Hàm nào sau đây là hàm tuần hoàn, xác định chu kì cơ sở nếu có 41.. Liệu có hàm tuần hoàn không có chu kì cơ sở hay không?. Giới hạn của hàm số.. Hàm liên tục... Chứng minh phương trình
Trang 1Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin Học
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP HỆ KĨ SƯ TÀI NĂNG
Giới hạn dãy số
Tính giới hạn của dãy sau:
1 3 3 5 (2 1) (2 1)
n
u
n
u
3
n
x
n
u
5
1
1 ( 1)
n
n
k
u
k k
6 u113;u n1 12u n
8 1 1, n 1 1 1
n
u
9 1 k5, 1 k5 ;
10 u n n n!
n
11
!
n n
a
x
n
2
10
n
u
13 n 0,11 1
n
x
14
45
0, 454545 45
n
n
x
15
2
n n
n x
n
2 1 !!
2 !!
n
n x
n
!
x
n
18
!
n x
n
Chứng minh dãy sau hội tụ
19
n
x
20
n
x
n
Trang 221 1 1 1
ln
1 2
n
n
n
x
23 Cho dãy x n thỏa mãn:
1 2
1
n
Tìm lim xn
24 Cho dãy x n, yn thỏa mãn:
1 1
1 1
2
n
x
Tìm lim xn, yn
25 Cho dãy x n thỏa mãn:
1
1
0
2
n
x
Tìm lim xn
26 Cho dãy x n thỏa mãn: 1 1, n 1 1 1
n
u
Tìm lim xn
27 Cho dãy x n thỏa mãn: 2
,
u u u u Tìm lim xn
28 Cho dãy x n thỏa mãn: u113;u n1 12u n Tìm lim xn
29 Cho lim xn a, tìm 1 2
lim x x xn
n
30 Cho lim xn a, x n 0, tìm limn 1 2 .
n
x x x
Khái niệm hàm số
Tìm tập xác định
arcsin
1
x y
x
32 y log 1 2 cos x
33 arcsin log
10
x
34 Cho f x x, g x 2x Tìm TXĐ của f , g f g , g g , f f
Trang 335 Cho 2
1
x
x
Tìm f x
Hàm nào sau đây là hàm chẵn, hàm lẻ:
36 f x lnx 1x2
37 f x 3x x3
38 f x 2x 2x
39 ln1
1
x
f x
x
40 Hàm nào sau đây là hàm tuần hoàn, xác định chu kì cơ sở (nếu có)
41 f x Asinkx Bcoskx
42 sin 1sin 2 1sin 3
43 f x sinx2
44 f x sin2x
45 f x sin 2xsinx
46 Liệu có hàm tuần hoàn không có chu kì cơ sở hay không?
Giới hạn của hàm số Hàm liên tục
Tính giới hạn:
47 2 1/sin (2 )2
0
48 1/ 2
0
lim cos x
49 1/(1 cos )
0
lim cosh x
50
2
2 2
lim
x x
x x
51
2
2
2
lim
2
x
x
x x
52 lim 1/ 1
x x
x e
x
53
2
2
14 lim
2
x
54
2
2
14 lim
2
x
55
0
1 lim tanh
x x
56
2 2
0
sin 2 2 arctan 3 3 lim
ln(1 3 sin ) x
x
57
0
lim arcsin(3 ) sinh(2 )
x
58 lim ln 1 ln
x
x
59
0
cos 4 cos 5 lim
1 cos 3
x
x
0
1 tan 1 sin lim
sin
x
x
61
0
tan 2 3arcsin 4 lim
sin 5 6 arctan 7
x
62 2x3 3x2 1 O x 3
63
1
x O
64 lnx o x , 0
65
2
1
x
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số, xác định loại điểm gián đoạn:
Trang 466 f x( ) arctan 12
x
67 ( ) arcsin
sin 2
x
f x
x
68 f x( )3x/ (1x2)
69 ( ) 1ln1
1
x
f x
70 ( ) | |
arctan
x
f x
x
arctan(1 / )
x y
x
72 ( )f x ln ln(1x2)
73
( )
74 y (sin ) sinx 1
x
Tìm a để hàm liên tục:
75
(1 ) 1
( )
n
x
76
sinh
x x
Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất:
77 x 2x 1
78 x e x 2
79 x2arctanxa a; 0
80 xsinx1, 0 1
81 CMR: hàm số f x 1
x
liên tục trên 0,1 nhưng không liên tục đều trên khoảng đó
82 CMR: hàm số f x sin
x
liên tục và bị chặn trên 0,1 nhưng không liên tục đều trên khoảng
đó
83 CMR: hàm số f x sinx2 liên tục và bị chặn trên nhưng không liên tục đều trên ,
khoảng đó
84 Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước: 2, 1 1
4
x
x
85 Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:f x ln , 0x x 1
86 Kiểm tra tính liên tục đều của hàm số sau trên đoạn cho trước:f x sinx, 0 x
87 Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm: xsinx 1 / 2
88 Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm: 1
10x x
89 Chứng minh phương trình sau có đúng hai nghiệm: 2x 4x
Đạo hàm Vi phân
90 Tính f ' 0 biết
x
Trang 591 Tính f ' 0 ; f ' 0 biết
1/
x
f x
x
92 Tính f ' 0 biết 2
3 | | 2
93 Tính f ' x biết
2sin cotx sin2x
94 Tính f ' x biết
2
1 sin
x
f x
95 Tính n
f x biết: 2
1 4
f x
x
96 Tính 100
f x biết: 21
4
f x
x
97 Tính n
f x biết: 2
sin
98 Tính 100
f x biết:
2
1 ln 1
99
f f biết f x arctanx
100 Tính n
f x biết:
3 ( ) ln
3
x
x
101 Tìm:
2
sin
x
d x
sin cos
arcsin arccos
tan cot
105 CMR: hàm số
2
1 y=
1
x x
có 3 điểm uốn thẳng hàng
n
x y x y n
2
x y
108 Tìm trên đường cong y x3 điểm có tiếp tuyến song song với dây cung nối 2 điểm
1, 1 , 2, 8
109 Kiểm tra tính đúng đắn của định lý Rolle đối với hàm số: f x x 1x 2x 3
110 Giải thích tại sao định lý Cô-si không đúng với 2 hàm số: f x2, g x3 trên [-1,1]
111 CMR: tất cả các nghiệm thực của đa thức 1 2
2 !
d
n dx
1,1
Trang 6112 Cho đa thức Tre-bư-sep: x n n x
d
dx
CMR: tất cả các không điểm của đa thức trên đều dương
113 CMR: tất cả các nghiệm của đa thức 2 2
d
dx
114 CMR: | sinx sin | |y x y |
115 CMR: | arctanx arctan | |y x y |
116 CMR: a b lna a b, 0 b a
117 CMR:
3
6
x
119 CMR: 2
2
120 CMR:
1
e
121 Xác định giá trị trung gian c khi áp dụng định lý Lagrange vào hàm số
2
3
2 1
x x
f x
x x
trên đoạn [0, 2]
Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurint đến cấp n :
2 2
3
x x
e
3 2
x
x
x
2 2
2
4 2
1
1
x
x
129 f x xcosh 3 ,x n5
cosh , 5
1
2 2
1
1
x x
1
2
2
x
x
Tìm khai triển Taylor tại x đến cấp 0 n
0
137 f x ln 2 x1 , x 1 / 2,n3
-1
x
x
Trang 7139
2
0
3
1
x
0
x x
f x e x n
1
2
x x
2
x
Ứng dụng đạo hàm, tính giới hạn:
0
ln(1 ) lim
tan
x
x
144
/ 4
ln(tan ) lim
cot 2
x
x x
145
2
0
arcsin lim
cos sin
x
146
2 1
arctan( 1) lim
2
x
x
147
0
tan lim
arcsin ln(1 )
x
148
1/
1/
0
(1 ) lim
x x x
x e
0
lim arcsin x
x
x
150 1/ln(sinh )
0
x x
151 lim0 x 1 ln
lim 3 3x x
153
sin
0
lim sin
x x x
x x
154 lim n x3
x x e
155
0
lim
arcsin
1
lim arctan
x x x x
157 lim cos0 1/x2
158
1
1 lim
x x
x
x x
159
0
lim
tanh tan
160 lim tan xtan 2x
161
1/
lim tan
x x
x x
162
2
1/
0
arcsin lim
x x
x x
163
2
4 0
cos 1
2 lim
x
x x
x
164
0
arctan arcsin lim
tan sin
x
165
0
lim
ln(1 )
x
2 0
lim
x x
x x
167
arctan
3 0
ln(1 ) 1 lim
x x
x
168
sin
0
ln(1 ) 1 lim
arcsin sin
x x
169
3 0
sin lim
tan
x x
170
2 0
ln(1 ) arcsin lim
sin
x x
171
0
lim
tan
x
x x
172
/(1 )
0
sinh cos lim
x x x
173
1/3 2
0
cosh 2 (1 3 ) lim
/ 2 ln(1 tan ) arcsin
x
174
2 0
1 arcsin lim
sinh( ) ln 1 2
x x
0
sin arctan tan lim
(1 2 )
x x
Trang 8176
2 0
arcsin lim
x x
x xe
177
2
0
lim
x
178
2
0
lim
tan sin 2
x x
179
0
lim sin cosh sinh
x x
180
0
ln(1 sin ) 1 lim
x x
x
181
3
5 0
sin 1 sin1 lim
1 2 ln cos 1
x
x
182
3
2 0
1 4 lim
(1 / ) arcsin 2 2 cosh
x x
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho bởi tham số sau:
183 xt32t2t y, 2 3t t 3
184 xt33 , yt36 arctant
185
2 ,
186 x t sin ,t y 1 cost
187 xcostln tan( / 2),t ysint
188
2
,
189
1 ,
1
190
2
1 ,
191 x 12 ,y 1 3
xe t ye t
t
t
e
t
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho trong tọa độ cực sau:
194 r 2 cos
195 r 1 2 cos
196 rcos 3
197 r 1 tan
cos
r
199 rtan 2
200 r 1 tan
201 r2(1 cos )
Tích phân
Tính nguyên hàm bằng công thức cơ bản:
dx
x x
203
2
dx
x
204
30
dx 1
x
205
15
dx 2
x
206
2 2
dx
2x 5 x 3
207
4
1
xdx x
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
9
209
2
4 7
dx x
210
x
dx
211
3
x
dx
Trang 9212
dx
x x
1
x dx x
214
dx
215 a2 x dx2
216
2
x dx
Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:
217 3 cosx xdx
218 e dx x
219
2
arcsin x
dx x
arcsin x dx
221
2 22
dx
a x
222 cos ln x dx2
223
2 2
9
x dx x
224
2 2
x dx
x
Tính tích phân:
225
2
x
dx
226
dx
x
227 x2 2x 5dx
228
2
1
dx x
229
x
dx
230
7 1
dx
x x
1
x dx x
232
2 2
1 1
dx
233
3 2
dx
234 x x2 x 1dx
235
2
sin cos
dx
236
tan
dx x
237
dx
dx
239
1 2 1 2
dx
240 xarccos 5 x 1dx
241
cosn
dx x
242
2 2 n
dx
x a
Tính giới hạn của các dãy sau:
Trang 10243 1 2 ( 1)
245
246
247
1
2
1 /
k n
Tính các đạo hàm sau:
249
2
2 0
1
x
d
t dt dx
1
t x
d
e dt dx
251
cos
3 sin
cos
x
x
d
t dt
252
3
x
x
Tính giới hạn:
253
2 0 0
cos lim
x
x
t dt x
254
sin
0 tan 0 0
tan lim
sin
x
x x
tdt tdt
255
2 0
2
(arctan ) lim
1
x
x
t dt x
Tính các tích phân sau:
256
4
2
dx
x
257
1
cos(ln )
e
x dx x
258
1
1
1
x
259
1
0
260
/4
3 0
cos 2
x
dx
261
/6
2 0
cos
6 5 sin sin
x
dx
Trang 11262
/2
0
cos
7 cos 2
x dx x
263
0
sin
x dx
264
/4 6 0
tan xdx
265
/4 3
dx x
266
1 2
dx
267
1/3
2 0
cosh 3xdx
268
3
0
arcsin
1
x dx x
0
cos 2x sin x cos x dx
270
1
2 0
ln(1 )
x dx x
2
1/
1/2
1 x 1 /x e x x dx
272
1
0
arcsin xdx
273
e
dx
274 Xác định dấu của tích phân sau:
2
0
sin
275 Xác định dấu của tích phân sau:
2
0
sin x
dx x
276 Xác định dấu của tích phân sau:
1 2 1/2
ln
,
278 CMR:
1
0
1
n n
x dx x
/2
0
Ứng dụng tích phân xác định:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trang 12280
2
2
281
2
16 12( 1)
282 x4 y4 x2 y2
283 r 2 cos
Tính độ dài cung:
sin
1 cos
t
3
286 r a1cos
x
x
Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được
288 Khi quay
a b quanh Ox hoặc Oy
289 Khi quay
x
290 Khi quay
2
sin 0,
291 Khi quay r acos2 quanh trục gốc
Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay thu được:
292 Khi quay tan
293 Khi quay x2/3 y2/3 1 quanh Ox
294 Khi quay 2 2
x y quanh Ox
Tích phân suy rộng:
Tính tích phân suy rộng:
295
2
dx
296
dx
0
cos
x
298
3
1 (x 1)(x 2)dx
299
2 3 2
( 1)
x
dx
x x
300
dx
301
2 1
3
x
dx
302
dx
Trang 13303
2 0
1 cosh ( )x dx
304
6
dx
x x
305
0
1
306
2 1
1 (ln 1)dx
307
0
2
x
308
dx e
309
dx x
310
xdx
311
3
xdx x
312
2
ln
e
dx
313
2
dx
314
dx
315
dx
316
2 2 2 1
12 1
x
dx x
317
23/2 0
arctan 1
x dx x
318
4
dx
x
319
1
dx
320
2 2
dx
x
0
x
322
1
2
dx
323
x dx
324
2
dx
x x
325
2 2
dx
x x
Xét sự hội tụ:
326
dx
327
3 1
3
2 sin 3
xdx
328
2 1
arctan
2 2 ln
xdx
329
dx
Trang 14330
dx
1
x
1
1 cos
x
x
333
1
x
e dx x
334
3 1
1
dx
335
0
arctan
x dx e
336
3 3/
1
2 arctan 1
x
x dx e
337
2 1
sin
ln 2
xdx
338
1
sin xdx
x
0
ln 1
1
x
x dx e
340
2 0
2 9
x dx x
341
0
5 tan
dx
342
2 2 0
sin xdx
x
Tìm để tích phân hội tụ:
343
3/
1
1
344
0
arctan 3
x dx
x
345
2 1
1
2 dx
346
x dx
347
1
1
2 dx
0
ln 1
1
x
x dx
e
349
dx
350
3
1
1
x
dx
351
dx
352
1
0
1 cosh cos
x
dx
353 Tìm
1 2 0
cos lim
x x
t
t
Trang 15354 Tìm
4 0
3
1 lim
x
x
t dt x
355 Nếu tích phân
a
f x dx
hội tụ, liệu có thể suy ra lim 0
356 Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
0
sin x
dx x
357 Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
0
sin 1
p q
dx x
358 Xét tính hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: 2
0
cos x
Không gian Metric
359 Cho không gian metric ( , )X d Ta định nghĩa: 1 , ,
d x y
d x y
d x y
a CMR: d1 là một metric
b CMR: x n x theo d1 khi và chỉ khi x n x theo d
c CMR: X d đầy đủ khi và chỉ khi , X d đầy đủ , 1
2 Cho 2 không gian metric X d và 1, 1 X d Trên 2, 2 X X1X2 ta định nghĩa:
1, 1 , 2, 2 1 1, 1 2, 2
a CMR X d là không gian metric ,
b Cho X d và 1, 1 X d đầy đủ, cmr 2, 2 X d là không gian metric đầy đủ ,
3 Cho X C[0,1], xét 2 metric d x y , sup[0,1]| x t y t |; 1 1
0
a CMR: x n suy ra d x d1
n
x x
b Điều ngược lại có đúng không?
c CMR X d không đầy đủ , 1
4 CMR trong không gian metric ta có: A B A B
5 CMR trong không gian metric ta có: AB AB
6 Cho X C[0,1], xét metric d x y , sup[0,1]|x t y t | Giả sử: x0 C[ , ]a b Xét các tập sau:
Trang 16
CMR: M1 mở, M M đóng 2, 3 M M 2, 3
7 Trong C1[ , ]a b định nghĩa: p x1 |x a |sup[ , ]a b | 'x t |, p x2 sup[ , ]a b |x t |,
a CMR: p p p là các chuẩn trên 1, ,2 3 1
[ , ]a b
C
b CMR: p2, p không tương đương nhau 3
c CMR: p1, p không tương đương nhau 3
Hàm nhiều biến
Tìm miền xác định:
8 ( , )f x y 4x2 y2
1
( , ) x y
10 f x y( , ) ln(y24x 8)
11 ( , )f x y arcsiny
x
12 Tìm giới hạn hoặc chứng minh giới hạn không tồn tại:
13
( , ) (0,0)
1
x
14
2
( , ) (0,0)
3 lim
x y
x y
15
( , ) (0,0)
2 lim
x y
16
( , ) (0,0)lim
x y
xy
17
3
( , ) (0,0)lim
x y
xy
18
2 2
( , ) (0,0)lim
x y
x y
19
3 ( , ) (0,0)lim
x y
xy xy
20
2 2 ( , ) (0,0)lim
x y
21
4
( , ) (0,0)lim
x y
xy
22
6 ( , ) ( , )
6 lim
x y
( , ) (0,0)
1
xy
25
2 ( , ) (2,1)
4 lim
x y
29
Trang 17Hàm liên tục:
Khảo sát tính liên tục của hàm sau:
30
, ( , ) (0, 0) ( , )
0, ( , ) (0, 0)
x y
x y
31
2 2, ( , ) (0, 0) ( , )
, ( , ) (0, 0)
x y
32
33
2
sin( )
xyz
z
34
Đạo hàm - vi phân:
35 Cho hàm ( , ) x2 y3, tính (1,1)f x' , (0, 0)f x' , f y'(0, 0)
36 Cho
2 2 2
1
, tính f x y f x y x'( , ), ( , ).y'
37 Cho
2 2
( , )
f x y
'(0, 0)
x
f
38 CMR hàm f x y( , )e x siny thỏa mãn
39 CMR hàm ( , )u x t sin(x at) thỏa mãn
2
a
( , )
2
a t
2 2 2
a
41 Cho
( , )
xy
Tìm f xx''(0, 0)
42 Cho ( , )u x y (2x 3 )ln(y x 2 ).y Tìm
100
100f (1, 2)
x
43 Cho f x y( , ) x2 3xy y2 Tìm f x y( , ) x2 3xy y2 Tìm df x y ( , )
44 Cho f x y( , )e xy Tìm d f2 (1,1)
45 Cho ( , ) y
f x y
x
Tìm d f2 (1,1)
46 Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng A (1.03)2 (1.98)3
47 Tìm f của hàm hợp xy'' f u v( , ) u2 2 , ( , )v u x y xy v x y2, ( , )x 3y
Trang 1848 Tìm f của hàm hợp xy'' f u v( , )e uv, ( , )u x y xy y v x y2, ( , ) 2x y
49 Tìm df của hàm f x( 2 2 ,y e xy)
50 Tìm d f2 của hàm hợp f f u v( , ) 2uv u x y2; ( , ) xy 2 ; ( , )x v x y x2 y2
51 Tìm y x biết ' y x xác định bởi xy x2 y2 e xy
52 Tìm dz(1,1) biết z z x y , xác định bởi x3 2y3 z33xyz 2y 3 0, (1,1)z 2
53 Tìm z biết xy'' z z x y , xác định bởi x2 y2 z2 e x y z
54 Tìm
2z
x y
biết z z x y , xác định bởi xyz x2 y2 2z 3
55 Tìm đạo hàm của f x y( , ) xy23x y4 5 tại điểm M 1,1 theo hướng u (1, 2)
56 Tìm đạo hàm của f x y( , ) x3 3xy 4y2 tại M 1, 2 theo hướng của vecto tạo với chiều dương
Ox một góc 30o
57 Tìm đạo hàm của hàm f x y z( , , ) x3 2xy2 3yz2 tại M3, 3,1 theo hướng của vecto 2,1, 2
58 Tìm đạo hàm của hàm f x y z( , , ) x2 3yz 4 tại M1, 2, 1 theo hướng của vecto tạo với các
trục tọa độ những góc bằng nhau
59 Cho ( , )f x y ln(xyz) và điểm M1, 2, 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đạo hàm theo
hướng của hàm số tại M
Công thức Taylor, Maclaurint:
60 Cho hàm f x y( , ) x2 2xy và một điểm M(1,2) Tìm công thức Taylor của f tại M đến cấp 2
61 Tìm khai triển Taylor của 1
( , )
f x y
đến cấp 2 tại M(1,2)
62 Tìm khai triển Taylor cấp 3 của hàm số f x y , lnx y tại M(1,1)
63 Tìm khai triển Maclaurint của hàm số f x y , e x siny đến cấp 3
Cực trị
Tìm cực trị của hàm
64 f x y( , ) x2 xy y2 2x y
65 f x y( , ) x4 y4 x2 2xy y2
66 f x y( , ) 1 x2 y2
67 f x y( , ) 1 (x 1)2 (y1)2
68 f x y( , ) x2 y2 32 ln xy
69 f x y( , ) 2x4 y4 x2 2y2
