Toán A3-C3 - HUFI EXAM Chuong 1-A3DH

Toán A3-C3 - HUFI EXAM Chuong 1-A3DH tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

Trang 1

 Chương Chương 1 1 Phép Phép tính tính vi vi phân phân hàm hàm số số nhiều nhiều biến biến

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa

a) Miền phẳng

• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng

Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là

biên của D , ký hiệu D hay 

Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với

biên ở vô cùng

• Miền phẳng D kể cả biên D được gọi là miền đóng,

miền phẳng D không kể biên D  là miền mở



• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1

đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi

là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b)



b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm M x y , 1( ,1 1) M x y là: 2( ,2 2)

• Hình tròn (S M  mở có tâm , )

( , )

M x y , bán kính   được 0

gọi là một lân cận của điểm M M



•

Nghĩa là:

0( , )0 0 ( , ) ( 0) ( 0)



• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D   2

Tương ứng f D   cho tương ứng mỗi ( , ): x y D

với một giá trị z f x y( , )  duy nhất được gọi là hàm số hai biến số ,x y

• Tập D   được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm 2

số ( , )f x y , ký hiệu là D f

Miền giá trị của hàm số ( , )f x y là:

G  zf x y  x y D

c) Hàm số hai biến số



Chú ý

• Trong trường hợp xét hàm số ( , )f x y mà không nói gì

thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm

2

( , )

M x y   sao cho ( , ) f x y có nghĩa

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự



VD 1

• Hàm số f x y( , )3x y2 cosxy có D   f 2

• Hàm số z  4x2y2 có MXĐ là hình tròn đóng tâm (0; 0)O , bán kính R  2

• Hàm số zln(4x2y2) có MXĐ là hình tròn mở tâm (0; 0)O , bán kính R  2

• Hàm số zf x y( , )ln(2x  có MXĐ là nửa y 3)

mp mở có biên : 2d x    , không chứa O y 3 0

Trang 2

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số

 Điểm được gọi là giới hạn của dãy điểm

nếu

0 0 0( , )

M x y

( , ) ,  1,2,3,

M x y n

  2 2

Ký hiệu: lim n 0

  hay M n   nM0

• Hàm số ( , )f x y có giới hạn là L  {} khi M n

dần đến M nếu lim ( ,0 n n)



Ký hiệu là:

0

( , ) ( , )

y y



VD 2

2 2 ( , ) (1, 1)

lim

2 3

x y

xy

 

 

VD 3 Tìm

( , ) (0,0)lim ( , )

f x y





VD 4 Tìm

( , ) (0,0)

lim

x y







 

1

Chứng minh giới hạn không tồn tại

( , ) ( , )lim ( , )

o o

x y x y f x y



Tìm giới hạn hai dãy

2

f M f x y   L

1 2

L L  giới hạn không tồn tại

( , ) ( , )lim ( , )

o o

x y x y f x y





VD 5 Cho hàm số f x y( , ) 22xy 2



 Chứng tỏ rằng

( , ) (0,0)lim ( , )

 không tồn tại

1.3 Hàm số liên tục

• Hàm số ( , )f x y liên tục tại 2

0( ,0 0)

M x y D  nếu

0 0

0 0 ( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

• Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập D   nếu nó liên tục 2

tại mọi điểm thuộc D



Chú ý

Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó

đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D

VD 6 Xét sự liên tục của

 

   

2 2

sin

; , 0,0 ,







x y



§2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1 Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1

Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở D   chứa2

điểm M x0( ,0 y 0)

Cố định y , nếu hàm số 0 f x y có đạo hàm tại ( , 0) x thì ta 0

gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm

số ( , )f x y tại ( ,x y 0 0)

Ký hiệu là:

x

f x y hay f x y x( ,0 0) hay f( ,x y0 0)

x



Trang 3

Vậy

0

0 0

0

( , ) ( , )

f x y





• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại ( ,x y là: 0 0)

0

0 0

0

( , ) ( , )

f x y





Chú ý

• Nếu ( )f x là hàm số một biến x thì f x f df



• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự



VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

f x y x  x y  y  xy tại ( 1; 2)

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của

2

1 ln

1

x z





 

VD 3 Tính các đạo hàm riêng của z cosx

y

 tại ( ; 4)

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f x y z( , , )e x y2 sinz



Ký hiệu: 2  

2 2

x

f

x

f

x x

   





 

 

2

2 2

y

f

y

f

y y

   





 

x y f xy  f x y f 2

y x

f f

y x

   













 ,

f

x y

f f

x y

   















b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số f x y x( , ), ( , )

y

f x y

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của ( , ) f x y



VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

f x y x e x y y tại ( 1; 1)

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn

2 có định nghĩa tương tự

VD 6 Cho hàm số ( , )x5y4x y4 5 Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm (5)3 2(1; 1)

x y

f  là:

A (5)3 2(1; 1) 480

x y

f   ; B (5)3 2(1; 1) 480

x y

C (5)3 2(1; 1) 120

x y

f   ; D (5)3 2(1; 1) 120

x y



• Định lý Schwarz

Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng ( , ) f  và xy f  yx

liên tục trong miền mở D   thì 2 f xy f yx

Hermann Amandus Schwarz

(1843 – 1921)



VD 7 Đạo hàm riêng (m n m 2n)2 ( 2)

x y x

z  m của ze 2x y là:

A ( 1) 2 n m n e2x y ; B ( 1) 2 m m n e2x y ;

C ( 1) 2 m m e2x y ; D ( 1) 2 n m e2x y

Giải Ta có 2 2

x y x x y

z  z 

/ 2 2x y x

z  e  //2 22 2x y

x

2

(m n ) ( 1) 2 2

x y

Trang 4

2.2 VI PHÂN

2.2.1 Vi phân cấp 1

a) Số gia của hàm số

Cho hàm số f x y xác định trong lân cận ( , ) S M( 0, )

của điểm M x y 0( ,0 0)

Cho x một số gia  và y một số gia y x  , khi đó hàm

( , )

f x y có tương ứng số gia:



b) Định nghĩa

• Nếu trong lân cận S M( 0, ) với số gia x  , y mà số gia  tương ứng có thể viết được dưới dạng: f

trong đó A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm ,

0( ,0 0)

M x y và hàm ( , ) f x y , không phụ thuộc x, y

thì đại lượng A x.  B y được gọi là vi phân của

hàm số ( , )f x y tại điểm M x y 0( ,0 0)

• Khi đó, ( , )f x y được gọi là khả vi tại điểm M x0( ,0 y 0)

Ký hiệu là: df x y( , )0 0    A x B y



Nhận xét

• Xét những điểm M x( 0 x y, 0 y) dịch chuyển

trên đường đi qua M song song Ox Khi đó 0   : y 0

/

0 0 0

x

 



0

y

 



Suy ra df x y( , ) f x y x/( , ). x f x y y/( , ). y

• Xét ( , )f x y  x df x y( , )  x dx  x

Tương tự, dy  y

Vậy df x y( , )f x y dx x( , ) f x y dy y( , )



c) Định lý

• Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận

nào đó của ( ,x y và các đạo hàm riêng này liên tục 0 0) tại ( ,x y thì ( , )0 0) f x y khả vi tại ( ,x y 0 0)

VD 8 Cho hàm f x y( , )x e2 x y  Tính (1; 1)y5 df 

VD 9 Tính vi phân cấp 1 của hàm z e x2ysin(xy2)

d) Tính gần đúng

Khi  x ,  y khá nhỏ, ta có

 0 , 0   0, 0 x 0, 0 y 0, 0

f x x y  y f x y f x y  x f x y y



Bài tập Tính gần đúng các số sau

 2  2

 3  3

2.ln 0, 09  0,99 



2.2.2 VI PHÂN CẤP CAO

Ký hiệu và công thức:

d f d df f dx  f dxdy f dy

a) Vi phân cấp 2

Giả sử ( , )f x y là hàm khả vi với , x y là các biến độc lập

Các số gia dx x dy,   tùy ý độc lập với ,y x y

nên được xem là hằng số đối với ,x y

Vi phân của hàm df x y được gọi là vi phân cấp 2 của( , ) hàm số ( , )f x y

Trang 5

Chứng minh

d f2 d df( )d f dx(x f dy y )

(f dx x f dy dx y )x (f dx x f dy dy y )y

(f dx x2 f dy dx xy ) (f dx xy f dy dy y2 )

f dx f dxdy f dy

Chú ý

• Nếu ,x y là các biến không độc lập (biến trung gian)

( , )

x   , x y   thì công thức trên không còn y( , )

đúng nữa Sau đây ta chỉ xét trường hợp ,x y độc lập



VD 10 Cho hàm số f x y( , )x y2 3xy23x y3 5 Tính vi phân cấp hai df2(2; 1)

VD 11 Tính vi phân cấp 2 của hàm f x y( , )ln(xy2)

b) Vi phân cấp n

0

.

k n k

n n

n x y k



Trong đó:

0

x y x

f f , 0

x y y

dx dy n 0dx n, dx dy0 n dy n



 Chương 1 Hàm số nhiều biến số Chương 1 Hàm số nhiều biến số

VD 12 Tính vi phân cấp 3 của hàm số f x y( , )x y3 2

Giải Từ công thức vi phân ta có:

• k  : 0 0 (3)3 3

y

C f dy  ;

• k  : 1 2

(3)

xy

C f dxdy  x dxdy ;

• k  : 2 2 (3)2 2 2

x y

C f dx dy xydx dy;

• k  : 3 3 (3)3 3 2 3

x

C f dx  y dx

Vậy d f3 18x dxdy2 236xydx dy2 6y dx2 3



2.3 Đạo hàm của hàm số hợp a) Hàm hợp với một biến độc lập

• Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với x y và , x y là những , hàm khả vi đối với biến độc lập t Khi đó, hàm hợp của biến t là ( )t f x t y t( ( ), ( )) khả vi Ta có:

( )t f x dx f y dy



VD 14 Tính ( )t với hàm số ( , )x y2 và

2

x t t y t

Giải ( )t f x/.dx f y/.dy



2 (3xy t t)t x (sin )t t 2 (6xy t 1) x cost



Tính trực tiếp như sau:

( )t (3t2t) sin2 t

( )t 2(3t t)(6t 1)sint (3t t) cost



2 (6xy t 1) x2cost

VD 15 Cho f x y( , )ln(x2y2), ysin2x Tính df

dx

Giải

df

dx

2x 2 sin 2y x 2x 2 sin 2y x





b) Hàm hợp với hai biến độc lập

• Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với , x y và , x y là những

hàm khả vi đối với hai biến độc lập ,  Khi đó, hàm hợp của 2 biến ,  là ( , )   f x( ( , ), ( , ))  y  khả vi Ta có:

/ f x x/ / f y y/ ,/ / f x x/ / f y y/ /

Trang 6

Vậy x, y  0 

F F



2.4 Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)

Hàm z x y xác định trên ( , ) D   thỏa phương trình z 2

( , , ( , )) 0, ( , ) z

F x y z x y  x y DD (*) được gọi là

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*)

Giả sử các hàm số ở trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*)

ta được:

FF z   FF z  



VD 16 Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình:

xyz x  Tính y z z x/, z y/

Giải Ta có ( , , )F x y z xyzcos(x  y z)

/

x

y

z





x

z

 

   , / sin( )

y

z

 



VD 17 Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình mặt cầu:

x y z  x y z  Tính /

y

z

Giải Ta có Fx2y2z22x4y6z 2

/

/ /

3

y

y z

z z





……….



§3 KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM HAI BIẾN 3.1 Công thức Taylor

Cho hàm số ( , )f x y có đạo hàm riêng đến cấp n 1

trong miền mở D chứa điểm M x y 0( ; )0 0 Giả sử N x( 0 x y; 0   và MN y) D  D

Đặt dx   x x x dy0,     y y y0

Khai triển Taylor hàm ( , )f x y ở lân cận điểm M là: 0

0

n

Trong đó,   (xx0)2(yy0)2



 Khai triển Maclaurin

Tại lân cận (0; 0)O , khai triển Maclaurin ( , )f x y là:

n

Trong đó, dx x dy,  , y   x2y2



 Các khai triển Maclaurin hàm 1 biến cần nhớ

1

2)

2

n

3)

n

4)

2 ! 4 ! 6!

n

5)

1! 3! 5! 7 !

n

Trang 7

3.2 Các ví dụ

VD 1 Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số

( , ) x

f x y y đến số hạng bậc hai

Giải Ta có:

• (1;1)f  ; 1

• df x y( , )f x y dx x( , ) f x y dy y( , )

y xlnydxxy dy x1 df(1;1)dy  ; y 1

d f x y f dx  f dxdy f dy

y xln2ydx22y x1( ln +1)x y dxdyx x( 1)y dy x2 2

d f2 (1;1)2dxdy2(x1)(y 1)



Vậy y x  1 (y 1) (x1)(y 1) O ( )2 ,

(x 1) (y 1)

VD 2 Khai triển Maclaurin của hàm số

f x y  x y đến số hạng bậc 4

Giải Ta có:

2!



VD 3 Khai triển Maclaurin của hàm số ze x2siny đến

số hạng bậc 5

Giải Ta có:

2

x

•

3! 5 !

Vậy 2



      



VD 4 Khai triển Maclaurin của hàm số z(1y)x2 đến

số hạng bậc 6

Giải Ta có:

ln(1 y)x xln(1 y)

1 2ln(1 ) 1 4ln (12 )

2

Do



z x y     x y O 



Nhận xét Từ công thức khai triển Maclaurin, ta có:

(0; 0)

Vậy d z6 (0;0) 180dx dy2 4360dx dy4 2



VD 5 Cho hàm

3

1

( , )

x y

f x y e  Tính vi phân d f7 (0; 0)?

Giải Ta có:

x y

1 ( y)  y y y y 

1

2

Trang 8

Số hạng bậc 7 trong khai triển là:

x y  x ydx dy  dx dy

Suy ra:

7 !d f dx dy 2dx dy

Vậy d f7 (0;0)5040dx dy3 42520dx dy6

……….



• Hàm số zf x y( , ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt là

cực trị) tại M x0( ,0 y nếu với mọi điểm ( , )0) M x y khá

gần nhưng khác M thì hiệu 0  f f x y( , )f x y( ,0 0)

có dấu không đổi

• Nếu   thì f 0 f x y được gọi là giá trị cực tiểu( ,0 0)

và M là điểm cực tiểu của 0 zf x y( , )

• Nếu   thì f 0 f x y được gọi là giá trị cực đại và ( ,0 0)

0

M là điểm cực đại của z f x y( , )

§4 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

4.1 Định nghĩa (cực trị địa phương)



VD 1 Hàm số

( , )

f x y x y xyx  



2

( , ) 0, ( , )

     nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O



a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z f x y( , ) đạt cực trị tại M x y và 0( ,0 0) tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:

• Điểm M x y thỏa 0( ,0 0) f x y x( , )0 0 f x y y( , )0 0  được 0 gọi là điểm dừng, M có thể không là điểm cực trị 0

4.2 ĐỊNH LÝ



b) Điều kiện đủ

Giả sử z f x y( , ) có điểm dừng là M và có đạo hàm 0

riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0

Đặt Af M x2( 0), Bf M xy( 0), Cf M y2( 0)

Khi đó:

• Nếu

2

0

A







 thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại M 0

• Nếu

2

0

A







 thì ( , )f x y đạt cực đại tại M 0



• Nếu ACB20 thì ( , )f x y không đạt cực trị tại M 0

• Nếu ACB20 thì ta không thể kết luận

Trang 9

• Trong không gian Oxyz ,

xét mặt cong S chứa

đường cong ( )C

• Chiếu S lên mpOxy

ta được miền D   2

và đường cong phẳng

( ) : ( , ) x y  0

4.3 Phân loại cực trị

D



• Khi đó, điểm P1 là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so S

với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

1

M  là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm D

( , )

f x y xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( ) )

• Tương tự, điểm P2( )C là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu M   là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc2 ( ) bởi ( ) : ( , ) x y  của hàm ( , )0 f x y



4.4 Cực trị tự do

Cho hàm số ( , )f x y xác định trên D

Để tìm cực trị của ( ,f x y , ta thực hiện các bước sau: )

• Bước 1. Tìm điểm dừng M x y bằng cách giải hệ: 0( ,0 0)

0 0

( , ) 0

x y

f x y

 

 



• Bước 2. Tính Af x y x2( ,0 0), Bf xy( ,x y0 0),

2 0

2

0

( , )

y

Cf x y  ACB

• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận



VD 2 Tìm điểm dừng của hàm số z xy(1 x y)

VD 3 Tìm cực trị của hàm z x2y24x2y 8

VD 4 Tìm cực trị của hàm số z x3y33xy 2

VD 5 Tìm cực trị của z3x y2 y33x23y2 2

VD 6 Cho hàm số 50 20

Khẳng định đúng là:

A z đạt cực tiểu tại M(2; 5) và giá trị cực tiểu z 39

B z đạt cực tiểu tại M(5; 2) và giá trị cực tiểu z 30

C z đạt cực đại tại M(2; 5) và giá trị cực đại z 39

D z đạt cực đại tại M(5; 2) và giá trị cực đại z 30



4.5 Cực trị có điều kiện (cực trị vướng)

• Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm

0( ,0 0)

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) x y  0

Nếu tại điểm M , hàm ( , )0 f x y đạt cực trị thì ta nói M0

là điểm cực trị có điều kiện của ( , ) f x y với điều kiện

( , )x y 0

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số ( , )f x y ta dùng

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange



VD 7 Tìm điểm cực trị của hàm zx y2 thỏa điều kiện:

x   y

Giải.x       y 3 0 y x 3 z x33x2

Ta có z 3x26x   0 x 2,x 0

• x      đạt cực đại tại điểm 2 y 1 z M 1( 2; 1)

• x     đạt cực tiểu tại điểm 0 y 3 z M2(0; 3)

Hình 5

a) Phương pháp khử

Từ phương trình ( , )x y  , ta rút x hoặc y thế vào0 ( , )

f x y Sau đó, ta tìm cực trị của hàm một biến

Trang 10

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , ta gọi x y

f

là nhân tử Lagrange

Để tìm cực trị, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1 Lập hàm phụ (hàm Lagrange):

( , , ) ( , ) ( , )

• Bước 2. Giải hệ:

0, 0, 0

x y

L L

L

  



  



  



Suy ra điểm dừng M x y ứng với 0( ,0 0)  0



• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M x y ứng với 0( ,0 0)  : 0

0

d L M L dx  L dxdy L dy

Các vi phân dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: ,

0 0

( )

( , )

)

1)

dx dy

y















• Bước 4.Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

 Nếu d L M 2 ( 0) 0 thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại M 0

 Nếu d L M2 ( 0)0 thì ( , )f x y đạt cực đại tại M 0

VD 8 Tìm điểm cực trị của hàm số ( , )f x y 2x y

với điều kiện x2y2 5

VD 9 Tìm giá trị cực trị của hàm số zx2y2 thỏa

điều kiện x2y23x4y

VD 10 Tìm điểm cực trị của hàm zxy thỏa điều kiện:

1



VD 11 Tìm cực trị của hàm số f x y( , )10x40y thỏa điều kiện xy 20 và ,x y  0

Giải Ta có: xy 20

 L 10x40y (xy400)

Điểm dừng:

x y

L xy



Vi phân cấp 2: 2 0; xy 1; 2 0

L  L   L 

d L2 40; 10 2dxdy

Điều kiện: d x y( , )ydxxdy

40; 10 0

d

   dx 4dy 0

d L2 40; 108dy2 0

Vậy M40; 10 là điểm cực tiểu của ( , )f x y



4.6 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)

Cho miền D   đóng có biên 2 D: ( , )x y  và 0 ( , )

f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có

thể không khả vi tại m điểm M1, ,M ) m

Giả sử biên  trơn, nghĩa là hàm  khả vi D

Để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của f trên D , ta thực

hiện các bước sau:

• Bước 1 Tìm các điểm cực trị tự do N1, ,N trong D n

(chỉ cần tìm điểm dừng)

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	780,48 KB