,BC,AC lần lượt

là M(2;1) ,N(5;3) , P(3;1)

4) Lập phương trình các đường trung trực của  ABC,biết trung điểm các cạnh AB,BC,AC lần lượt là M(-1;-1) ,N(1;9) , P(9;1)

5) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình :

a) 1: x –2y –3 = 0 ; 2 : 3x + y + 1 = 0 b) 1 x y 12 t t

 

 ; 2 : x + y + 1 = 0 c) 1: x y 3 21 m m

 

 ; 2 : x y 22n n

 

 d)1: x y 12 3t t

 

 ; 2 : x y 43 2t t

 

 6) Cho hai đường thẳng 1: 4x –3y –12 = 0 và 2 : 4x +3y –12 = 0

a) Xác định đỉnh của tam giác có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường 1,2 và Oy

b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vừa xác định

7) Cho tam giác ABC biết A(-10;2) B(6;4) và trực tâm H(5;2).Tìm tọa độ đỉnh C

8) Cho tam giác ABC biết pt cạnh BC : 7x +5y –8 = 0 và các đường cao BI : 9x – 3y –4 = 0 ,

CK : x + y –2 = 0 Hãy lập phương trình các cạnh AC,AB và đường cao AH

9) Cho tam giác ABC biết pt hai đường cao của  ABC là 2x – y + 1 = 0 ; 3x + y + 2 =0 và đỉnh A(2;-1) Hãy lập pt đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC

10) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(2;5) và cách đều hai điểm A(-1;2),B(5;4) 11)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;0) và hai đường cao có phương trình 3x +7y +13 =0 và 8x +3y + 2 = 0.tìm phương trình đường cao còn lại

12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng qua điểm M và cắt trục hoành tại A , trục tung tại B trong mỗi trường hợp sau :

a) Tam giác OAB vuông cân tại O với M(-4;5)

b) MA = MB với M(-1;2)

c) AB = 42 với M(2;2)

d) Diện tích tam giác OAB bằng 8 với M(2;2)

13) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,lập phương trình đường thẳng qua điểm M (1, 1

2

 ) và cắt các đường thẳng x +2y –5 = 0 ,3x + y –5 =0 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm AB

Trang 3

14) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng qua điểm M (3;0) và hai đường thẳng (d1): 2x – y –2 = 0 (d2) : x + y +3 = 0 Gọi (d) là đường thẳng qua M và cắt (d1)và(d2) lần lượt tại A và B sao cho MA = MB

15) Cho tam giác ABC có M(-1;1)là trung điểm BC các đường thẳng AB vàAC lần lượt có phương trình x + y - 2 = 0 và 2x +6y + 3 = 0 Hãy tìm tọa độ các đỉnhA,B,C

16) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) ,các đường thẳng

AB và AC lần lượt có phương trình 4x + y +15 = 0 và 2x + 5y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC

b) Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC

17) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và phương trình hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình x –2y+1=0 và y – 1 = 0 18) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh C(4;-1) ,đường cao và đường phân giác kẻ từ một đỉnh lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình 2x –3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0

19) Tìm tọa độ diểm H là hình chiếu của A xuống đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau : a) A(2;3) ;  : x + 2y –3 = 0 b) A(-1;3) ;  : 2

15 5







 

 c) A(-1;7) ;  : 2x – 3 = 0 d) A(4;5) ;  là đường phân giác của góc phần tư thứ 2 của mặt phẳng tọa độ

20) Tìm tọa độ điểm A’ là đối xứng của A qua  trong các trường hợp sau:

a)A(1;2) , :4x – 14y – 29 = 0 b)A(6;5) , : 1

4 2

 





 

 c) A(-1;3) , : x – y = 0 21) Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) và trọng tâm G(4;-2) ,đường trung trực AB có phương trình 3x+2y-4=0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C

22) Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) và cạnh BC có phương trình x – 3y –9 = 0

a) Viết PT đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

b) Tìm tọa độ hình chiếu K của A lên BC

23) Cho tam giác ABC vuông tại C có đỉnh A(1;-2) và B(-3;3) Tìm tọa độ C biết C nằm trên đường thẳng x – y + 2 = 0

24) Tìm phương trình đường thẳng qua A và tạo với (d) một góc 

a) A(7;-2) , (d) : x – y + 2 = 0 ,  = 45o

b) A(2;3) , (d) : 2x + 3y – 1= 0 ,  = 45o

c) A(2;-1) ,(d) : x + 6 = 0 , = 30o

d) A(4 ; -3) , (d) : 2x – 3y + 1 = 0 , cos  = 2/ 13

25) Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo nằm trên đ/ thẳng 7x – y + 8 = 0 lập phương trình đường thẳng chứa đường chéo còn lại và các cạnh hình vuông

26) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, đường trung tuyến

AM Biết đỉnh B(1;1) phương trình AH và AM lần lượt là x + y – 4 = 0 và 5x + 7y – 36 = 0 a) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác

b) Tính diện tích tam giác ABC

27) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có diện tíchS =3/2, hai đỉnh A(2;-3) ,B(3;-2)

và trọng tâm G thuộc đường thẳng3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ C

28) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình 2x – y –

đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng (d1) :2x – y + 5 = 0 và (d2): 3x + 6y –1 = 0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao của (d1) và (d2)

30) Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB và AC lần lượt là 2x – y+ 8 = 0 , x – 2y – 12 = 0 Biết đoạn BC chứa M(4;0).Lập phương trình đường thẳng BC

31)Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình hai đường phân giác trong BD và CE là x – 1 = 0 và x + y –1 = 0 Lập phương trình các đường thẳng BC,CA,AB

32) Hãy lập phương trình đường thẳng lần lượt đi qua hai điểm A(0;4) và B(5;0) Biết rằng đường thẳng 2x – 2y + 1 = 0 là một phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó

33)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-3;1) và phương trình đường phân giác trong AD,đường cao AH lần lượt là x+3y+12 = 0 và x+7y +12 = 0 Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

34) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(2 ; -1), đường cao và đường phân giác trong lần lượt qua A và C có phương trình 3x – 4y + 28 = 0 và x+2y–5 = 0 Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

35) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(9;7) đường phân giác trong

và đường trung tuyến kẻ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt có phương trình x+y –2 = 0 và x – y–1 = 0 Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

36) Cho tam giác ABC có đỉnh A(-5;6) trọng tâm G(-5/3;8/3),trực tâm H(-3;2).Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC

37) Viết phương trình đường thẳng cách A(-2;1) một khoảng bằng 2 và cách B(4;3) một khoảng bằng 4

38) Cho tam giác ABC có đỉnh A(1;-2), B(2;3) có diện tích là 12 Tìm đỉnh C biết C ở trên đường thẳng 2x + y –2 = 0

39) Tìm phương trình các cạnh của hình vuông biết tọa độ hai đỉnh liên tiếp là A(-1;3) và B(6;4)

Trang 5