Sang kien kinh nghiem 2.doc

Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phơng trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phơng trình, chứng minh một bất

phần I

phần Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy và học là vấn đề thờng xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng Để chất lợng học sinh ngày càng đợc nâng cao yêu cầu ngời giáo viên phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tợng học sinh

Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu

tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phơng trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phơng trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phơng trình… đối đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử Chính vì vậy ngời giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chơng trình lớp 8

Các vấn đề trong đề tài đều đợc lựa chọn để mọi đối tợng học sinh đều có thể tiếp thu đợc Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó đợc diễn đạt một cách

đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lợng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải

Xuất phát từ yêu cầu và mong ớc trên, tôi đã chọn đề tài: Các ph“Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó ”

2 Mục đích của đề tài:

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này

- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Thấy đợc vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán

để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh

3 Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu : Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản

về phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở:

- Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

- Sách giáo viên lớp 7, 8, 9

- Sách bồi dỡng thờng xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên

Phần II

Nội dung

I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của những đa thức bậc nhỏ hơn

Ví dụ: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2)

Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp

Ph

ơng pháp 1 : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số)

1 Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a 12x2y - 18y3

b 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2

Giải

a Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:

12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2)

b Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z)

Do đó ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2

= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)]

= 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)

2 Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.

Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y)

Có thể viết là: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y - z)

Ph

ơng pháp 2 : Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.

1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử

a 4x2 - 12x + 9 c 16x2 - 9(x + y)2

b 27 - 27x + 9x2 - x3 b 1 - 27x3y6

Giải

a 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2

b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x+ 3.3x2 - x3 = (3 -x)3

c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2

= (x - 3y)(7x + y)

d 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)

2 Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức, chẳng hạn:

- x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2

Ph

ơng pháp 3 : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

1 Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)

= (x - 5)(y + 2)

b 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

c x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2

= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)

2 Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử.

Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích nh sau:

xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10)

= x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)

3 Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp 3 phơng

pháp kể trên Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho Do đó tiếp tục phân tích sẽ đơn giản hơn

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2

= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)

= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]

= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)

Ph

ơng pháp 4 : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

1 Dạng tam thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + 8

Giải

Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng

đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử

Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8

= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1

= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4) Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4

= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12

= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24

= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Cách 6: x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8

= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]

= (x - 2)(x - 4) Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất ở

đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x Trong đa thức

x2 - 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ

4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trớc, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2)

Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân

tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho:

a

b1

=

2

b

c

, tức là b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau:

Bớc 1: Tìm tích a.c

Bớc 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách

Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b

Trong ví dụ trên x2 - 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8

Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví dụ: (- 4, - 2)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - 8

Giải

Cách 1: Cách hạng tử thứ 2

9x2 + 6x - 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2)

= (3x - 2)(3x + 4)

Chú ý hệ số 6 đợc phân tích thành - 6 và 12, vì có tích bằng 72 bằng 9.(- 8) Cách 2: Tách hạng tử thứ 3

9x2 + 6x - 8 = (9x2 + 6x + 1) - 9 = (3x + 1)2 - 9

= (3x + 1 + 3)(3x + 1 - 3) = (3x + 4)(3x - 2)

Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng

tử khác nhau thờng nhằm mục đích:

- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung (cách 1)

- Làm xuất hiện hiệu của 2 bình phơng (cách 2)

Chú ý:

a Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tơng tự nh đa thức bậc 2 một biến

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2

Giải

Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)

= (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2

= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)

= 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

b Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách 2 sau khi đa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phơng của một

số hữu tỷ

Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c bằng 6 bằng 1.6, bằng 2.3 không

có 2 thừa số nào có tổng bằng 4

Còn theo cách 2 thì: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 -( - 2); -2 không phải là bình phơng của một số hữu tỷ nào Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích đợc thành tích

2 Đa thức bậc 3 trở lên

Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta th ờng dùng cách tìm nghiệm của đa thức

2.1 Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức

a Định nghĩa nghiệm của đa thức

Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a

Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:

b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức

c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẽ thì - 1 là nghiệm của đa thức

d Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ớc của hệ số tự do

Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau:

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì

1

) 1 (



a

f

và

1

)

1

(





a

f

đều là số nguyên

Ví dụ: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18

Có các ớc của 18 là:  1;  2;  3;  6;  9;  18

f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18

f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44

Hiển nhiên  1 không là nghiệm của f(x), ta thấy:

) 1 3 (

18







;

) 1 6 (

18







;

)

1

9

(

18







;

) 1 18 (

18







không nguyên nên - 3;  6;  9;  18 không là nghiệm của f(x);

)

1

2

(

44





không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x)

Chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x)

e Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x =

q

p

thì p là ớc của hệ số tự do, q là ớc dơng của hệ số cao nhất

2.2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - 4

Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 - 5 + 8 - 4 = 0, nên 1 là nghiệm của đa thức Đa thức đã cho chứa thừa số là x - 1; ta tách các hạng tử nh sau:

x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4

= x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)

= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + 9

Ta thấy các hệ số của đa thức 1 + 3 = - 5 + 9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x + 1

Ta tách nh sau: x3 - 5x2 + 3x + 9 = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9

= x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)

= (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2

Ví dụ 3: f(x) = x3 - x2 - 4

Lần lợt kiểm tra với x =  1,  2,  4

Ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0; đa thức có nghiệm là x = 2, do đó chứa thừa số x - 2

Ta có: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4

= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2)

Ví dụ 4: 2x3 - x2 + 5x + 3

Ta thấy  1;  3 không phải là nghiệm của đa thức, xét các số hữu tỷ dạng p/q vứi p là Ư(2) và q là Ư(3) gồm 

2

1

; 

2

3

Ta có -

2

1

là nghiệm của đa thức nên nó chứa thừa số 2x + 1

Vậy: 2x3 - x2 + 5x + 3 = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + 3

= x2(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 - x + 3)

Ph

ơng pháp 5 : Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

1 Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức

Ví dụ: 4x4 + 81

Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phơng (2x2)2 + 92 tơng ứng với 2 số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức:

Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9

= (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9)

Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phơng thì mới làm tiếp bài toán đợc

2 Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung

Ví dụ: x2 + x2 + 1 = x2 - x + x2 + x + 1

= x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1)

Ph

ơng pháp 6 : Phơng pháp đổi biến

Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho đợc đa thức mới có bậc nhỏ hơn và

đơn giản hơn

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12

Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12

Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12

= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tơng đơng với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)

= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]

= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức đã cho

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24

= (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)

Đặt x3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24

= y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)

Tơng đơng với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)

= (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)

Ph

ơng pháp 7 : Phơng pháp hệ số bất định

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3 Các hệ số  1;  3 là Ư(3) nhng không phải là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ

Nh vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả:

x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta đợc

a + b = 6

ac + b + d = 12

ad + bc = - 14

bd = 3 Xét bd = 3 với b, d  z; b  { 1;  3}; với b = 3 thì d = 1

Hệ trên thành:

a + b = - 6

ac = 8

a + bc = -14

 2c = -14 -(-6) = 8 do đó c = - 4; a = - 2

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:

x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3

= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3

= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)

= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)

Ph

ơng pháp 8 : Phơng pháp xét giá trị tuyệt đối

Trong phơng pháp này trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của

đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Nên thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y)

Nh vậy P chứa thừa số x - y Do vai trò của x, y, z nh nhau trong P nên P chứa x - y thì cũng chứa y - z và z - x

Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z

Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

= k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với  x, y, z

Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1

Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)

2 = - 2k => k = - 1

Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)

= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)

= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)

= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)

= (x - y)(y - z)(x - z)

II Các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n  N hoặc n  Z) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta thờng phân tích biểu thức A(n) thành thừa số trong đó có một thừa số m Nếu m là tập hợp số ta phân tích nó thành một tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các thừa số đó Lu ý trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

Ví dụ: Chứng minh rằng

A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n

Ta có 24 = 8.3

A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6)

= n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6)

= n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]

= n(n + 1)(n2 + 5n + 6)

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trong 4 số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + 3 có một thừa số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4, do đó A chia hết cho 8

Mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số chia hết nên n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 3

Vì ƯSCNN (3,8) = 1 nên A chia hết cho 8

Vậy A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) chia hết cho 8 với n

2 Giải phơng trình bậc cao