chuyen de ham so bac nhat neww

Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của tham số m... Vẽ d2 ứng với m vừa tìm được.. Gọi A là điểm trên đường thẳng d1 có hoành độ bằng 2.. Vẽ đồ

CHUYÊN ĐỀ TRUYỀN THỐNG

Cho hai hàm s ố y = a x + b c ó đ ồ t h ị là ( d1 ) và y = a'x + b ' c ó đ ồ t h ị là ( d2)

2.1 CÁC DẠN T G O Á N T HƯỜ N G G Ặ P :

1 V ẽ đồ t hị của h à m s ố y = a x + b :

Bước 1: Xá c đ ịnh g i a o đ i ể m v ớ i t r ụ c t ung : A ( 0;b)

(ch o x = 0 r ồ i t h a y v à o h à m s ố để t ì m g i á t r ị c ủ a y )

Bước 2: Xác định giao điểm với trục hoành: B(−a b;0)

( c h o y = 0 r ồi t h a y v à o h à m s ố t ì m đ ư ợ c x )

Bước 3: V ẽ đ i ể m A , B t r ê n h ệ t r ụ c tọa độ Oxy Đ ư ờ ng t h ẳ ng q u a A và B

là đồ thị cần vẽ

b x

a

−

≥ và đồ thị y2 = − −ax b với x b

a

−

< hoặc xét giá trị đặc biệt

2 Đồ thị ( d1) đi q u a đ i ể m A ( x0; y0 ) ( h a y đ i ể m A ( x0; y0 ) thuộc đồ t hị )

⇔ y0 = ax0 + b

3 Hàm số y = ax + b có:

a > 0 ⇒ + Hàm số đồng biến

+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c nhọn

a < 0 ⇒ + Hàm số nghịch biến

+ Đường t hẳ ng t ạo vớ i t ia Ox gó c tù

(d1) cắt (d2) ⇔ a ≠ a '

,

( ) / /( )d d a a

b b

 =



⇔  ≠



(d1) trùng (d2)

, ,

a a

b b

 =



⇔  =



(d1) ⊥ ( d2 ) ⇔ a a ' = -1

5 Muốn t ìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1) v à (d2) ta g i ả i hệ

phương trình sau:





+ =

 Nghiệm ( x0; y0) tì m đ ư ợ c l à tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i

đ ư ờ ng t h ẳ ng d1 và d2

B ướ c 1: T ha y t ọa độ ha i đ iể m A, B và o đư ờ ng t hẳ ng y = a x + b ta được

hệ phương trình : , a , a



 + =



B

ư ớ c 2: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình ( ẩ n a v à b ) t a c ó: a = a 0 v à b = b0

Vậ y p hươ ng tr ình đ i q ua ha i đ iể m A( xa ; ya ) và B( xb; yb) là : y = a0 x + b0

7 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i m ột đ i ể m t r ê n t r ụ c t ung ta g i ả i

hệ phương trình:

, ,

a a

b b

 ≠





=



8 Muốn t ìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i m ột đ i ể m n ằ m t r ê n t r ụ c h o à nh

ta tiến hành theo 3 bước s a u:

Bước 1: Tìm giao điểm của (d1) với trục hoành: A b;0

a

−

Bước 2: Tìm giao điểm của (d2) với trục hoành: B

, , ;0

b a

 − 

B

ư ớ c 3: T ì m đ i ề u k i ệ n để a ≠ a ' v à gi ả i p h ư ơ ng tr ình: b b,,

− = −

9 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i m ột đ i ể m c ó h o à nh độ l à m

B

ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a ≠ a ' ( * )

B ướ c 2: T ha y x = m và o (d1) hoặ c (d2) để tìm y = y0

B ướ c 3: T ha y x = m và y = y0 và o phương trình đườ ng t hẳ ng c ò n

lạ i Kế t hợp với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m

10 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i đ i ể m c ó t ung độ

y0 : B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a ≠ a ' ( * )

B ướ c 2: T ha y y0 và o (d1) hoặ c (d2) ta tì m đ ượ c x0 tươ ng ứ ng

B ướ c 3: T ha y x = x0 và y = y0 và o đ ườ ng t hẳ ng c ò n lạ i Kế t hợp với (*) ta có đ i ề u k i ệ n c ầ n t ì m

11 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c g óc p h ầ n tư t hứ n h ấ t :

B ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: a x b, , y



 + =

 ta được nghiệm

(x0;y0)

Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn

0 0 ,

0 0

x y

a a

>



 >



 ≠



12 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i đ i ể m t h u ộ c góc phần tư …

Tươ ng tự bài toán 11 , c hỉ t h a y đ ổ i b ư ớ c 2

+ Góc phần tư thứ hai

0 0 ,

0 0

x y

a a

<



 >



 ≠



+ Góc phần tư thứ ba

0 0 ,

0 0

x y

a a

<



 <



 ≠



+ Góc phần tư thứ tư

0 0 ,

0 0

x y

a a

>



 <



 ≠



13 Tìm đ i ề u k i ệ n để (d1) cắ t ( d2) t ạ i 1 đ i ể m c ó tọa độ ngu y ê n: B

ư ớ c 1: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình: a x b, , y



 + =

 ta được nghiệm (x0;y0)

B

ư ớ c 2: T ì m đ i ề u k i ệ n để x0 ∈ Z , y0 ∈ Z v à a ≠a '

14 Chứ ng minh đồ t hị y = a x + b l u ô n đ i q u a m ột đ i ể m c ố đ ịnh v ớ i mọi tham số m:

B ướ c 1: G iả s ử đồ t hị hàm số y = a x+b luô n đ i q ua điể m A ( x0; y0) với mọi m

B ướ c 2: T ha y A ( x0; y0) và o phương trình y = a x + b ta đượ c y0 = a x0 + b(*)

B ướ c 3: B iế n đổ i ( *) về dạ ng : A m + B = 0 ( A, B là cá c biểu thức chứa

x0 và y0)

( Xe m m là ẩ n ; A , B là c ác h ệ s ố t h ì p h ư ơ n g t r ì n h A m + B = 0 luôn luôn đ ú n g kh i A = 0 và B = 0 )

B

ư ớ c 4: G i ả i h ệ p h ư ơ ng tr ình:  =B A=00 ta tìm đ ượ c x0 và y0

15 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 ): y = a x + b (d2): y = a ' x + b '

(d3): y = a " x + b" đ ồ ng q uy ( c ùng đ i q ua một điểm )

B ư ớ c 1: T ì m đ i ề u k i ệ n để a ≠ a ' ≠ a "

B

ư ớ c 2: + Nế u b = b ' thì ta tì m đ i ề u k i ệ n m để b" = b h oặ c b" = b'

( t rư ờ n g h ợp h o ặc b ' = b " h o ặc b = b " t a t ìm t ư ơ n g t ự )

+ Nế u b ≠ b ' ≠ b" Ta giả i hệ p hươ ng tr ình k hô ng c hứa tham số

m

VD: Giải hệ phương trình , ,



 + =

 ta được nghiệm (x0;y0)

Thay (x0;y0) vào (d3) được y0 = a"x0 + b" Từ đó tìm được m

16 Tìm m để đồ t hị h à m s ố y = a x + b t ạ o v ớ i h a i t r ụ c tọa độ t a m giác cân:

B ướ c 1: T ì m gia o đ iể m vớ i tr ục t ung A (0 :b ), gia o đ iể m vớ i trục hoành −a b;0÷

Bước 2 : Giải phương trình b b

a

−

= ta tìm được m

17 Tìm đ i ề u k i ệ n c ủ a m để k h o ả ng các h t ừ g ốc tọa độ O đ ế n đ ư ờ ng

thẳng y ax b= + (d) có giá t r ị l ớ n n h ấ t :

B ư ớ c 1: T ì m đ i ể m c ố đ ịnh A ( x0; y0 ) m à đồ t hị l u ô n đ i q u a

( t heo bài toán 14)

B ư ớ c 2: T ì m g i a o đ i ể m của (d) v ớ i t r ụ c t ung B ( 0 : b )

Tì m gia o điể m của (d) vớ i tr ục hoà nh C b;0

a

−

 

B ư ớ c 3: V ì k h o ả ng cá c h t ừ O đ ế n đ ư ờ ng t h ẳ ng l ớ n n h ấ t k hi OA⊥BC Nên áp dụng h ệ t h ứ c l ư ợ ng t r o ng t a m g i á c v u ô ng O B C v ớ i đ ường cao

OA có: 12 12 12

T ính O A , O B , O C v à t h a y v à o h ệ th ứ c ( * ) t a tìm đ ư ợ c m

Lưu ý: + Ở b ư ớc 3 ta c ó t h ể lập ph ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g t h ẳ n g O A T ừ đó tìm điều kịên của m để đường th ẳ n g O A vuông góc với đ ư ờ n g t h ẳ n g y = ax + b + Ta c ó t h ể tí n h O A , O B , O C b ằ n g đị n h lý P i - t a - go h o ặc v ận d ụ ng công thức tính khoảng cách gi ữ a h ai đi ể m t r o n g m ặt p h ẳ n g tọa dộ O xy

VD : A ( xa ; ya ) và B( xb; yb ) t hì A B = ( ) (2 )2

A (x a; y a)

B (x b; yb)

O

thẳng hàng:

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB ( hoặc AC, BC ) theo bài toán 6

Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của tham số m

2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ:

1 Cho h à m s ố y = 2 m x + m - 1 c ó đồ thị l à ( d1)

Tìm m đ ể :

a Hàm s ố đ ồ ng b i ế n ; hàm số ng h ị c h b i ế n ?

b (d1) đi qua đ iể m A (1;2 )?

c (d1) cắ t trục t ung tạ i đ iể m c ó t ung độ bằ ng -2?

d (d1) cắ t trục ho à nh tạ i đ iể m c ó hoà nh đ ộ bằ ng -1?

e (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục t ung; trê n tr ục hoà nh ?

f (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3x - 2 tạ i đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2?

g (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3?

h (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng 2 x - y = 1?

i (d1) song song với đường thẳng 1 1

3

j (d1) t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 ?

k (d1) vuô ng góc vớ i đườ ng t hẳ ng x - y = 2 ?

2 Tìm tọa độ g i a o đ i ể m c ủ a h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng (d1 y =): 3x - 2 (d2): 2 y - x = 1

3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 ) : y = ( m - 1 ) x + 2m (d2) : y = m x + 2

Tìm m để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m t hu ộc góc phầ n t ư t hứ ha i

4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1

lớn nhất ?

5 Tìm m để 3 đ ư ờ ng t h ẳ ng s a u đ ồ ng q uy:

(d1) : y = 2x – 3 (d2): y = x – 1 (d3): y = ( m - 1)x + 2

1 a Ta có : a = 2m

Hàm số đồng biến ⇔2m > 0 ⇔ m > 0

Hàm số nghịch biến ⇔2m < 0 ⇔ m < 0

b (d1) đi qua đ iể m A (1;2 ) ⇔ 2 = 2m.1 + m – 1 ⇔3m = 3 ⇔ m = 1

c (d1) cắ t trục t ung tạ i đ iể m c ó t ung độ bằ ng -2 ⇔ b = -2

⇔ m – 1 = -2⇔ m = -1

d (d1) cắ t trục ho à nh tạ i đ iể m c ó hoà nh đ ộ bằ ng -1 ⇔ b 1

a

− = − ⇔

2

m

m

−

− = − (m≠ 0 ) ⇔ − + = −m 1 2m⇔ = −m 1

e +) (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục t ung:

(d y =): 2 m x + m - 1 ( m ≠ 0) (d ): y = x + 1

(d1) cắ t (d2) t ạ i đ i ể m t r ê n t r ụ c t ung



1

1 1

2 2

2

m m

+) (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành:

(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 ⇔ 2 ≠ ⇔ ≠1 1

2

Đ ườ ng t hẳ ng y = x + 1 cắt tr ục hoành tại điểm B(-1; 0)

Để (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành thì điểm

B∈ (d1) ⇔ 0 = 2m.(-1) + m – 1 ⇔ m = -1 (thỏa mãn điều kiện(*) )

Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x + 1 tại một điểm trê n tr ục hoành khi m = -1

f (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3x - 2 tạ i đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2

(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3 x - 2 ⇔ 2 ≠ ⇔ ≠3 3

2

Gọi đ iể m c ó hoà nh độ bằ ng 2 là A (2; y0 )

V ì A( 2; y0) t huộc y = 3x - 2 nê n y0 = 3 2 - 2 = 4 Do đó A(2; 4)

V ì A( 2;4) t hu ộc (d1) n ê n 4 = 2 m 2 + m - 1 ⇔ 5 m = 5 ⇔ m = 1 (thỏa mãn điều kiện(*) )

Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = 3 x - 2 tại một điểm có hoành bằng 2 khi m = 1

g (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3:

(d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x - 5 ⇔ 2 ≠ ⇔ ≠ 1 1

2

Gọi đ iể m c ó tung độ bằ ng -3 là B (x0 ; -3 )

V ì B(x0; -3) t huộc y = x - 5 nê n -3 = x0 - 5 ⇔ x 0 = 2 Do đó B(2; -3)

V ì B(2; -3) t hu ộc d1 n ê n -3 = 2 m 2 + m - 1 ⇔ 5 m = -2 ⇔ m =−25 (thỏa mãn điều kiện(*) )

Vậy (d1) cắ t đườ ng t hẳ ng y = x -5 tại điểm có tung độ bằng -3 khi m=−25

h (d1): y = 2mx + m - 1 cắ t đườ ng t hẳ ng 2 x - y = 1⇔y = 2x – 1

khi 2m ≠ 2⇔ m ≠ 1

i (d1): y = 2mx + m - 1 song song với đường thẳng 1 1

3

y= − x+ khi

6

m

j (d1): y = 2mx + m - 1 t r ùng v ớ i đ ư ờ ng t h ẳ ng - 2 x - y = 5 ⇔y = -2x - 5

khi  = − ⇔ = −

v nghiÖm

Vậy (d1) không thể trùng với với đường thẳng -2x - y = 5

k (d1) vuô ng góc vớ i đườ ng t hẳ ng x - y = 2:

(d1): y = 2 mx + m – 1 (d2) : x - y = 2 ⇔ y = x - 2

(d1) ⊥ ( d2) ⇔ 2 m 1 = -1 ⇔ m = −12

2 Tọa độ gia o đ iể m c ủa 2 đồ thị là nghiệ m c ủa hệ ph ươ ng tr ình:

Vậy tọa độ độ g i a o đ i ể m c ủ a ( d1): y = 3x – 2 ; (d 2): 2 y - x = 1 là A(1 ; 1)

3 Cho h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 y =): ( m - 1 ) x + 2m (d2): y = m x + 2

Tọa độ gia o đ iể m c ủa 2 đồ thị là nghiệ m c ủa hệ ph ươ ng tr ình:

2

1 2

2



Để (d1) cắ t (d2) tạ i mộ t điể m t hu ộc góc phầ n t ư t hứ ha i thì

1

1 3

4 4

m

<



= − <

 = − + > ⇔ − + + > ∀ ⇔ <

4 Tìm m để k hoả ng cá c h từ gốc tọa độ O đế n đườ ng t hẳ ng (d): y = mx - m + 1 lớn nhất

Tìm đ i ể m c ố đ ịnh t h u ộc ( d) : y = m x - m + 1

G iả s ử A( x0; y0 ) t huộc (d) : y = mx - m + 1 nê n:

y0 = mx0 - m + 1 ⇔ m( x0 -1 ) - y0 + 1 = 0 (*)

Phương trình (*) đúng với mọi giá trị của m ⇔ 0 0

⇔

Vậy đườ ng t hẳ ng y = mx - m + 1 luô n đ i q ua điể m c ố đ ịnh A(1; 1)

Gọi giao đ iể m c ủa (d) vớ i tr ục hoà nh là B(−b a ; 0) hay B(m m−1 ; 0)

Gọi giao đ i ể m c ủ a d v ớ i t r ụ c t ung l à C ( 0; b ) = C ( 0; 1 - m )

Ta có: OA2 = 1 1 2 + = 2 2 OB2 = (m 21)2

m

− OC2 = (1 – m)2

Khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất khi d⊥OA tại A

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:

12 12 12

2

2 ( 1) (1 )

m

⇔ m2 + 2 m + 1 = 0 ⇔ ( m + 1 ) 2 = 0 ⇔ m = - 1 Vậy với m = - 1 thì k h o ả ng các h t ừ O đ ế n đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d ): y = m x - m +

1 lớn nhất

5 Tọa độ gia o đ iể m c ủa (d1) và (d2) là nghiệ m c ủa hệ ph ươ ng tr ình:

Để (d1), (d2) và (d3) đồng q uy t hì đườ ng t hẳ ng (d3): y = ( m - 1) x + 2 m phải đ i

q ua điểm (2;1) ⇔1 = (m – 1).2 + 2m ⇔4m = 3 ⇔ m = 34

Vậy với m = 34 thì d1, d2 v à d3 đồng q u y

2.4 Bài tập tương tự:

1 Cho đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 ): y = a x + b Xá c định g i á t r ị a , b b i ế t r ằ ng ( d1) song song với đường phân giá c c ủ a g óc p h ầ n tư t hứ h a i v à đi q u a đ i ể m A ( 1 ; - 2)

2 Chứng m i nh r ằ ng ba đ ư ờ ng t h ẳ ng s a u đ ồ ng q uy:

(d1): y = x + 1 (d2): y = 3x - 2 (d3): y = 2x - 12

3 Tìm a , b để h a i d ư ờ ng t h ẳ ng ( a + 2 ) x - b y = 2 v à a x - y = b c ắ t n hau tại điểm M(2;-1)

4 Tìm m để ba đ i ể m s a u t h ẳ ng h à n g :

A

( 2;1) B ( - 2; 2 ) C ( m - 1; m )

5 Chứng m i nh r ằ ng đồ t hị h à m s ố y = 3 m x = 2 m - 1 lu ô n đ i q u a một điểm cố định A với mọi m Tì m tọa độ c ủa đ iể m A

6 Cho ha i đ ườ ng t hẳ ng (d1 ): y = ( m2 + 2 m) x và (d2): y = a x ( a ≠ 0)

a Đ ịnh a để (d2) đi qua A(3 ;-1 )

b Tì m cá c giá tr ị c ủa m để (d1) ⊥ (d2) (ở câ u a )

7 Cho hà m s ố (d1 ): y = a x + b

a Tìm a và b b iế t đồ t hị hà m s ố đ i qua M ( - 1;1) và N (2;4 )

b Xác định m để đồ thị hàm số (d2): y = (2m2 - m)x + m2 + m là một đường thẳng song song với đường thẳng (d1) tìm được ở câu c Vẽ (d2) ứng với m vừa tìm được

d Gọi A là điểm trên đường thẳng (d1) có hoành độ bằng 2 Tìm phương trình đường t h ẳ ng ( d3) đ i q u a A v à v u ô ng g óc v ớ i 2

đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1), ( d2) T ính khoảng cách giữa (d1) v à (d2)

8 Cho đ i ể m A ( 1; 1 ) v à h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 ): y = x - 1 (d2): y = 4x - 2 Viết phư ơ ng t r ình đ ư ờ ng t h ẳ ng đ i q u a A v à cắ t cá c đ ư ờ ng t h ẳ ng ( d1 (d), 2) tạo thành tam giác vuô n g

9 Tìm m để h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng y = x - 1 v à y = 2 m x + 1 c ắ t n h a u t ạ i điểm

có tung độ là 3

10.Tìm m để h a i đ ư ờ ng t h ẳ ng y = m x + 1 và y = 2x + 3 c ắ t n h a u t ạ i một điểm có tọa độ nguyê n

11 Cho hà m s ố y = x+ − 1 x

a Vẽ đồ thị hàm số

b

T ì m G T N N c ủ a h à m s ố

12 Trên một hệ tr ục tọa độ vu ô ng góc c ó độ dà i đơ n vị là c m

a Vẽ đồ thị hàm số y x= + + − 2 3 x

b G ọi d l à đ ư ờ ng t h ẳ ng c ó p h ư ơ ng t r ình y = m c ắ t đồ thị

2 3

y x= + + −xthành một hình t h a n g T ì m m để d i ệ n t í c h hình t h a ng b ằ ng

2 8 c m 2

Tôi xin chân thành cảm ơn !.