SKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPTSKKNSử dụng BĐT để giải PT_HPT
Trang 1SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT Dạng 1:Sử dụng bất đẳng thức để tạo ra sự sắp xếp vßng quanh Bài 1:Giải hệ phương trình
1 4
1 3 1 2
2 4 6 4
2 4 3 2 2
= + + +
= + +
= +
x z
z z z
z y
y y
y x
x
1
2
2
2
≥
= + y
x
1,Với y=0 khi đó x=z=0 vậy (x;y;z)=(0;0;0) là một
nghiệm của hệ pt
2, y>0 suy ra z>0 và x>0 dễ thấy x2 + ≥ 1 2x nªn x
x
x ≤ + 1
2
2 2
hay y x≤ theo bđt cosy ta có: y4 + + ≥y2 1 3y y4 2 1 3 = y2
+ +
3
3
1
≤
x z vậy x y z x≤ ≤ ≤ điều này chỉ x·y ra khi khi x=y=z=1 thử vào pt (2);(3) tho· m·n.Vậy hệ có nghiệm là
(x;y;z)=(0;0;0);(1;1;1)
Bài 2:Giải hệ pt:
=
−
=
−
=
−
1 1 1
x z
z y
y x
Do vai trß của x,y,z b×nh đẳng ta giả sử x y x z≤ ; ≤ ĐK:
≥ 1; ≥ 1; ≥ 1
Trang 2SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
+
=
+
=
+
=
) 3 ( 1
) 2 ( 1
) 1 ( 1
x z
z y
y x
Với x y≤ từ (1) và (2)⇒ ≤y z
Với x z≤ từ (2) và (3)⇒ ≤z y.Do đó x=y=z vậy tương
2
2
x= = =y z +
Bài 3:Giải hệ pt:
= + +
= + +
= + +
= + +
z y
x t
y x
t z
x t
z y
t z
y x
12 12 12 12
3 3 3 3
Do vai trũ của x,y,z,t hoán vị vòng quanh,không mất tính tổng quát giả sử x y x z x t≥ ; ≥ ; ≥
• ≥ ⇒ ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥
12 12
y x
≥ ⇒ ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥
12 12
z x
≥ ⇒ ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥
12 12
t x
Do đó x=y=z=t ta có ( )3x 3= 12x⇔ 3 (9x x2 − = 4) 0
⇔
=
=
4
9
0
3
2
x
x
⇔
±
=
=
3 2
0
x x
vậy nghiệm của hệ pt là
Trang 3SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
( ; ; ) = (0;0;0);( ; ; );(2 2 2 − − −2 2; ; 2)
3
2
;
3
2
);(-3
2
;
-3
2
;-3 2
Bài 4: Giải hệ pt:
+ +
=
+ +
=
+ +
=
3 1 3 1 3 1
2 3
2 3
2 3
x x z
z z y
y y x
2
tự ta cã y>0; z>0
Vai trò của x,y,z ho¸n vị vòng quanh giả sử x≥y;x≥z ta
≥ > ⇒ ≥ ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥
⇒ ≥ ⇒ =
tương tự ta chứng minh được y≥x từ đó ta suy ra x=y=z
Ta cã
1
3
Bài tập ¸p dụng:
Bài 1:Giải hệ pt:
=
−
=
−
=
−
1 4
1 4
1 4
2 2 2
x z
z y
y x
Bài 2:Giải hệ pt:
Trang 4SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
−
=
−
=
−
=
1 4 2
1 4 2
1 4 2
4 4 4
x z
z y
y x
Bài 3: Giải hệ pt
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 12 6
0 8 12 6
0 8 12 6
2 3
2 3
2 3
y y
z
x x
y
z z
x
Bài 4:Giải hệ pt:
+
=
+
=
+
=
1 1 1
2 2 2
x z
z y
y x
Dạng 2:Dự ®o¸n và chứng minh pt, hệ pt có nghiệm duy nhất
Bài1: Giải pt: x+ 3 + x= 3 ĐK: x≥ 0
+) Dễ thấy x=1 là 1 nghiệm của phương tr×nh v×
+) XÐt x>1 ta cã x+ 3 + x< + 1 3 + 1 3 = vậy pt kh«ng cã nghiệm lớn hơn 1
+)xÐt 0 ≤ <x 1 ta cã x+ 3+ x< +1 3+ 1 3= pt
Vậy pt cã nghiệm duy nhất x=1
Bài 2:Giải pt:
x− 22013+ x− 32014 = 1
Dễ thấy x=2 hoặc x=3 là nghiệm của pt.
Trang 5SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT +) XÐt x>3 ta cã x− 22013> 1 nªn pt kh«ng cã nghiệm
x sao cho x>3.
+) XÐt x<2 ta cã x− 32013> 1 pt kh«ng cã nghiệm x sao cho x<2.
+)XÐt 2<x<3 suy ra 0<x-2<1; 0<3-x<1
⇒ − < − < − ⇒ − + −
< − + − = − + − =
2013 2014
Vậy pt kh«ng cã nghiệm sao cho 2<x<3 vậy pt cã nghiệm x=2 hoặc x=3.
Bài 2: Giải hệ pt:
+ + +
−
=
−
=
+
) 2 )(
2001 )(
(
) 1
(
1
2000 2000
1999
1999
2
2
xy y x x y
y
x
y
x
ĐK:x≥ 0;y≥ 0 từ (1) ta suy ra x ≤ 1 ; y ≤ 1 nªn:
1
;
1 ≤ ≤
− x y
Do đó:x+y+xy +2001 =(x+1)(y+1)+2000>0
t×m được
= ± 1
2
2
của hệ pt là:( ; ) ( = 1 ; 1 )
x y
*Nếu x>y th× vế tr¸i (2) lớn hơn 0;vế phải
*Nếu x<y ta cã vế tr¸i của (2) nhỏ hơn 0;vế
là: ( ; ) ( = 1 ; 1 )
x y
Bài 3:Giải pt:
Trang 6SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
5 x− 1 + 3 x+ 8 = −x3 + 1
Dễ thấy x=0 là nghiệm của pt:
+)Nếu x<0 ta cã VP>1;VT<1 nªn pt v« nghiệm.
+)Nếu x>0 ta có VP<1;VT>1 nªn pt v« nghiệm.
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của pt.
Bài 4: Giải pt:
8 2 2 1
1
7 + = 2 + − +
+
x x
x x
Giải: ĐK: ≥ 1
2
2
1
6
+
+
> + 8 3
Vp
*Nếu x>2 ta cã vp> 2.2 2 + 2.2 1 8 − = + 3;Vt< + 8 3 =8+
3 và VT< + 8 3
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=2.
Bài 5:Giải pt:
6
2
8 3
6
=
−
+
Giải: ĐK: x<2 Bằng cách thử nghiệm ta thấy x=
2
3
là 1 nghiệm của pt.
*Với x<
2
3
2
8 3
−
+
−x x nên pt vô nghiệm.
*Với
2
3
<x<2 ta có 6
2
8 3
6
>
−
+
−x x nên pt vô nghiệm.
Vậy x=
2
3
là nghiệm của pt.
Bài 6:Giải hệ pt:
Trang 7SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
= +
−
= +
−
= +
−
2 2
2 2
2 2
2 4 5
2 4 5
2 4 5
x z z z
z y y y
y x x x
Ta đoán nghiệm của hpt:x=y=z=1 sau đó ta chứng minh x>1 hay x<1 hệ đều vô nghiệm.
*Nếu x>1 ⇒2=z5-z4+2z2x> z5-z4+2z2
⇒0>(z-1)(z4+2z+2) do z4+2z+2>0 nên z-1<0⇒z<1.
Với z<1⇒2=y5-y4+2y2z< y5-y4+2y2
⇒0<(y-1)(y4+2y+2) do y4+2y+2>0 nên y-1>0⇒y>1.
Với y>1⇒2=x5-x4+2x2y>x5-x4+2x2
⇒0>(x-1)(x4+2x+2) do x4+2x+2>0 nên x-1<0⇒
x<1.Vô lí.Tương tự với x<1⇒vô lí vậy x=1⇒
y=1;z=1
Dạng 3:Sử dụng ĐK có nghiệm của pt:
Bài1: Giải hệ pt:
= + + + +
= +
−
) 2 ( 0 1 2 2
) 1 ( 0 1
2 2
2
y y x x
xy y
Từ (2) ⇒(y+1)2=-x(x+2)≥ 0 ⇒-2≤x≤ 0Từ (1) ⇒
yx=y2+1 ta có y phải khác 0
⇒x=
y
y2 + 1
y
y y y
⇒ x ≥ 2 ⇒x≥2 hoặc x≤-2 mà -2≤ ≤x 0⇒x=-2⇒y=-1.
Bài 2:Giải hệ pt:
= + + +
= + +
= + +
0 1 2
0 2 2
0 2 4
2 2 2
y y xz
z yx x
z yz x
Ta có:2xz=-(y 2 +y+1)=- 0
4
3 2
1 2 <
+
Trang 8SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
Ta có:x(2y+1)=-2z2<0⇒x(2y+1)<0 (2)
Ta có:2z(2y+1)=-x<0⇒z(2y+1)<0 (3)
Từ (2) và (3) ⇒xz(2y+1)2>0 suy ra xz>0 (4).Từ (1) và (4) ⇒hệ đã cho vô nghiệm.
Bài 3:Giải hệ pt:
=
− +
= +
− +
) 2 ( 0 2
) 1 ( 0 3 4 2
2 2 2
3 3
y y x x
y y x
Từ (1) ⇔x3+1+2(y-1)2=0 mà 2(y-1)2 ≥0⇒x3+1≤0⇒x
≤-1
Từ (2)⇔x2(y2+1)=2y ⇒x2=y22 +1
y
(3) do đó y2+1≥2y
Mà y2+1>0 nên y22 +1
y
0
≤ Khi đó từ (3) ta có:x2 ≤1 (*)
Do x≤-1 nên x2 ≥1 (**) Từ (*);(**) ta có x2=1 mà
x≤-1⇒x=-1.Thay vào (1) ta được 2y2-4y+2=0⇔
(y-1)2=0 ⇔y=1 Vậy nghiệm của hệ pt (x;y)=(-1;1).
Bài 4:Giải hệ pt:
= +
= +
) 2 ( 1
) 1 ( 1
4 4
3 3
y x
y x
Từ (2) ta có:x4 ≤1;y4 ≤1 ⇒-1≤x≤1;-1≤y≤1
Vì x≤1 ⇒x3 ≤1 do đó theo (1) ta có y ≥0
y ≤1 ⇒ y3 ≤1 do đó theo (1) ta có x ≥0 ⇒0≤x≤1; 0
≤y≤1 mặt khác từ (1) và (2) ta có:x4+y4=x3+y3
⇒x3(1-x)+y3(1-y)=0 (3) mà x3(1-x) ≥0;y3(1-y) ≥0
=
−
=
−
0 ) 1 (
0 ) 1 (
3
3
x x
x x
⇔
=
=
=
=
0 1 1 0
y x y x
Bài 5:Giải pt: 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2=0
Trang 9SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
⇔5x2+2(4y+1)x+5y2-2y+2=0
∆ ,
x= (4y+1)2-5(5y2-2y+2)=-9(y-1)2 ≤0⇔
5
) 1 4 ( + = −
− y
Vậy nghiệm của pt (x=-1;y=1)
Bài 6: Giải hệ pt:
=
−
= + +
16 2
4
2
z xy
z y x
Ta có:
+
=
−
= +
2 16
4
2
z xy
z y
x
⇒x và y là hai nghiệm của pt
t2-(4-z)t+
2
16 +z2 =0 (1) ⇔2t2-2(4-z)t+16+z2=0
∆ ,
t=(4-z)2-2(16+z2)=-z2-8z-16=-(z+4)2 ≤0⇒z=-4
Vậy pt (1) có nghiệm kép.t1=t2=4 từ đó ta có nghiệm
của hpt là:
−
=
=
=
4 4 4
z y x
Bài 7:Giải hpt:
= +
−
− + +
= +
) 2 ( 0 4 4 3
) 1 ( 81 697
2 2
2 4
y x xy y x
y x
Giải:Từ (2) ⇔x2+(y-3)x+(y-2)2=0
∆ x=(y-3)2-4(y-2)2=(3y-7)(1-y) ≥0⇔1≤y≤
3
7
(3) Tương tự từ (2) ⇔y2+(x-4)y+x2-3x+4=0
∆ y=(x-4)2-4(x2-3x+4)≥0⇔x(4-3x) ≥0⇔0≤x≤ 4 (4)
Trang 10SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT
Từ (3) và (4) ta có:x4+y2 ≤(
81
697 3
7 ) 3
4 4 2 =
3
4
và y=
3
7
Mà x=
3
4
và y=
3
7
Không thoã mãn pt (2) vậy hệ pt
vô nghệm