Công thức Newton

Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức Ví dụ 1.. Dạng khai triển Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau.. Đạo

NHỊ THỨC NEWTON ĐỊNH NGHĨA

Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:

n

k n k k n

k 0

C a - b (n 0, 1, 2, .)

=

Số hạng thứ k+1 là Tk 1 C ak n k kn - b

k n

n!

C

=

- , thường được gọi là số hạng tổng quát.

Tính chất

i) Ckn = Cn kn- (0£ k £ n)

ii) Ckn Ck 1n- Ckn 1 (1 k n)

+

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức

Ví dụ 1 Chứng minh đẳng thức Ckn +3Ck 1n- +3Ck 2n- +Ck 3n- =Ckn 3+ với 3£ k£ n

Giải

Áp dụng tính chất ta có:

k k 1 k 2 ( k k 1) ( k 1 k 2)

=Ckn 2+ +Ck 1n 2-+ =Ckn 3+

Ví dụ 2 Tính tổng S= C1430- C1530+C1630- C- 2930+C3030

Giải

Áp dụng tính chất ta có:

=C1329- C2929+C3030 =C1329

Cách khác:

Vậy 2C1430 C1530

2

Ví dụ 3 Rút gọn tổng:

Giải

Áp dụng công thức ta có:

( )

k 2006-k

2007 2007-k

k! 2007 k ! (2006 k)!1!

-=

- - = k! 2006 k !( 2007!- ) =2007.k! 2006 k !( 2006!- )

=2007Ck2006 với " =k 0, 1, 2, ., 2006

Suy ra:

Vậy S=2007.22006

II Khai triển nhị thức Newton

1 Dạng khai triển

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau

i) Khai triển (a+b)n hoặc (a- b)n

ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên

Ví dụ 4 Tính tổng S= C20070 - 2C12007 +2 C2 22007- 2 C3 32007 + +22006 2006C2007- 22007 2007C2007

Giải

Ta có khai triển:

Vậy S= - 1

Ví dụ 5 Rút gọn tổng S=C02007+3 C2 22007+3 C4 42007+ +32004 2004C2007+32006 2006C2007

Giải

Ta có các khai triển:

Cộng (1) và (2) ta được:

Vậy S=22006(22007- 1)

Ví dụ 6 Rút gọn tổng S= 32006.2C12007+32004 3 3.2 C2007 +32002 5 5.2 C2007+ +22007 2007C2007

Giải

Ta có các khai triển:

2007

(3 2)+ = 32007 0C2007+32006.2C12007+32005 2 2.2 C2007 + +3.22006 2006C2007 +22007 2007C2007 (1)

2007

(3 2)- = 32007 0C2007- 32006.2C12007+32005 2 2.2 C2007- +3.22006 2006C2007- 22007 2007C2007 (2) Trừ (1) và (2) ta được:

Vậy 52007 1

S

2

2 Dạng đạo hàm

2.1 Đạo hàm cấp 1

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu)

Hai khai triển thường dùng:

( )n 0 1 2 2 k k n n

1 x+ =C +C x+C x + +C x + +C x (1)

i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2)

ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp

Ví dụ 7 Tính tổng S=C130- 2.2C230+3.2 C2 330- +29.2 C28 2930- 30.2 C29 3030

Giải

Ta có khai triển:

1 x+ = C +C x+C x + +C x +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )29

C +2C x+ +29C x +30C x =30 1 x+ (2)

Thay x = – 2 vào (2) ta được:

( )29

Vậy S= - 30

Ví dụ 8 Rút gọn tổng S=C130+3.2 C2 330+5.2 C4 530+ +27.2 C26 2730+29.2 C28 2930

Giải

Ta có khai triển:

1 x+ = C +C x+C x + +C x +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )29

C +2C x+ +29C x +30C x =30 1 x+ (2)

Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:

( )29

( )29

Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:

Vậy S=15 3( 29- 1)

Ví dụ 9 Rút gọn tổng S=2008C20070 +2007C12007 +2006C20072 + +2C20062007+C20072007

Giải

Ta có khai triển:

(x+1)2007 =C02007x2007+C12007x2006 +C22007x2005+ +C20062007x+C20072007 (1) Nhân 2 vế (1) với x ta được:

( )2007

x x+1 =C20070 x2008 +C12007x2007+C22007x2006+ +C2006 22007x +C20072007x (2) Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

=(1 2008x) x+ ( +1)2006 (3) Thay x = 1 vào (3) ta được:

Cách khác:

Ta có khai triển:

(x+1)2007 =C02007x2007+C12007x2006 +C22007x2005+ +C20062007x+C20072007 (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

(2)

Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:

C +C +C + +C +C =2 (3)

2007C +2006C +2005C + +C =2007.2 (4)

Cộng (3) và (4) ta được:

Vậy S=2009.22006

Ví dụ 10 Cho tổng S= 2C0n +3C1n +4C2n + (n+ +1)Cn 1n- +(n+2)Cnn, với nÎ Z+

Tính n, biết S= 320

Giải

Ta có khai triển:

1 x+ =C +C x+C x + +C - x - +C x (1) Nhân 2 vế (1) với x2 ta được:

C x +C x +C x + +C - x + +C x + = x 1 x+ (2) Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

=2x 1 x( + )n +nx (1 x)2 + n 1- (3) Thay x = 1 vào (3) ta được:

n 1

Cách khác:

Ta có khai triển:

1 x+ =C +C x+C x + +C - x - +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )n 1

C +2C x+3C x + +nC x - = n 1 x+ - (2)

Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:

C +C +C +C + +C - +C =2 (3)

C +2C +3C + (n 1)C+ - - +nC = n.2- (4)

Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:

n 1

Vậy n= 6

2.2 Đạo hàm cấp 2

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến

n2 (không kể dấu)

Xét khai triển:

1 x+ =C +C x+C x +C x + +C - x - +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )n 1

i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

1.2C +2.3C x+3.4C x + (n 1)nC x+ - - = n(n 1)(1 x)- + n 2- (3)

ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:

( )n 1

Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:

1 C +2 C x+3 C x + +n C x - = n(1 nx)(1 x)+ + - (5)

Ví dụ 11 Tính tổng S=1.2C216- 2.3C163 +3.4C164 - 14.15C- 1516 +15.16C1616

Giải

Ta có khai triển:

1 x+ = C +C x+C x +C x + +C x +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )15

Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:

Vậy S = 0

Ví dụ 12 Rút gọn tổng S=1 C2 12007+2 C2 22007 +3 C2 32007 + +2006 C2 20062007 +2007 C2 20072007

Giải

Ta có khai triển:

1 x+ =C +C x+C x + +C x +C x (1) Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

( )2006

Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:

=2007x 1 x( + )2006 (3)

Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:

=2007(1 2007x)(1 x)+ + 2005 (4) Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được

Vậy S=2007.2008.22005

3 Dạng tích phân

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1

n+1 hoặc tăng dần từ

1

n+1 đến 1.

Xét khai triển:

1 x+ =C +C x+C x + +C - x - +C x (1)

Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:

a

-+

+

=

+

Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n

Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng bn 1 an 1 nn

C

Ví dụ 13 Rút gọn tổng 09 32 22 19 33 23 29 39 29 89 310 210 99

Giải

Ta có khai triển:

2

+

Vậy S 410 310

10

Ví dụ 14 Rút gọn tổng 0n 22 1n 23 2n 24 3n 2n n 1n 2n 1 nn

+

Giải

Ta có khai triển:

( )n 12 2 22 n 2 n 1 2

0

-+

Vậy S 3n 1 1

+

-=

Ví dụ 15 Rút gọn tổng sau:

Giải

Ta có khai triển:

2

100

1

1

-+

Vậy 3101

S

101

III Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton

1 Dạng tìm số hạng thứ k

Số hạng thứ k trong khai triển (a+b)n là Ck 1 n (k 1) k 1n- a - - b -

Ví dụ 16 Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển (2 3x)- 25

Giải

Số hạng thứ 21 là C 2 ( 3x)20 525 - 20 = 2 3 C x5 20 20 2025

2 Dạng tìm số hạng chứa x m

i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a+b)n là C ak n k kn - b = M(k).xf(k) (a, b chứa x)

ii) Giải phương trình f(k)= mÞ k0, số hạng cần tìm là k 0 n k 0 k 0

n

C a - b và hệ số của số hạng chứa xm là M(k0)

Ví dụ 17 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

18

ç + ÷

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển x 4 18 (2 x1 4x 1)18

( )18 k( )k

Số hạng không chứa x ứng với 18 2k- = Û0 k = 9.

Vậy số hạng cần tìm là C 2189 9

Ví dụ 18 Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển ( 2 )20

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển ( 2 )20

Số hạng chứa x37 ứng với 40 k- =37Û k = 3

Vậy số hạng cần tìm là - C x y203 37 3 = - 1140x y37 3

Ví dụ 19 Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển ( 2)10

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển (1 x+ +x2)10 = éë1 x 1 x+ ( + )ùû10 là C x (1 x)10k k + k Suy ra số hạng chứa x3 ứng với 2£ k £ 3

+ Với k = 2: C x (1 x)210 2 + 2 =C (x210 2+2x3+x )4 nên số hạng chứa x3 là 2C x102 3

+ Với k = 3: C x (1 x)103 3 + 3 có số hạng chứa x3 là C x103 3

Vậy số hạng cần tìm là ( 3 2 ) 3 3

Cách khác:

Ta có khai triển của (1 x+ +x2)10= éë1 x 1 x+ ( + )ùû10 là:

Số hạng chứa x3 chỉ có trong C x (1 x)102 2 + 2 và C x (1 x)103 3 + 3

+ C x (1 x)210 2 + 2 = C (x210 2+2x3+x )4 Þ 2C x210 3

+ C x (1 x)103 3 + 3 =C (x103 3+3x4+3x5+x )6 Þ C x103 3

Vậy số hạng cần tìm là 2C x210 3+C x310 3 =210x3

3 Dạng tìm số hạng hữu tỉ

i) Số hạng tổng quát trong khai triển (a+b)n là k n k k k mp qr

C a - b =C a b (a b, là hữu tỉ).

ii) Giải hệ phương trình 0

m

r q

ìïï Î

íï

ïïïî

¥

¥

¥

Số hạng cần tìm là k 0 n k 0 k 0

n

Ví dụ 20 Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển

10 3

2

Giải

Số hạng tổng quát trong khai triển

10

1 1

3

là

k k

k 2 3 10

Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa điều kiện:

k

3

ïïî

¥

¥

¥

+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ là 1 010 1

C

+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là 1 6 3 210 2625

C 2 5

Vậy số hạng cần tìm là 1

32 và

2625

4 Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton

Xét khai triển (a+bx)n có số hạng tổng quát là C ak n k k kn - b x

Đặt uk =C ak n k kn - b , 0£ k £ n ta có dãy hệ số là { }uk

Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: giải bất phương trình k

k 1

u

1

u + ³ ta tìm được k0 và suy ra uk 0 ³ uk 0+1³ ³ un. Bước 2: giải bất phương trình k

k 1

u

1

u + £ ta tìm được k1 và suy ra uk 1 ³ uk 1 1- ³ ³ u0. Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là max u , u{ k0 k1}

Chú ý:

Để đơn giản trong tính toán ta có thể làm gọn như sau:

Giải hệ bất phương trình k k 1 0

k

+

íï ³

ïî Suy ra hệ số lớn nhất là

k n k k n

Ví dụ 21 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 0,2x+ )17

Giải

Khai triển (1 0,2x+ )17 có số hạng tổng quát là C (0,2) x17k k k

Ta có:

5

ï

5(k 1) 17 k

-ïï

+ Với k = 2: hệ số là C (0,2)217 2 = 5,44

+ Với k = 3: hệ số là C (0,2)317 3 =5,44

Vậy hệ số lớn nhất là 5,44

Ví dụ 22 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

10

2x 1 3

Giải

Khai triển 1 2x 10 110(3 2x)10

çè ø có số hạng tổng quát là

k 10 k k k 10

10

3

Ta có:

k 10 k k k 1 9 k k 1

k 10 k k k 1 11 k k 1

ï

3(k 1) 2(10 k) 17 22

-ïï

Vậy hệ số lớn nhất là 104 6 4

10

27

5 Dạng tìm hệ số chứa x k trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (tham khảo)

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:

n

1 q

1 q

Xét tổng S(x)=(1 bx)+ m 1+ + +(1 bx)m 2+ + (1 bx)+ + m n+ như là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1=(1 bx)+ m 1+ và công bội q =(1 bx)+

Áp dụng công thức ta được:

Suy ra hệ số của số hạng chứa xk trong S(x) là 1

b nhân với hệ số của số hạng chứa xk 1+ trong khai triển

Ví dụ 23 Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển và rút gọn tổng sau:

Giải

Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có:

Suy ra hệ số của số hạng chứa x4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong (1 x)+ 16

Vậy hệ số cần tìm là C516 =4368

Nhận xét:

Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:

Ví dụ 24 * Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển và rút gọn tổng sau:

Ta có:

Đặt:

Suy ra hệ số của số hạng chứa x2 của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x2 của f(x), bằng tổng 2 lần hệ

số số hạng chứa x2 và 3 lần hệ số số hạng chứa x3 của F(x)

Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có:

Suy ra hệ số số hạng chứa x2 và x3 của F(x) lần lượt là C1013 và C1014

Vậy hệ số cần tìm là 2C1013 +3C1014 =12582075

Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:

Ví dụ 25 * Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau:

Giải

Ta có:

Đặt:

Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x), bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x2 của F(x)

Tổng F(x) có n số hạng nên ta có:

+

Suy ra hệ số số hạng chứa x và x2 của F(x) lần lượt là C2n 1+ và C3n 1+

Vậy hệ số cần tìm là C2n 1 2C3n 1 n(n 1)(2n 1)

6

Nhận xét: Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:

6

B BÀI TẬP Tính giá trị của các biểu thức

1)

M

2

M

ç

Rút gọn các biểu thức

5) M = Akn 1- +kAk 1n 1-- , với 2£ k <n 6) M = An 2n k++ +An 1n k++ , với 2£ k <n

= + + + + , với n³ 2

8) M =Ckn +4Ck 1n- +6Ck 2n- +4Ck 3n- +Ck 4n- , với 4£ k £ n

Rút gọn các tổng khai triển sau

9) S=C02n +C22n +C42n + +C2n2n

10) S=C12n +C32n +C2n5 + +C2n 12n

-11) S=C02003+3 C2 22003+3 C4 42003+ +32002 2002C2003

12) S=C42007+C62007+C20078 + +C20062007

13) S=22006 1C2007+22004 3C2007+22002 5C2007+ +2 C2 20052007

14) S=C1630+C1730 +C1830+ +C3030

15) S=C1530- C1630 +C1730- C1830 + - C3030

Rút gọn các tổng đạo hàm sau

16) S=C130- 2.2C230+3.2 C2 330- 4.2 C3 430 + - 30.2 C29 3030

17) S= 30C030- 29C130+28C230- +2C2830- C2930+C3030

18) S=2n.32n 1 0- C2n- (2n 1).3- 2n 2 1- C2n +(2n 2).3- 2n 3 2- C2n- C- 2n 12n

-19) S=C 31n n 1- +2C 32n n 2- +3C 33 n 3n - + (n 1)C+ - n 1n- 3 nC+ nn

20) S=C 2 3 2C 21 n 1n - + 2 n 2 2n - 3 +3C 23 n 3 3n - 3 + (n 1)C+ - n 1n- 2.3n 1- +nC 3n nn

21) S=2C2n +2.3C3n +3.4C4n + (n 1)nC+ - nn

22) S=2C22n- 2.3C 2 3.4C 22n3 + 2n4 2- (2n 1)2nC 2+ - 2n 2n 22n

-23) S=(n 1)nC 2- 0 n 2n - + +3.4Cn 4 2n- 2 +2.3Cn 3n- 2 2C+ n 2n

-24) S=C1n +2 C 3 3 C 32 2n + 2 3 2n + +n C 32 n n 1n

-25) S= n C 22 0 nn +(n 1) C 2- 2 1 n 1n - + +2 C2 n 2 2n- 2 +2Cn 1n

-Rút gọn các tổng tích phân sau

26) S C0n 22 1C1n 23 1C2n 2n 1 1Cnn

+

+

27) S a0 1a1 1a2 1 a99 1 a100

28) S C02007 1C22007 1C42007 1 C20042007 1 C20062007

Tìm số hạng trong các khai triển sau

29) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 x)- 25

30) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 x )- 2 25

31) Số hạng không chứa x trong khai triển

12

1 x x

ç + ÷

32) Số hạng không chứa x trong khai triển

12 28

33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển

21 3

3

Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

34) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

12

ç - ÷

35) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

12 5 3

1

x x

36) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển éêë1 x (1 x)+ 2 - ùúû8

37) Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển ( 2 3)10

38) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x2- x+2)10

39) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (1 x+ +3x )2 10

40) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển:

41) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển:

42) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 x) (x+ 10 +1)10

Từ đó suy ra giá trị của tổng ( ) ( )0 2 1 2 ( )10 2

43) Rút gọn tổng S=C C10 200 10 +C C110 209 +C C10 202 8 + +C C10 209 1 +C C10 010 20

44) Rút gọn tổng ( 0 ) (2 1 )2 ( 2006) (2 2007)2

Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển của các tổng sau

45) ( 3 )7

10 5

1

5 3

10

5

3

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của các tổng sau

49) (1 2x+ )21 50)

11

C HƯỚNG DẪN GIẢI

1)

2)

2

M

ç

ç

3) Pn - Pn 1- = n! (n 1)!- - =(n 1)!n (n 1)!- - - =(n 1)!(n 1)- - =(n 1)P- n 1-

4) Từ câu 3 ta có:

5)

6)

kA

+ +

7)

2

k

k 2 !

A

k 2 !

=ççè - ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø è+çç - ÷÷÷ø+ +çç -è - ÷÷÷ø= - .

8) M =Ckn +4Ck 1n- +6Ck 2n- +4Ck 3n- +Ck 4n

( k k 1) ( k 1 k 2) ( k 2 k 3) ( k 3 k 4)

Ckn 1 3Ck 1n 1- 3Ck 2n 1- Ck 3n 1

k k 1 k 2 ( k k 1) ( k 1 k 2)

1 1+ =C +C +C +C + +C - +C (1)

( )2n 0 1 2 3 2n 1 2n

Cộng (1) và (2) ta được 2n ( 0 2 4 2n)

10) Trừ 2 khai triển ( )2n

1 1- ta được S=22n 1 - 11) (1 3+ )2003+ -(1 3)2003 Þ S=22002(22003- 1)

12) (1 + 1)2007 + (1 – 1)2007 ( 0 2 ) 2007 2006 0 2

13) (2 1+ )2007– (2 1- )2007 ( 2007) 2007 2007

2007

2

+

-15

30

C

2

1 x+ =C +C x+C x +C x + +C x (1)

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

30 1 x+ = C +2C x+3C x + +30C x (2)

Thay x = – 2 vào 2 vế của (2) ta được:

17) S=1 18) S= n.22n

19) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (3 + x)n suy ra S= n.4n 1 -

20) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (2 + 3x)n suy ra S= 3n.5n 1 -

21) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (1 + x)n suy ra S=(n 1)n.2- n 2-

22) Tương tự 21) S=2n(2n 1)-

23) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (x + 1)n suy ra S=(n 1)n.2- n 2-

24) Khai triển (1 + x)n, đạo hàm, nhân với x rồi đạo hàm lần nữa, thay x = 3, S= n(1 3n).4+ n 2-

25) Tương tự 24) S=2n(1 2n).3+ n 2-

26) Khai triển (1 + x)n, tích phân từ 1 đến 2, S 3n 1 2n 1

=