Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E... Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M... 0,5đ Trên đây là những gợi ý đáp
Trang 1UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
- Khóa ngày 06/11/2011
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2 điểm) Có hay không các số tự nhiên m và n thỏa mãn đẳng thức sau:
1 ( )( ) 1 ( 1) 2011 4
m n
m n m n− + + − + =
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
b) Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 2
a b c+ + = và a + b + c = abc thì ta có 12 12 12 2
a +b +c =
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Thực hiện rút gọn biểu thức: A = 94 42 5− − 94 42 5+
b) Cho biểu thức M = 4 8 2 48
2 2
2
+
−
+
a
a a
a Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 4: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: ( )
3
3
3 2 1 1
x
x x
−
−
b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x 4 2+ y + z + = x− +2 4 y− +3 6 z−5
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC, Gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm
M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh:
a)
2
BC BD.CE =
4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED,
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Trang 2
-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)
-Bài 1: (2 điểm)
Đặt A = 1( )( ) 1 ( 1)
4
m n
m n m n− + + − +
* Nếu m = n thì m – n = 0 vế trái A = 0 ≠2011, nên không không xảy ra (0,25đ)
* Nếu m n≠ :
+ Khi m và n đều chẵn
ta có m – n = 2k ; m + n = 2l ( với k ; l ∈ N) (0,25đ)
⇒ A = 1
4.2k.2l.[1 + (-1)2k] = 2kl ≠2011 (0,5đ)
+ Khi m chẵn, n lẻ
thì m + n = 2k + 1 (tương tự m lẻ, n chẵn) (0,25đ)
⇒[1 + (-1)2k +1] = 0 ⇒ A ≠2011 (0,5đ)
Vậy không có 2 số tự nhiên m và n để thỏa mãn đẳng thức trên (0,25đ)
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (0,5đ)
⇒ a = b = c (0,5đ)
b) Từ giả thiết 1 1 1 2
a b c+ + =
2
1 1 1
4
a b c
a b c ab bc ac
1 1 1
2 a b c 4
+ +
(0,5đ)
Mà a + b + c = abc nên:
1 1 1
2.1 4
a b c
⇒ + + + = (0,5đ)
1 1 1
2
a b c
⇒ + + = (0,5đ)
Bài 3: (5 điểm)
a) A = 94 42 5− − 94 42 5+
7 3 5− − 7 3 5+ (1,0đ)
7 3 5 7 3 5
= − − + (0,5đ)
7 3 5 7 3 5 6 5
= − − − = − (0,5đ)
2 2
2
+
−
+
a
a a
a Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M
Trang 3M =
2
M =
M =
2 2
2
8
a
a
2
2 8
a a
0
Vậy minM = 0 khi 2 ( 2 )2
2
2 2
a
−
⇔a2− = ⇔ = ±2 0 a 2 (0,5đ)
Bài 4: (5 điểm)
a) Giải phương trình: ( )
3
3
3 2 1 1
x
x x
−
−
( )
2
⇔ + − ÷ − − + − ÷÷= − − (0,5đ)
Mà
( )
2 2
2
1
x
x x x x x
t x
− +
Ta được: t(t2 – 2t – t) = 2 – 3t
⇔ t3 – 3t2 + 3t – 1 = 1
⇔(t – 1)3 = 1 ⇔t – 1 = 1 ⇔ t = 2 (0,5đ)
1
x
−
Vậy phương trình vô nghiệm (0,5đ)
b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x 4 2+ y + z + = x− +2 4 y− +3 6 z−5 điều kiện: x≥2; y≥3; z≥5 (0,5đ)
(x 2) 2 x 2 1 (y 3) 4 y 3 4 (z 5) 6 z 5 9 0
Trang 42 1 0
3 2 0
5 3 0
x
y
z
(0,5đ)
3
7
14
x
y
z
=
=
(0,5đ)
Bài 5: ( 5 điểm)
a/ Trong ∆BDM ta có D¶1=120−M¶ 1
M = ⇒M = −M
¶ ¶
D M
Chứng minh ∆BMD ∆CEM (1) (0,5đ)
BD CM
BD CE BM CM
BM CE
Vì
2
BC
BM =CM = Nên 2
4
BC
BD CE= (0,5đ)
b) Từ (1) BD MD
CM EM
Nên ta có: BD MD
BM CM
B M= =
BMD
⇒ ∆ ∆MED (c-g-c) (0,5đ)
⇒ D¶1=D¶2, do đó DM là tia phân giác của ·BDE(0,5đ)
Chứng minh tương tự:
CME
∆ ∆MDE (c-g-c) (0,5đ)
E =E , do đó EM là tia phân giác của ·CED(0,5đ)
c) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh: DH = DI ; EI = EK (0,5đ)
Chu vi của ∆ADE là
AD + AE + DE = AD + AE + DI + IE
= AD + DH + AE + EK
= AH + AK
= 2AH ( Do M thuộc tia phân giác của góc A) (0,5đ)
Mà M cố định nên AH không đổi
Vậy Chu vi ∆ADE không đổi (0,5đ)
Trên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, Học sinh
có thể giải theo cách khác Tùy vào bài làm cụ thể của
học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng.
I
K H
M
A
D
E
2 3 1 1
1 2
X
M
A
D
E Y