số học và logic học đồng dư

LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình tiểu học, các em học sinh đã bắt đầu làm quen với phép chia hết, phép chia có dư.. Lên tới bậc học trung học cơ sở, các em học sinh được làm quen thêm với

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình tiểu học, các em học sinh đã bắt đầu làm quen với phép chia hết, phép chia có dư Lên tới bậc học trung học cơ sở, các em học sinh được làm quen thêm với các điều kiện của phép chia hết, chứng minh một số bất

kỳ có nhiều chữ số chia hết cho một số nào đó, hoặc tìm một hoặc hai chữ số cuối cùng của một phép tính phức tạp Bằng những phương pháp đã được dạy trên ghế nhà trường, giáo viên có thể giúp học sinh của mình dễ dàng thực hiện những điều ấy Nhưng hôm nay nhóm chúng em giới thiệu thêm một cách nữa để

có thể làm được những bài toán đó hoặc những bài toán nâng cao hơn, đó là đồng

dư Chúng em hy vọng tiểu luận này phần nào có thể làm tài liệu tham khảo cho

các giáo viên, để bổ trợ một số kiến thức cần thiết

Quyển sách này bao gồm tám phần :

1 Lịch sử xuất hiện vấn đề đồng dư, vai trò, vị trí

8 Tài liệu tham khảo

Trong quá trình biên soạn, nhóm tác giả chúng em đã cố gắng tìm tòi, suy nghĩ và tham khảo các nguồn tài liệu có giá trị và đáng tin cậy, với mong muốn mang đến cho độc giả những điều bổ ích thiết thực Tuy nhiên vì nhiều lý do khách quan và chủ quan, quyển sách này không thể không có những sai sót Vì vậy nhóm chúng em rất mong được các ý kiến đóng góp để tiểu luận này được hoàn thiện thêm Mọi ý kiến đóng góp, vui lòng liên hệ qua email:

1211974@student.hcmus.edu.vn

MỤC LỤC

Lời nói đầu i

Mục lục 1

1 Lịch sử xuất hiện vấn đề đồng dư, vai trò, vị trí 1.1 Lịch sử xuất hiện của vấn đề đồng dư 3

1.2 Vai trò của đồng dư 3

1.3 Vị trí của đồng dư trong toán học hiện nay 3

2 Kiến thức căn bản cần có 3

3 Cơ sở lý thuyết 3.1 Cấu trúc đại số trên vành số nguyên 3

3.1.1 Nhóm 3

3.1.2 Vành 4

3.1.3 Quan hệ tương đương 4

3.1.4 Nhóm con, vành con, ideal 4

3.2 Thuật toán Euclide 3.2.1 Thuật toán Euclide cơ bản 5

3.2.2 Thuật toán Euclide mở rộng 6

3.2.3 Các ứng dụng của thuật toán Euclide 7

4 Quan hệ đồng dư 4.1 Định nghĩa 7

4.2 Các điều kiện tương đương 7

5 Tính chất và hệ quả 5.1 Tính chất 7

5.1.1 Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương 7

5.1.2 Cộng từng về với nhau theo cùng một modulo 8

5.1.3 Nhân từng vế với nhau theo cùng một molulo 8

5.2 Hệ quả 8

6 Ứng dụng và ví dụ cụ thể 6.1 Tìm số dư trong phép chia 9

6.2 Chứng minh chia hết, không chia hết 9

6.3 Tìm chữ số tận cùng 11

6.4 Hàm 𝝓 – Euler 11

6.4.1 Định nghĩa 11

6.4.2 Định lý về hệ thặng dư đầy đủ 12

6.4.3 Định lý Euler 12

6.4.4 Định lý Fermat nhỏ 13

6.5 Phương trình đồng dư tuyến tính 13

6.5.1 Định nghĩa 13

6.5.2 Định lý về nghiệm 13

6.5.3 Hệ quả 6.5.3 14

6.5.4 Hệ quả 6.5.4 14

6.6 Hệ phương trình đồng dư tuyến tính (Định lý Trung Hoa về số dư) 14

6.6.1 Định lý Trung Hoa về số dư 15

6.6.2 Định lý về tính nhân tính của hàm 𝝓 – Euler 16

6.6.3 Hệ quả 6.6.3 16

6.6.4 Hệ quả 6.6.4 16

7 Bài tập tự luyện 7.1 Tìm số dư 16

7.2 Chứng minh chia hết, không chia hết 19

7.3 Tìm chữ số tận cùng 20

7.4 Hàm 𝝓 – Euler 22

7.5 Phương tình đồng dư tuyến tính 23

7.6 Hệ phương trình đồng dư tuyến tính 23

8 Tài liệu tham khảo 26

1 Lịch sử xuất hiện vấn đề đồng dư, vai trò, vị trí:

1.1 Lịch sử xuất hiện của vấn đề đồng dư:

" Khái niệm đồng sư xuất hiện khá rõ nét trong Định lý phần dư Trung hoa Người Trung hoa gọi nó là bài toán Hàn Tín điểm binh: Một nhóm khoản một trăm chiến binh xếp thành hàng bảy thì dư ra một người, xếp hàng năm thì dư ra

ba người, xếp hàng ba thì không dư ra ai Tướng quân giỏi nhẩm sẽ tính ra rằng

số chiến binh bằng đúng bảy mươi tám Dựa theo tra cứu thì thấy Định lý này được phát biểu lần đầu trong sách Toán pháp Tôn Tử (thế kỷ thứ 3-5 sau công nguyên), không liên quan gì đến Binh pháp Tôn Tử (thế kỷ thứ 5 trước công nguyên) (Xem [2])

1.2 Vai trò của đồng dư:

 Nó cũng làm khuôn khổ để phát biểu và chứng minh một trong những định lý toán học thực sự đầu tiên mà học sinh được học, đó là định lý Fermat nhỏ

1.3 Vị trí của đồng dư trong toán học hiện nay:

 Đồng dư có 1 vị trí quan trọng trong toán học hiện nay, nhất là trong phần số học

 "Đồng dư là một khái niệm toán học cơ bản, đơn giản và sơ cấp, nó thường được giảng dạy trong chương trình trung học cơ sở"

ii ∃e ∈ G: ea = ae∀a ∈ G

iii ∀a ∈ G, ∃a−1∈ G ∶ a a−1 = a−1a = e

ii Phép (.) có tính kết hợp

iii ∃e ∶ ae = ea∀a ∈ R gọi là vành có đơn vị

iv Phép (.) phân phối với phép (+) : a ( b + c ) = ab + ac

3.1.3 Quan hệ tương đương

 Cho A là một tập hợp Một quan hệ trên A là một tập con của tích đề các A ×

A : aRb ⇔ (a, b) ∈ R

 Quan hệ R trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có 3 tính chất :

i Phản xạ aRa, ∀a ∈ A

ii Đối xứng aRb ⇒ bRa

iii Bắc cầu aRb, bRc ⇒ aRc

 Nếu R là quan hệ tương đương trên A thì a ∈ A[a] = {b ∈ A | aRb}được gọi

là lớp tương đương chứa a (sinh bởi a)

 Định lý : R là quan hệ tương đương trên A :

i Nếub ∈ [a] ⇒ [b] = [a]

ii Nếu[a] ∩ [b] ≠ ∅ ⇒ [a] = [b]

iii A phân hoạch thành các lớp tương đương rời nhau

3.1.4 Nhóm con, vành con, ideal:

 G là nhóm Tập con H ⊂ Gđược gọi là nhóm con nếu :

i e ∈ H

ii a , b ∈ H ⇒ a b ∈ H

iii a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H

Cho G : nhóm ; H : nhóm con

 Ta định nghĩa quan hệ tương đương trên G như sau :

g ~g′ ⇔ gg′−1 ∈ H, ~ là quan hệ tương đương

3.2 Thuật toán Euclid và ứng dụng:

3.2.1 Thuật toán Euclid cơ bản:

Thuật toán Euclid: Giải thuật Euclid, hay thuật toán Euclid, là một giải

thuật giúp tính ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của hai số một cách hiệu quả Giải thuật này đã được biết đến từ khoảng năm 300 trước Công

Nguyên Nhà toán học Hy Lạp cổ Euclid đã viết giải thuật này trong cuốn sách toán nổi tiếng Elements

Ở dạng đơn giản nhất, thuật toán Euclid bắt đầu với cặp số nguyên dương,

và tạo ra một cặp số nguyên dương mới bao gồm số nhỏ hơn và phần dư của của phép chia hai số ban đầu Quá trình được tiếp tục cho đến khi hai số trong cặp bằng nhau, giá trị lúc đó sẽ trở thành ước số chung lớn nhất của cặp số ban đầu

Nguyên lí chính của thuật toán là ước số chung lớn nhất của một cặp số không thay đổi với hiệu của hai số đó Ví dụ như ƯSCLN của 252 và 105 chính bằng ƯSCLN của 147 (= 252 − 105) và 105 Vì số lớn hơn trong cặp

số bị giảm giá trị nên việc lặp đi lặp lại thuật toán này giúp tạo ra những số ngày càng nhỏ và đến một lúc nào đó quá trình này sẽ kết thúc — khi cặp

số còn lại hai số bằng nhau (nếu quá trình được thực hiện thêm một bước nữa, sẽ có một trong hai số trở thành số 0)

Lý thuyết về thuật toán Euclid trên có thể được diễn giải như sau:

Thuật toán này có rất nhiều ứng dụng lí thuyết và thực tế.Nó có thể được dùng để tạo ra gần như tất cả các nhịp điệu âm nhạc truyền thống được sử dụng trong nhiều nền văn hóa khác nhau trên toàn thế giới.Nó cũng là một thành phần then chốt trong thuật toán mã hóa RSA, một mật mã hóa khóa công khai được sử dụng rộng rãi trong thương mại điện tử.Thuật toán cũng được áp dụng để giải phương trình Diophantine

3.2.2 Thuật toán Euclid mở rộng:

Giải thuật Euclid mở rộng sử dụng để giải phương trình vô định nguyên

(còn được gọi là phương trình Đi-ô-phăng)

ax+by=c,

trong đó a, b, c là các hệ số nguyên, x, y là các ẩn nhận giá trị nguyên Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm (nguyên) là UCLN(a, b) là ước của c Khẳng định này dựa trên một mệnh đề sau:

Trong số học đã biết rằng nếu d=UCLN(a, b) thì tồn tại các số nguyên x, y sao cho

4 Quan hệ đồng dư:

4.1 Định nghĩa:

Cho m N*; a,b Z Nếu a và b khi chia cho m có cùng số dư, ta nói:

a và b đồng dư theo môđun m

* a b (mod m); b  c (mod m) ⇒ a  c (mod m)

5.1.2 Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun

i

i k

b a

1 1

) 1 ( )

1 ( (mod m) kN

5.1.3 Ta có thế nhân từng vế với nhau nhiều đồng dư thức theo cùng một

môđun

Cụ thể: ai bi (mod m);i = 1 ,n

a.c  b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 ⇒ a  b (mod m)

* Ta có thể nhân cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một số nguyên dương

a b (mod m); 0 < c  ƯC (a; b; m) ⇒ a/c  b/c (mod m/c)

6 Ứng dụng và ví dụ cụ thể:

6.1 Tìm số dư trong phép chia:

Phương pháp: Để tìm số dư trong phép chia A cho m ta tìm một số k < m

sao cho: A ≡ k (mod m)

Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 109345 chia cho 14

Giải:

Ta có: 109 ≡ −3 (mod 14)

⇒ 109345 ≡ (−3)345 (mod 14)

Ta lại có : (-3; 14) = 1 Hơn nữa : ρ(14) = 14 (1 −1

2) (1 −1

7) = 6 Nên : (−3)6 ≡ 1 (mod 14) (theo định lý Euler)

⇒ (−3)345 ≡ (−3)3 (mod 14) Mặt khác: (−3)3 = −27 = 1 (mod 14) Vậy số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 là 1

Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia:

(19971998+ 19981999+ 19992000)10chia cho 111

Giải:

Ta có 1998 ≡ 0 (mod 111)

1997 ≡ −1 (mod 111)và 1999 ≡ 1 (mod 111) Nên ta có : 19971998 + 19981999+ 19992000 ≡ 2 (mod 111) (19971998+ 19981999+ 19992000)10 ≡ 210 (mod 111) Mặt khác ta có : 210= 1024 ≡ 25 (mod 111)

Vậy(19971998 + 19981999 + 19992000)10 chia cho 111 số dư là 25

6.2 Chứng minh chia hết, không chia hết:

Dễ thấy A chia hết cho 4

Vậy ta chỉ cần chứng minh A chia hết cho 31

Có 1924 ≡ 2 (mod 31), 1920 ≡ −2 (mod 31)

⇒ 20032004n = 25m+1 ≡ 2 25m ≡ 2 32m = 2 1m= 2(mod 31) Thay vào (1) suy ra A ≡ 0 (mod 31) hay A chia hết cho 31

Vậy 20032004n chia hết cho 124

Ví dụ 2: Chứng minh 234n+1+ 3 chia hết cho 11 với n là số tự nhiên Giải:

Phương pháp: Để tìm n chữ số tận cùng của lũy thừa ta tìm số dư của

phép lũy thừa đó cho 10n nói cách khác là sử dụng đồng dư mod 10n

Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 20092010

Giải:

Ta có: 20092010 ≡ 92010 (mod 100)

⇔ (4420)222 ≡ 1(mod 25) hay 444440 ≡ 1(mod 25)

Ta lại có: 44 ≡ 19(mod 25) ⇒ 442 ≡ 11(mod 25)

6.4.2 Định lý: Cho (a, m) = 1, {r1, r2, … , rm} là 1 hệ thặng dư đầy đủ và {s1, s2, … , sϕ(m)} là 1 hệ thặng dư thu gọn modulo m Khi đó,

{ar1, ar2, … , arm} là 1 hệ thặng dư đầy đủ và {as1, as2, … , asϕ(m)} là hệ thặng dư thu gọn modulo m

Chứng minh:

i {ar1, ar2, … , arm} là 1 hệ thặng dư đầy đủ:

 (ari, m) = 1 ∀i ∈ (1, m) vì (ri, m) = 1 và (a, m) = 1

 ari ≡ arj(mod m) ⇔ ri ≡ rj(mod m) vì (a, m) = 1 ⇔ i = j

 |{ar1, ar2, … , arm}| = |{r1, r2, … , rm}| = m

Suy ra {ar1, ar2, … , arm} là 1 hệ thặng dư đầy đủ modulo m

ii {as1, as2, … , asϕ(m)}là hệ thặng dư thu gọn modulo m:

 (asi, m) = 1 ∀i ∈ (1, m) vì (si, m) = 1 và (a, m) = 1

 asi ≡ asj(mod m) ⟺ si ≡ sj(mod m)vì (a, m) = 1 ⟺ i = j

 |{as1, as2, … , asϕ(m)}| = |{s1, s2, … , sϕ(m)}| = ϕ(m)

Suy ra {as1, as2, … , asϕ(m)} là hệ thặng dư thu gọn modulo m

6.4.3 (Định lý Euler) Nếu (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

Chứng minh:

Lấy A = {a1, a2, … , aϕ(m)} là 1 hệ thặng dư modulo m

Lấy a ∈ ℤ, từ định lý 6.4.2 ta có aA cũng là hệ thặng dư modulo m Khi đó,

Do p là số nguyên tố và p ∤ a nên suy ra (a, p) = 1 Mà ϕ(p) = p − 1

Áp dụng định lý Euler cho (a, p) = 1, ta có aϕ(p) ≡ 1 (mod p) suy ra

ap−1 ≡ 1 (mod p)

Suy ra ap ≡ a (mod n)

Và điều này đúng với mọi số nguyên a, kể cả khi a ≡ 0 (mod n)

6.5 Phương trình đồng dư tuyến tính:

6.5.1 Định nghĩa:

Phương trình

ax ≡ b (mod n)

được gọi là phương trình đồng dư tuyến tính với a, b, n ∈ ℤ

6.5.2 Định lý:

Phương trình đồng dư tuyến tính ax ≡ b (mod n) giải được nếu và chỉ nếu (a, n)|b Hơn nữa, khi giải được thì phương trình chỉ có đúng (a, n) nghiệm đôi một không đồng dư modulo n

Chứng minh:

Phương trình ax ≡ b (mod n) tương đương với phương trình

ax − ny = b với x, y ∈ ℤ Mà từ phương trình Diophant, phương trình chỉ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi d = (a, n)|b

Nếu x0, y0 là 1 nghiệm của phương trình thì tập nghiệm của phương trình được xác định như sau:

6.6 Hệ phương trình đồng dư tuyến tính(Định lý Trung Hoa về số dư):

Chúng ta bắt đầu từ hệ hai phương trình đồng dư tuyến tính:

{x ≡ a1(mod m1)

x ≡ a2(mod m2)với (m1, m2) = 1 Phương trình đồng dư tuyến tính đầu tiên có nghiệm là x = a1+ m1y,

y ∈ ℤ Thế vào phương trình thứ hai, ta có

Tổng quát hóa lên, ta có:

6.6.1 Định lý Trung Hoa về số dư

Hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất theo modulo m1m2… mr

mitiSuy ra δi ≡ { 1 (mod mi)

0 (mod mj) , i ≠ j ∀ i ∈ (1, r) Vậy x = ∑ δiai

r

i=1

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

Giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất theo đồng dư modulo m của nghiệm x Giả sử ∃ x′ cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Suy ra x ≡ x′(mod mi), ∀i ∈ (1, r)

Từ đó ta có được x ≡ x′(mod m) do (mi, mj) = 1, ∀i ≠ j ∈ (1, r)

Vậy ta có x là nghiệm duy nhất theo modulo m của hệ phương trình đã cho

7.1 Tìm số dư trong phép chia:

Bài 1: Tìm số dư của phép chia 17659427 cho 293

Bài 2: Tìm số dư của phép chia 232005 cho 100

Giải:

Ta có: 231 23 (mod 100)

232 29 (mod 100)

234 292 41 (mod 100)  (234 )5 415 (mod 100)

2320 1 (mod 100)

 (2320 )100 1100 1 (mod 100) 232000 1 (mod 100)

232005 =232000.234.231 1.41.23 (mod 100) 232005 43 (mod 100)

Vậy 232005 chia cho 100 có số dư là 43

Bài 3: Tìm số dư của phép chia 19971997 cho 13

Vậy số dư của phép chia 19971997 cho 13 là 8

Bài 4: Tìm dư trong phép chia 21000 cho 25

Giải:

Ta có 210 24 (mod 25)

220 1 (mod 25)

21000 1500 1 (mod 25) Vậy số dư trong phép chia 21000 cho 25 là 1

Bài 5: Tìm dư trong phép chia 21997 cho 49

Giải:

Bài 6: Tìm dư trong phép chia 21999 cho 35

Bài 7: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975

Giải:

Ta có 20042 841 (mod 1975)

7.2 Chứng minh chia hết, không chia hết:

Vì 7, 13, 19 đôi một nguyên tố cùng nhau nên sử dụng tính chất:

"Nếu a ≡ b (modmi) với i = 1,2,3 … , n thì a ≡ b(mod[m1, m2, … m,n])với n ∈ℕ" ta có n1728 ≡ 1 (mod 1729)tức là n1728− 1 chia hết cho 1729

Bài 3: Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n ghi tron hệ cơ số 10

Đặt Sk(n) = S(S(… (n) … )) với k lần xuất hiện chữ S Chứng minh rằng n −

Sk(n) chia hết cho 9

Giả sử n = a̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = anan−1… a1a0 n 10n + an−1 10n−1+ ⋯ + a1 10 + a0

Sử dụng 10k ≡ 1 (mod 9) với mọi số tự nhiên k, ta suy ra n ≡

S(n)(mod 9) Nghĩa là n − S(n) chia hết cho 9 Sử dụng điều này, ta có

n ≡ S(n) ≡ S2(n) ≡ ⋯ ≡ Sk(n)(mod 9) Từ đây ta suy ra đpcm

Bài 4: Chứng minh rằng : 22225555 + 55552222 chia hết cho 7

Nhận xét : Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa với số mũ

tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9

c) 32009 = (34)502.3 = 81502.3 = (… 1).3 = … 3 có chữ số tận cùng là 3

d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có chữ số tận cùng là 2

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200

Giải:

Do (2004, 5) = 1

Áp dụng tính chất Nếu a ∈ ℕvà(a, 5) = 1thì a100 − 1 chia hết cho 125 ⇒

2004100chia cho 125 dư 1 ⇒ 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1 ⇒

a Số nguyên dương nhỏ hơn 2 và nguyên tố cùng nhau với 2 là 1 nên ϕ(2) = 1

b Các số nguyên dương nhỏ hơn 8 và nguyên tố cùng nhau với 8

ϕ(pn) = pn− pn−1Chứng minh:

Ta có tính chất sau đây: Một số nguyên tố cùng nhau với pn khi và chỉ khi

số đó nguyên tố cùng nhau với p Mà trong khoảng [0, pn − 1] có pn−1 số nguyên không nguyên tố cùng nhau với p, tức là những số nguyên có dạng np, với n = 0,1,2, … , pn−1− 1, trong khi pn − pn−1 số nguyên còn lại thì nguyên tố cùng nhau với p