a Chia đa thức - đơn thức: Lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức chia, ta đợc đa thức ở thơng là kết quả tìm đợc... 5 1 1 5 3 5 2 x x b Chia đa thức - đa thức: Lấy hạng
Trang 127 3 9
24 3 8
21 3 7
18 3 6
15 3 5
12 3 4
9 3 3
6 3 2
3 3 1
36 4 9
32 4 8
28 4 7
24 4 6
20 4 5
16 4 4
12 4 3
8 4 2
4 4 1
45 5 9
40 5 8
35 5 7
30 5 6
25 5 5
20 5 4
15 5 3
10 5 2
5 5 1
54 6 9
48 6 8
42 6 7
36 6 6
30 6 5
24 6 4
18 6 3
12 6 2
6 6 1
63 7 9
56 7 8
49 7 7
42 7 6
35 7 5
28 7 4
21 7 3
14 7 2
7 7 1
72 8 9
64 8 8
56 8 7
48 8 6
40 8 5
32 8 4
24 8 3
16 8 2
8 8 1
81 9 9
72 9 8
63 9 7
54 9 6
45 9 5
36 9 4
27 9 3
18 9 2
9 9 1
90 10 9
80 10 8
70 10 7
60 10 6
50 10 5
40 10 4
30 10 3
20 10 2
10 10 1
II Các phép toán đại số.
1 Quy đồng mẫu số hai phân số và quy đồng mẫu thức hai phân thức đại số a) Quy đồng mẫu số hai phân số.
Giả sử a, b, c, d là các số thực thì:
bd
bc ad d
c b
a± = ±
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đại số.
Giả sử A, B, C, D là các đa thức đại số xác định trên R ta có:
BD
BC AD D
C B
A± = ±
2 Nhân, chia hai phân số, phân thức đại số.
Giả sử a, b, c, d là các số thực và A, B, C, D là các đa thức đại số xác định trên R ta có:
Phân số Phân thức đại sốNhân
bd
ac d
c b
a =
D B
C A D
C B
A
.
=
Chia b a:d c = b a.d c = bc ad
BC
AD C
D B
A D
C B
A: = =
3 Nhân đơn thức - đa thức, nhân đa thức - đa thức.
* Nhân đơn thức - đa thức: A(B±C)=AB±AC
* Nhân đa thức - đa thức: (A+B)(C+D)=AB+AC+BC+BD
4 Chia đa thức - đơn thức, chia đa thức - đa thức.
a) Chia đa thức - đơn thức: Lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức
chia, ta đợc đa thức ở thơng là kết quả tìm đợc
2 2
3
5
1 1 5
3 5
2 5 : ) 1 5 3 2 (
x x x
x x
x
Phép toán:
1 5 3
2x3 + x2 − x− 5x2
Trang 25
1 1 5
3 5
2
x x
b) Chia đa thức - đa thức: Lấy hạng tử có luỹ thừa cao nhất của đa thức bị chia chia
cho hạng tử có luỹ thừa cao nhất của đa thức chia, lấy thơng vừa chia đợc nhân với đa thức chia đợc tích, lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tìm đợc ta đợc số d, hạ các hạng tử còn lại của đa thức bị chia rồi lấy hạng tử có luỹ thừa cao nhất chia cho đa thức chia, làm lại nh trên, cuối cùng ta đợc đa thức ở thơng là kết quả tìm đợc Nếu có d ta cộng thêm phần d vàosau
Ví dụ: ( 6 3 3 2 2 5 ) : 2 1 3 2 1 2 4 1
−
− +
=
−
− +
−
x x
x x
x x Phép toán:
5 2 3
6x3 − x2 + x− 2x− 1
4 0
1 2
5 2
0 0
x x
2 2
3 3
3 2 2
3 3
3 2 2
3 3
2 2
2 2
2
2 2
)
5
3 3
2
2 )
1
B AB A B A B A
B AB A B A B A
B AB B A A B A
B AB B A A B A
B A B A B A
B AB A
B A
B AB A
B A
+ +
= +
− +
−
=
−
+ +
+
= +
= +
2 3
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 6
4
4 6
4
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
B AB B
A B A A B
A
B AB B
A B A A B
A
CA BC AB C
B A C B
A
CA BC AB C
B A C B
A
CA BC AB C
B A C B
A
CA BC AB C
B A C B
A
+
− +
−
=
−
+ +
+ +
= +
− +
− + +
=
− +
+
−
− + +
= +
−
+ + + + +
= + +
Chơng II Phơng trình Hệ phơng trình
Bất phơng trình.
I Phơng trình.
Phơng trình bậc nhất một ẩn số Phơng trình bậc hai một ẩn số.
Trang 3∆ Phơng trình vô nghiệm
: 0
=
∆ Phơng trình có nghiệm kép
a
b x
2
−
=
: 0
>
∆ Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
a
b x a
b x
; '
b ac b
: 0 ' <
∆ Phơng trình vô nghiệm
: 0 ' =
∆ Phơng trình có nghiệm kép
a
b
x= − ':
0 ' >
∆ Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
a
b x
= +
=
+
c yb xa
c by ax
Phơng pháp giải: Sử dụng phơng pháp thế, phơng pháp cộng đại số.
Trang 4HoÆc tÝnh:
ca
ac ca
ca D
bc
cb bc
bc D
ba
ab ba
ba D
y
x
'' ''
'' ''
'' ''
c a ac D
D y
b a ab
b c cb D
D x y x
' '
' '
' '
' '
= + +
= + +
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
d z c y b x a
d z c y b x a
d z c y b x a
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông ph¬ng ph¸p tam gi¸c, ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng
Trang 5; '
b ac
a
b x a
b x
Trang 6y Cùng dấu với hệ số a y1 Cùng dấu với hệ số a y2 Cùng dấu với hệ số a
Chơng III Hàm Số Lợng Giác.
I Góc lợng giác
1 Các góc lợng giác có liên quan đặc biệt:
1 Cung đối nhau: α v (- à α)
( )( )( )
α α
α α
α α
cot cot
tan tan
sin sin
cos cos
π
α α
π
α α
π
cot cot
tan tan
sin sin
cos cos
π
α α
π
α α
π
cot cot
tan tan
sin sin
cos cos
= +
= +
−
= +
−
= +
4 Cung phụ nhau: α v ( à π2 - α)
α α
π
α α
π
α α
π
α α
π
tan 2
cot
cot 2
tan
cos 2
sin
sin 2
Trang 71
Trang 81 Công thức cộng
( )( )
cot cot
1 cot cot cot
7 cot
cot
1 cot cot cot
) 6 ( tan
tan 1
tan tan ) tan(
) 5 ( tan
tan 1
tan tan ) tan(
4 sin
cos cos sin ) sin(
3 sin
cos cos sin ) sin(
) 2 ( sin sin cos cos ) cos(
) 1 ( sin sin cos cos ) cos(
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a
b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
b a b a b
2 Công thức nhân
a) Nhân đôi
) 11 ( tan
1
tan 2 2 tan
) 10 ( sin
2 1 1 cos 2 sin cos
2 cos
) 9 ( cos
sin 2 2 sin
2
2 2
2 2
a
a a
a a
a a
a
a a a
3 1
tan tan
3 3
tan
13 sin
4 sin 3 3
sin
12 cos
3 cos 4 3
cos
2 3 3 3
x
x x
x
x x
x
x x
2 cos 1 tan
) 16 ( 2
2 cos 1 sin
) 15 ( 2
2 cos 1 cos
a a
a a
cos cos 3
3 sin sin 3 tan
19 4
3 sin sin 3 sin
18 4
3 cos cos
3 cos
3 3 3
x x
x x
x
x x
x
x x
Trang 94 Công thức tính sina, cosa, tana theo tan
2
a
.
) 23 ( 2
1
2
tan
) 22 ( 1
1
cos
) 21 ( 1
cos
26 )
sin(
) sin(
2
1 cos
sin
) 25 ( ) cos(
) cos(
2
1 sin
sin
) 24 ( ) cos(
) cos(
2
1 cos
cos
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
a
b a b
a b
−
=
b) Biến đổi thành tích.
( )( )( )
( )( )
) 36 ( ) 4 sin(
2 ) 4 ( cos 2 ) 4 sin(
2 cos
sin
) 35 ( )
4 cos(
2 sin
cos
) 34 ( )
4 cos(
2 sin
cos
33 sin
cos
) sin(
tan
tan
32 sin
cos
) sin(
tan
tan
) 31 ( 2
sin 2 cos 2 sin
sin
30 2
cos 2 sin 2 sin
sin
29 2
sin 2 sin 2 cos
cos
28 2
cos 2 cos 2 cos
cos
π α α
π α
π α
α
π α α
α
π α α
α
β
αα ββ
α
β α
β α β
α
β α β α β
α
β α β α β
α
β α β α β
α
β α β α β
α
−
= +
=
−
− +
=
+
− +
−
=
−
− +
=
+
III Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác.
*Tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác
Hàm số lợng giác Chu kỳ tuần hoàn
Trang 10Z k k x
∈ +
−
=
∈ +
=
, 2 và
, 2
π α π
π
Z k
Z k
∈ +
=
∈ +
=
, k2 arcsina -
x và
, k2 arcsina
x= ± α + 2 π , ∈ cosx=1 x=k2 π , k∈Z
1 cosx = − x= π +k2 π , k∈Z
Z
k∈ +
±
= arcsina k2 ,
0 cosx= x= +k2 , k∈Z
x= α + π , ∈
1 tanx= x= +k , k∈ Ζ
π
1 tanx= − x= − +k , k∈ Ζ
π
Z k k a
x= arctan + π , ∈
0 tanx= x=kπ , k∈ Ζ
a
x=
cot
Z k k
x= α + π , ∈ cotx=1 x= +k , k∈ Ζ
π
1 cotx= − x= − +k , k∈ Ζ
π
Z k k a arc
x= cot + π , ∈
0 cotx= x= +k2 , k∈Z
Trang 11Phơng trình có dạng:
0 )
2
0 )
1
= +
c bt at
b at
Ví dụ:
0 2
1 sin 5 sin
4
)
2
0 1 sin
x x
2 2
2 2 2
2 2
2
) sin(
sin cos cos
sin
cos sin
)
1
(
b a
c x
b a
c x
x x
b a
c x
b a
b x b a a
+
= +
⇔
+
= +
⇔
+
= +
+ +
⇔
α α
*) Ghi chú:
Vì ( ) ( ) 2 1
2 2
2 2
a a
và đặt: cosα
2
+b a
*) Điều kiện: Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 +b2 ≥c2
c) Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
Phơng trình có dạng:
) 2 ( 0 cos cos
sin sin 2x+b x x+c 2x=
a Cách giải: Chia hai vế cho sin 2x (hoặc cos 2x) Khi đó (2) trở thành:
0 tan
tan 2x+b x+c=
a
đặt t = tanx (2' ) → (2) ⇔ at2 +bt+c= 0
Giải t sau đó tìm x với t = tanx
d) Phơng trình đối xứng với sinx và cosx.
Phơng trình có dạng:
Trang 12) 3 ( 0 cos sin ) cos (sinx+ x +b x x=
=
4 cos 2 cos
2
1 cos
sin cos
x
t
c t
6 ( 2 hay bt2 + 2at− (b+ 2c) = 0Giải t sau đó tìm x với t = sinx + cosx (t ≤ 2)
( 2
3 2 sin
)1 ( 0 1 cos 2
x
x
dạng này có thể giải bằng cách tìm nghiệm của (1) rồi thế
vào (2) để tìm nghiệm của (2) Hoặc có thể giải và tìm nghiệm đồng thời (1) và (2) Kết hợpnghiệm ta đợc nghiệm của hệ đã cho
cot
)7(
3
32 tan
)5(
2
1 coscos )2 )4(
3
)3(1 sin
Trang 131 Khái niệm luỹ thừa.
a) Luỹ thừa với số mũ nguyên.
Luỹ thừa với số mũ nguyên dơng Luỹ thừa với số mũ nguyên âm
) (
; 1 ,
.
a
n n a a a
; 0 , 1
a
n n a
a n n
∀
=
≤ Ζ
;
)
; )
; )
(
;
n n n
n n n n
m n
m
n m m
n m n m
b
a b
a
e
b a b a d a
a
a
b
a a
c a
a a
n m a a a
c
n m a a a
b
n b a
n b a b a a
n m
n m
n n
n n
0 )
, 1
)
0 ,
0 , 0
c) Luỹ thừa với số mũ thực.
Chiều biến thiên 0a<>a1: hàm số luôn đồng biến;<1: hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị Đi qua các điểm (0 ; 1) và (1 ;a), nằm phía trên trục
hoành (y=a x > 0 , ∀x∈R)
II Hàm số lôgarit.
Định nghĩa: Hàm số ngợc của hàm số y =a x là hàm số lôgarit cơ số a và đợc kí hiệu là y= loga x (đọc là lôgarit cơ số a của x).
Trang 144) Hàm số lôgarit đồng biến khi a> 1, nghịch biến khi 0 <a< 1.
5) Nếu loga x1 = loga x2 thì x1 =x2 (x1> 0 ,x2 > 0)
6) Nếu a> 1 thì loga x> 0 khi x> 1, loga x< 0 khi 0 <x< 1 Nếu 0 <a< 1 thì loga x> 0khi 0 <x< 1, loga x< 0 khi x> 1
7) Hàm số y= loga x liên tục trên R*
2
( loga x x = a x + a x
* Định lí 3 Lôgarit cơ số a của thơng hai số dơng bằng hiệu giữa lôgarit cơ số a của
số bị chia và lôgarit cơ số a của số chia
2 1 2
x x
a a
log
log log = (với x> 0 , 0 <a≠ 1 , 0 <b≠ 1)
a b
b a
log
1 log
1 log
y
ln
1
Chiều biến thiên 0a<>a1: hàm số luôn đồng biến;<1: hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị Đi qua các điểm (0 ; 1) và (1 ;a), nằm phía bên trục tung
Trang 15n n
2 Một số định lí về giới hạn của dãy số.
*Định lí 1 (Điều kiện cần) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.
*Định lí 2 Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
*Định lí 3 (Điều kiện đủ) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy
số giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.
*Định lí 4 (Giới hạn của dãy số kẹp) Cho ba dãy số ( ) ( )u , n v n và ( )w n Nếu
*
Ν
∈
∀n ta có u n ≤v n ≤w n và limv n = limw n =A thì limu n =A
*Định lí 5 Nếu hai dãy số u n và v n có giới hạn thí ta có:
Trang 160 lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim lim
u u
v neu v
u v
u
v u v
u
v u
v u
n n n
n n
n n
n
n n n
n
n n
n n
*Định lí 6 Nếu q < 1 thì limq n = 0
3 Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q < 1
1
q
u u
u u
*Định lí 1 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
*Định lí 2 Nếu hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x→ a thì:
) ( lim
) ( lim ) (
) ( lim
) ( lim ).
( lim ) ( ).
( lim );
( lim ) ( lim ) ( ) ( lim
f x
f x
g neu x g
x f x
g
x f
x g x f x
g x f x
g x
f x
g x f
a x a
x a
x a
x
a x a
x
a x a x a
x a
x a
x a
x
*Định lí 3 (Giới hạn kẹp) Cho ba hàm số f(x), g(x) và h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với mọi điểm x của khoảng đó
( )x f( ) ( )x h x
a x a
x f
a
lại, nếu limx→a f(x)=∞ thì 0
) (
Trang 17c) Giới hạn một bên.
*Định nghĩa limx n =a thì lim f(x n) =L. Ta viết x a+ f x = L
→ ( ) lim hoặc x a− f x = L
0
) lim
x x x
u x a
0
) lim
x x x
u x b
1 Quy tắc cộng Một công việc đợc hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu
hành động này có m cách thực hiện, Hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất
kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.
2.Quy tắc nhân Một công việc đợc hoàn thành bởi hai hành đọng liên tiếp.Nếu có m
cách thực hiện thứ nhất vàứng với mỗi cách đó có ncách thực hiện hánh động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
II Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.
1 Hoán vị.
1 2
) 1 (
n
C k
Trang 18III Nhị thức Niu-Tơn
* Công thức nhị thức Niu-Tơn.
n n n n k
k n k n
n n
n n n
b C ab C b
a C b
a C a C b
n
k n
n n n n n
n n n
n n n
C C
C C C C
C C
C
1
1
0 1 1 ) 2
2 1 1 ) 1
3 2 1 0
1 0
− +
− +
− +
=
= +
a,Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trớc đợc kết quả của
nó,mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
b, Không gian mẫu Tập hợp kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không
gian mẫu của phép thử và kí hiệu làΩ ( đọc là ô-mê-ga )
2.Biến cố
Biến cố là tập hợp con của không gian mẫu.
Tập ỉ đợc gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Còn tập Ω đợc
gọi là biến cố chắc chắn.
3.Phép toán trên các biến cố
Tập Ω\A đợc gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
Tập A∪ B đợc gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tập A∩ B đợc gọi là giao của các biến cố A và B.
C= ∪ C là biến cố:"A hoặc B''
B A
V Xác suất của biến cố.
1 Định nghĩa cổ điển của xác suất.
Trang 19* Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố
A, còn n( )Ω là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
2 Tính chất của xác suất
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B)=P( ) ( )A.P B
Chơng VIII đạo hàm và KHảO SáT HàM Số
A Đạo hàm.
I Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
1 Đạo hàm tại một điểm.
a) Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số y= f( )x xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b) Nếu tồn tại giới hạn
x f x f x
c) ý nghĩa hình học của đạo hàm.
* ý nghĩa hình học Đạo hàm của hàm số y= f( )x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0 ;f( )x0 )
*Phơng trình tiếp tuyến Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f( )x
tại điểm M0(x0 ;f( )x0 ) là y−y0 = f'( ) (x0 x−x0) trong đó y0 = f( )x0 .
II Quy tắc tính đạo hàm.
1 Đạo hàm của một hàm số thờng gặp.
( )c ' = 0 (c là hằng số)
Trang 20( )
( )
( )x x
nx x
x
n n
2
1 ' '
1 '
' ' )' (
' ' )' (
' ' )' (
x v v uv
uv v u v u
uv v u v u
v u v u
v u v u
3 Đạo hàm của hàm số hợp.
x u
'
2 '
1 '
u
u u
u nu
2 '
' 1
'
' 2 '
1 '
x x
x
x x
x x
2 2
2 2
cot 1 sin
1 '
cot
tan 1 cos
1 '
tan
sin '
cos
cos '
u u
u
u u
u u u
u u u
2 2
2 2
cot 1 ' sin
' '
cot
tan 1 ' cos
' ' tan
sin ' ' cos
cos ' ' sin
e u e
x u
u u
( )
a x x
u u
u
u u
a
ln
' log
' ln
' '
=
=
5 Đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
a) Đạo hàm cấp cao.
( )x [f 1( )x]'
f n = n−
b) ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.
* Vận tốc tức thời của chuyển động.
( )t f ( )t
v = '
* Gia tốc tức thời của chuyển động.
Trang 21( )t =v'( )t = f ''( )t
γ
B ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số.
I Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1 Tính đơn điệu của hàm số.
Cho hàm số y= f( )x có đạo hàm trên K (K = (a ; b)) Với mọi x∈K thì
( )x f( )x
f > ⇒ + ' 0 đồng biến trên K
( )x f( )x
f < ⇒ + ' 0 nghịch biến trên K
3) Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
II Cực trị của hàm số.
1 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
*Định lí 1 Cho hàm số y= f( )x liên tục và có đạo hàm trên (a;b) và x0∈(a;b)
+ Nếu f'( )x > 0 trên (a ; x0), f'( )x < 0 trên (x ;0 b) ⇒ f( )x đạt cực đại tại x0
+ Nếu f'( )x < 0 trên (a ; x0), f'( )x > 0 trên (x ;0 b) ⇒ f( )x đạt cực tiểu tại x0
*Định lí 2 Giả sử hàm số y= f( )x có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) Khi đó:
+ Nếu f'( )x0 = 0, f ''( )x0 < 0 ⇒f( )x đạt cực đại tại x0
+ Nếu f'( )x0 = 0, f ''( )x0 > 0 ⇒f( )x đạt cực tiểu tại x0
3) Tính f ''( )x và f ''( )x i 4) Dựa vào dấu của f ''( )x i suy ra tính chất cực trị của điểm x i
III Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
* Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
1) Tìm x1,x2, ,x n trên đoạn [a ; b], tại đó bằng 0 hoặc f '( )x không xác
; , min
Trang 22* Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
1) Tìm x1,x2, ,x n trên đoạn (a ; b), tại đó bằng 0 hoặc f '( )x không xác
định.
2) Tính f( ) ( )x1 , f x2 , , f( )x n
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: M ( ) f( )x m ( ) f( )x
b a
; , min
IV Tính lồi, lõm, điểm uốn.
*Định lí Cho hàm số y= f( )x có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b)
( )< ∀ ∈( )⇒ +f '' x 0 , x a;b đồ thị lồi trên (a;b) ( )> ∀ ∈( )⇒
+ f '' x 0 , x a;b đồ thị lõm trên (a;b) ( )x
f ''
+ đổi dấu khi x đi qua x0 thì f( )x nhận M(x0; f(x0)) làm điểm uốn của đồ thị hàm số.
V Đờng tiệm cận.
1 Tiệm cận ngang.
Hàm số y= f( )x liên tục và có giới hạn limy lim f( )x y0
x
∞
→
∞
→ thì đờng thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số
2 Tiệm cận đứng.
Hàm số y= f( )x liên tục và có giới hạn
lim
, lim
; lim
0 0
0 0
+∞
=
−∞
=
−∞
= +∞
=
− +
− +
→
→
→
→
x f x
f
x f x
f
x x x
x
x x x
x
thì đờng thẳng x =x0 là tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số
3 Tiệm cận xiên
VI
Mục lục
phần đại số
Chơng I kiến thức cơ bản 1
I - Bản cửu chơng 1
II – Các phép toán đại số 1
III – Hằng đẳng thức 2
Chơng II phơng trình hệ ph– ơng trình bất ph– ơng trình 3
I – Phơng trình 3
II – Hệ phơng trình 3
III – Bất phơng trình 4
Chơng III hàm số lợng giác 5
