SKKN sử dụng BĐT trong giải toán THCS

Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên.. Hơn nữa Toán học

A Phần mở đầu

I.Lí do chọn đề tài:

1.Cơ sở khoa học:

Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con ngời tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trờng phổ thông,

nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có đợc những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán

Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ Tiểu học đến Trung học Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn Toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh Hoá học, Vật lí, Tin học…vv,đặc biệt nó giúp cho họcvv,đặc biệt nó giúp cho học sinh phát triển t duy sáng tạo một cách tốt nhất

Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh

để giúp các em giải tốt các bài toán về bất đẳng thức góp phần nâng cao t duy toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung

2 Cơ sở thực tiễn

Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải loại toán này nh thế nào

Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này

Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông

Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình Đối với học sinh sẽ khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp các em có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán

Với bản thân mình, tôi xây dựng thành kinh nghiệm về : “ Sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS”

II Mục đích nghiên cứu

Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp

10 THPT

Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

III Phơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức

- Thông qua nội dung phgơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập đề nghị

IV Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:

- Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS

- Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS

B Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

I Định nghĩa:Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, kí hiệu là : a > b nếu a – b > 0; số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b nếu a – b < 0

II Tính chất:

1 a > b  b < a

2 a < b, b < c  a < c ( tính chất bắc cầu)

3 a < b  a + c < b + c ( tính chất đơn điệu)

4 a < b, c < d  a + c < b + d ( cộng hai vế của một bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều với chúng)

5 a < b, c > d  a – c > b – d ( trừ hai bất đẳng thức ngợc chiều ta

đợc một bất đẳng thức có chiều là chiều của bất đẳng thức bị trừ)

6 Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b với cùng một số m thì

A < b . , 0

a m b m m

a m b m m



 



7 Nhân hai vế của hai bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều : 0 < a < b, 0 < c < d  a.c < b.d

8 a > b > 0  an > bn ; 0 > a > b  an+1 > b2n+1 và an < b2n

9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số : m > n > 0; a >1  am > an ; am < an

với 0 < a < 1

10 Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức ta đợc một bất đẳng thức

đổi chiều: a b 1 1

a b

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ điịnh nghĩa và các tính chất trớc đó

III Một số Bất đẳng thức cần nhớ:

1 a2k  0 với mọi a ( k nguyên dơng) Dấu “ =” xảy ra khi a = 0

2 a   0, a Dấu “ =” xảy ra khi a = 0

3 a b a  b Dấu “ =” xảy ra khi ab  0

4 - a  a a Dấu “ =” xảy ra khi a = 0

5 a b a  b Dấu “ =” xảy ra khi ab 0 và a b

6 a  b; ab  0  a 1

b

 Dấu “ =” xảy ra khi a = b

7 a b 2

ba với a, b cùng dấu, Dấu “ =” xảy ra khi a = b

8 Bất đẳng thức Cauchy:

+) Đối với hai số dơng a, b bất kì:

2

a b

ab



 hoặc a2 + b2  2ab

Dấu “ =” xảy ra khi a = b

+) Đối với mọi ai  0; I = 1,…vv,đặc biệt nó giúp cho học,n Ta có : 1 2

1 2

n

a a a

a a a n

  



Dấu “ =” xảy ra khi ai = 0

9 Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki:

Nếu (a1, a2, …vv,đặc biệt nó giúp cho học , an) và ( b1, b2, …vv,đặc biệt nó giúp cho học , bn) là những số tuỳ ý, ta có:

(a1 + a2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học + an ).(b1 + b2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học +bn )  (a1b1 + a2b2 + …vv,đặc biệt nó giúp cho học + anbn )2

Dấu “ = “ xảy ra khi i j

a a

b b

10.Bất đẳng thức Trêbsep :

+) Nếu 1 2

1 2

n n

a a a

b b b







thì: n.(a1b1 + a2b2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học + anbn)  ( a1 + a2 + …vv,đặc biệt nó giúp cho học+ an).( b1 + b2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học + bn)

Dấu “ = “ xảy ra khi ai = aj hoặc bi = bj.

Nếu 1 2

n n

a a a

b b b







Thì : n.(a1b1 + a2b2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học + anbn)  ( a1 + a2 + …vv,đặc biệt nó giúp cho học+ an).( b1 + b2 +…vv,đặc biệt nó giúp cho học + bn) Dấu “ = “ xảy ra khi ai = aj hoặc bi = bj

Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý

- Khi chứng minh xong bất đẳng thức a  b ta phải xét trờng hợp dấu “ =

“ xảy ra khi nào

C các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

I- Ph ơng pháp 1 : Phơng pháp dùng định nghĩa:

a Nội dung phơng pháp:

Để chứng minh bất đẳng thức A > B ta chứng minh bất đẳng thức A – B > 0

b Kiến thức cần vận dụng:

- Các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

- Tổng quát: 2

   ( j = 2,…vv,đặc biệt nó giúp cho họcn) , i < j

- Các kĩ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế các bất đẳng thức

đúng hay điều kiện đúng của đề bài

c Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2  ab

Giải:

Xét hiệu: a2 + b2 – ab = (a2 + 1

4b2 – 2 1

2 ab) + 3

4b2 = ( a - 1

2b)2 + 3

4b2 0

đúng với mọi a,b vì ( a - 1

2b)2 0; 3

4b2 0 Dấu “ = “ xảy ra khi ( a - 1

2 b)2 = 3

4b2 = 0 suy ra a = b = 0 Vậy bất đẳng thức

đợc chứng minh

Từ bài toán trên ta có thể chứng minh cho bài toán tổng quát sau:

(an)2 + (bn)2  n. n

a b Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 < a  b  c Chứng minh rằng:

a b c b a c

bc a  a c b

Giải:

Xét hiệu: a b c b a c 1

bca a c b abc(a2c + ab2 + bc2 – b2c – ba2 – ac2)

(a c b c) (b a a b) (c b ac )

abc      

c a b a b ab a b c a b a b c a b ab c

abc        abc      

= 1 (a b b c c a)( )( ) 0(do0 a b c)

abc       

Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc b = c hoặc a = c

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 3: Cho a  b  c và x  y  z Chứng minh rằng : . . .

a b x y a xb y



Giải: Xét hiệu : . . . 1( 2 2 )

a b x y a x b y

a x a y b y b x a x b y

= 1( ) ( ) 1( )( )

4 a y a x  b x b y 4 x y b a ( do x  y và a  b )

Dấu “=” xảy ra khi x = y hoặc a = b

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

 Chứng minh tơng tự ta đợc bất đẳng thức :

.

a b c x   y z a xb yc z

 và ta có thể chứng minh tơng tự cho bài toán tổng quát

Bài 4: Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng:

A2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e)

Giải: Xét hiệu : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d + e)

= a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae

= 1

4( 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab – 4 ac – 4ad – 4ae)

= 1

4 [(a 2 + 4b 2 + 4ab) + ( a 2 + c 2 + 4ac) + ( a 2 + 4d 2 + 4ad) + (a 2 + 4e 2 + 4ae)]

= 1

4[( a + 2b)2 + (a + 2c)2 + (a + 2d)2 + ( a + 2e)2]  0

Do (a + 2b)2  0; (a + 2c)2  0 ; (a + 2d)2  0 ; (a + 2e)2  0

Dấu “=” xảy ra khi b = c = d = e =

2

a

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 5: ( Tổng quát của bài 4)

Cho ai (i = 1,2,…vv,đặc biệt nó giúp cho học,n) là các số thực, chứng minh rằng : 2

1

2 1

n





Việc chứng minh tơng tự bài 4

d Bài tập đề nghị

Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

1 4x2 + y2  4xy

2 x2 + y2 + 1  xy + x + y

3 (x + y).( x3 + y3).( x7 + y7)  4( x11 + y11)

4 (x1996 + y1996 + x1996) : ( x1995 + y1995 + z1995)  ( x + y + z ) : 3

5 ( a3 + b3 + c3)  ( a + b + c).(a2 + b2 + c2) với a, b, c > 0

6 Cho các số dơng a, b, c Chứng minh rằng:

a)

3

1 1 1 ( )

a b c abc a b c

 

  

b)

6

a b b c c a a c b a c b

abc

c  a  b  b  c  a 

II Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi

t-ơng đt-ơng.

1 Nội dung phơng pháp:

Khi chứng minh một bất đẳng thức nào đó ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất dẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài

2 Kiến thức cơ bản:

- Các tính chất của bất đẳng thức

- Các bất đẳng thức thờng dùng

- Kỹ năng biến đổi tơng đơng một bất đẳng thức

- Các hằng đẳng thức đáng nhớ

3 Bài tập mẫu

Bài 1: Chứng minh rằng: x2 + 2y2 + 2z2  2xy + 2yz + 2z – 1 (*)

Giải: Ta có : x2 + 2y2 + 2z2  2xy + 2yz + 2z – 1

 x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2z + 1  0

 ( x2 – 2xy + y2) + ( y2 – 2yz + z2) + ( z2 – 2z + 1)  0

 ( x – y)2 + ( y – z)2 + ( z – 1)2  0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x, y, z

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: (a10 + b10).(a2 + b2)  ( a8 + b8).(a4 + b4) Giải: Ta có : (a10 + b10).(a2 + b2)  ( a8 + b8).(a4 + b4)

 (a10 + b10).(a2 + b2) - ( a8 + b8).(a4 + b4)  0

 a12 + a10b2 + a2b10 + b12 – a12 – a8b4 – a4b8 – b12  0

 ( a10b2 – a8b4) + (a2b10 – a4b8)  0

 a8b2 (a2 – b2) – a2b8 (a2 – b2)  0

 a2b2(a2 – b2)(a2 – b2)(a4 + a2b2 + b4)  0

 a2b2(a2 – b2)2.(a4 + a2b2 + b4)  0 luôn đúng với mọi a, b

Dấu “=” xảy ra khi a2 = b2  a = b hoặc a = - b và a = 0 hoặc b = 0

Vậy bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

 Nhận xét từ kết quả bài toán trên ta có bài toán tơng tự:

 Cho 0  a  b Chứng minh bất đẳng thức :

(a5 + b5)(a + b)  (a2 +b2)(a4 + b4)

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6)  -9

b Cho a  c  0 và b c Chứng minh: c a b(  )  c b c(  )  ab Giải:

a Nhận xét: 3 + 4 = 1 + 6 nên ta nhân (x – 1)(x – 6) và (x – 3)(x – 4)

c Ta có: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6)  -9

 (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 9  0

 ( x2 – 7x +6)(x2 -7x + 12) + 9  0

 ( x2 – 7x +6)(x2 -7x + 6 + 6) + 9  0

 ( x2 – 7x +6)2 + 6( x2 – 7x +6) + 9  0

 ( x2 – 7x +9)2  0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x

Suy ra : (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6)  -9

Dấu “=” xảy ra khi x2 – 7x +9 = 0  x = 7 13

2



c a c  c b c  ab  c a c  c b c  ab

 c a c(  ) c b c(  ) 2  c a c(  ) c b c(  ) ab

2

c c a c b c a c b c

2 (c a c b c) 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn đièu kiện của

đề bài Vậy c a b(  )  c b c(  )  ab với a  c  0 và b c

4 Bài tập áp dụng

1 Cho 0  x, y, z  1 Chứng minh:

a 0  x + y + z – xy – xz – yz  1

b X2 + y2 + z2  1 + x2y + y2z + z2x

y z x z z y 

2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

3 Chứng minh rằng với mọi x, y > 2 ta có:

X4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 > x2 + y2

4 Cho ba số a, b, c là ba số tuỳ ý trên đoạn [0,1] Chứng minh:

a a2 + b2 + c2  1 + a2b +b2c + c2a.

b 2(a3 + b3 + c3) – ( a2b + b2c + c2a)  3

bc ac ba 

III Ph ơng pháp 3 : Dùng tính chất của tỉ số

1 Nội dung phơng pháp:

Khi vận dụng các tính chất của tỉ số thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn

2 Kiến thức cần vận dụng:

- Với ba số dơng a, b, c

- Nếu a 1

b thì a a c

b b c





 Dấu “=” xảy ra khi a = b

- Nếu a 1

b thì a a c

b b c





 Dấu “=” xảy ra khi a = b

- Nếu b, d > 0 và a c a a c c

b d b b c d



 Dấu “=” xảy ra khi ad = bc

3 Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác:

Chứng minh rằng :

Giải: Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:

a, b, c > 0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b

Từ a + b > c c c c 2c c 2c

a b a b c a b c a b a b c



Chứng minh tơng tự ta có: b 2b ; a 2a

a c  a b c c  b b c a

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

b c a c aba b c  a b c  a b c  

b c a c ab a b ca b c  a b c  

b c a c b a

   (Đpcm)

Nhạn xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất : Với ba số dơng a, b, c:

Nếu a 1

b thì a a c

b b c





 Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 2: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng:

1( )



Giải:

Ta chứng minh: 1( )

a b a b

a b a b



Do a > 0 ta có 1



    Tơng tự ta có

b a b

b a b





Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:



1

a b a b

a b a b



Ta lại chứng minh:

a b a b

a b a b



Do a, b > 0 nên ta có ;

a a b b a b  Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta đợc:

a b a b

a b a b



    (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 1( )



4 Bài tập đề nghị

1.Chứng minh rằng : 2 2 4 6 2004 2004

3 3 5 7 2005 2005

   

   

2 Cho a, b là các số dơng thoả mãn a.b = 1 Chứng minh rằng:

a b



3 Cho x a m

y  b n chứng minh rằng : 2004 2005

2004 2005

IV Ph ơng pháp 4 : Phơng pháp phản chứng:

1 Nội dung phơng pháp:

Để chứng minh A  B ta giả sử A < B rồi suy ra một điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng bất đẳng thức rồi từ đó khẳng định A  B là đúng

2 Kiến thức cần dùng:

- Các tính chất của bất đẳng thức

- Các bất đẳng thức có sẵn

- Kĩ năng biến đối tơng đơng một bất đẳng thức

- Các hằng đẳng thức và các hằng bất đẳng thức

3 Bài tập mẫu

Bài 1: Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai: a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25

Giải: Giả sử cả ba bất đẳng thức:

a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25 đều đúng, khi đó: a(1 – b)b( 1 – c)c(1 – a) > 0,253 (1)

Mặt khác ta có: a(1 – a) = a – a2 = 0,25 – ( a2 – 2.a.0,5 + 0,25)

= 0,25 – ( a – 0,5)2  0,25 Suy ra : a(1 – a) 

0,25

Tơng tự ta có : b(1 – b)  0,25 ; c( 1 – c)  0,25

Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

A(1 – b)b(1 – c)c(1 – a) < 0,253 (2)

Ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong các bất đẳng thức sau: a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25 có ít nhất một bất đẳng thức sai

Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x, y, z mà có thể thoả mãn đồng thời

ba bất đẳng thức sau: x  y z y;  x z z;  y x

GiảI : Giả sử phán chứng cả ba bất đẳng thức trên không có bất đẳng thức nào sai, nghĩa là cả ba bất đẳng thức đó đều đúng Khi đó:

x  y z  x2 < (y – z)2  x2 - (y – z)2 < 0  (x – y + z)(x + y - z) < 0 Tơng tự ta có: ( y – x + z)(y + x – z) < 0 và (z – y + x)(z + y – x) < 0 Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

[(y – x + z)(y + x – z)(x – y + z)]2 < 0 vô lý

Vậy không có ba số x, y, z nào thoả mãn đồng thời cả ba bất đẳng thức :

x  y z y;  x z z;  y x

Bài 3: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện

0 0 0

a b c

ab bc ca abc

  









Hãy chứng minh rằng: a, b, c > 0 (*).

Giải: Giả sử (*) không đúng Nh vậy có ít nhất một trong ba số a, b, c phải 0 Không mất tính tổng quát giả sử a  0 Do abc > 0 nên suy ra: bc < 0

Xét trờng hợp a  0, b > 0, c < 0 Suy ra : a + c > 0

Từ giả thiết ta có: b > - a – c  b(a + c) < - (a + c)2

 ac + b(a + c) < ac – (a + c)2  ac + b(a + c) < - ( - ac + a2 + c2)

 ac + ba + bc < - (a – 0,5c)2 – 0,75 c2  0

Điều này trái với giả thiết ab + bc + ca > 0

Tơng tự đối với trờng hợp A 0, b < 0, c > 0 ta cũng suy ra điều vô lý

Vậy (*) đợc chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng và nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Giải:

Giả sử phản chứng a 0

b  ta có:

Suy ra điều phải chứng minh

4 Bài tập đề nghị

1 Cho ba số dơng a, b, c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai : a(2 – b) > 1 ; b(2 – c) > 1 ; c(2 – a) > 1

2 Cho a, b, c là ba số dơng thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

S = (a – 1 + b-1)(b – 1 + c-1)(c – 1 + a-1)  1

3 Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: 2 0

a

b ac









Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai: ax2 + bx + c  y ; ay2 + by + c  z ; az2 + bz + c  x

V Ph ơng pháp 5 : Phơng pháp quy nạp

1 Nội dung phơng pháp:

Có rất nhiều các bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì không thể chứng minh đợc Thờng các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những bất đẳng thức tổng quát, và để chứng minh các bất đẳng thức này ta dùng phơng pháp quy nạp

Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi n, bằng quy nạp ta thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Kiểm tra xem bất đẳng thức đứng với n  n0 nào đó ( thông thờng ta chọn n0 = 0 hoặc 1)

Bớc 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k

Bớc 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k +1

Bớc 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n

2.Kiến thức cần vận dụng:

-Các tính chất của bất đẳng thức

Kỹ năng biến đổi đẳng thức và bất đẳng thức

3 Bài tập mẫu:

Bài 1:Chứng minh rằng: [( a + b) : 2]n  ( an + bn ) : 2 với a + b  0 và n là số

tự nhiên

Giải:

+) Với n = 1 ta có ( a + b) : 2  (a + b) : 2 đúng

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, tức là [(a + b)2 : 2]k  ( ak + bk) : 2 +) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Tức là : [(a + b) : 2]k+1  ( ak+1 + bk+1) : 2

Thật vậy:

Xét [(a + b) : 2]k+1 = [(a + b) : 2]k [(a + b) : 2]  [(ak + bk) : 2].[(a + b) : 2]

Ta chứng minh:

(ak + bk).(a + b)  2(ak+1 + bk+1)  ak+1 + bk+1 + akb + abk  2( ak+1 + bk+1)  Ak+1 + bk+1 – akb – abk  0  ( a – b)( ak - bk)  0 (*)

Nếu a, b  0 thì (*) đúng

Nếu a  0  b a – b  0 Mà a + b  0 (gt) a  - b => a b

 ak  bk =>ak – bk  0 => (*) đúng

Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a  0  b ta đợc (*) đúng

Do a+ b  0 nên a,b không cùng <0

Vậy (*) đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đè bài

Vậy bất đẳng thức [(a+b):2]n  ( an + bn ) : 2 với a+b 0 và n  N đợc chứng minh

Bài 2: Cho tam giác vuông a,b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của tam giác đó Chứng minh rằng: b2n + a2n  c2n

Giải: + Với n 1 theo định lý Pitago ta có b2 + a2 = c2 Bất đẳng thức đúng + Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k tức là b2k + a2k  c2k

+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k+ 1 hay b2k+1 + a2k+1  c2k+1

Thật vây: ta có c2(k+1) = c2k+2 = c2k c2  ( a2k + b2k ) ( a2 + b2)

= a2k+2 + a2k b2 + b2k a2 + b2k+2  a 2k+2 + b2k+2

=> b2(k+1) + a2(k+1)

 c2(k+1) (đpcm)

4 Bài tập đề nghị:

Bài 1: a Chứng minh rằng với n 3 ta có 2n > 2n + 1

b Chứng minh 1.2.3…vv,đặc biệt nó giúp cho học.n < 2-n (n+1) n

c  n  1, chứng minh 1 1 1 1 2 1 2

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a 2n+2 > 2n + 5 với  n  1, n  N

b [(n + 1) !]n  2!.4! (2n)! với  n, n  N*

c (2n)! < 22n(n!)2 với  n, n  N*

VI Ph ơng pháp 6 : Dùng bất đẳng thức trong tam giác

1 Nội dung phơng pháp

Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất đẳng thức ta phảI sử dụng cả các tính chất khác đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác

2 Kiến thức cần vận dụng

- Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có a, b, c > 0

- a c b a c b c;    a b c b a;    c b a.

- Một số quan hệ khác trong tam giác

3 bài tập mẫu

Bài 1: Cho a, b, c là đọ dài ba cạnh trong một tam giác Chứng minh rằng: (a + b + c)2  9bc Biết a  b  c

Giải: Ta có a + b + c  2b + c do a  b Ta chứng minh ( 2b + c)2  9bc (1) (1)  4b2 + 4bc + c2  9bc  4b2 – 5bc + c2  0  4b2 – 4bc – bc + c2

 0

 4b(b – c) – c(b – c)  0  ( b – c)( 4b – c)  0 (2)

Ta thấy b c suy ra b – c  0 và 4b – c  a + b – c + 2b  0 Vậy (2)

đúng

Do đó bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, hãy chứng minh:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Giải: Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên ta có :

0 < a < b + c  a2 < ab + ac Tơng tự ta có : b2 < ba + bc ; c2 < ca + cb

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (Đpcm)

1.22.3 n n(  1)

b, 1 12 12 12 2 1

Bài 3: Chứng minh 2 2 2

a  a  na  Trong đó 1 1 1 *

2 3

k

k

Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:

2 n 1n 2 nn  4

VII- Ph ơng pháp 7 : Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

1 Kiến thức cơ bản

Các kỹ năng biến đổi BBất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b 0

2

ab

ab

 Dấu “=” xảy ra khi a=b

Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a1, a2,…vv,đặc biệt nó giúp cho học , an

1 2

.

n

n

a a a n

 Dấu “=” xảy ra khi a1=a2=…vv,đặc biệt nó giúp cho học =an

2 Bài tập mẫu

Bài 1: Cho n số dơng a1, a2,…vv,đặc biệt nó giúp cho học.,an và a1.a2…vv,đặc biệt nó giúp cho học.an=1

Chứng minh rằng : ( 1 + a1) ( 1+ a2) …vv,đặc biệt nó giúp cho học ( 1 + an)  2n

Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i = 1,2,3,…vv,đặc biệt nó giúp cho học.,n ta đợc:

( 1 + a1) 2 a1, ( 1 + a2) 2 a2 ,…vv,đặc biệt nó giúp cho học…vv,đặc biệt nó giúp cho học , ( 1+ an)  2 a n

Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc:

(1+a1) ( 1+a2)…vv,đặc biệt nó giúp cho học(1+an)  2 a1.2 a2 2 a n

(1 ).(1 ) (1 ) 2n

n

     do a1 a2…vv,đặc biệt nó giúp cho học an = 1

Dấu “=” xảy ra khi 1=a1, 1=a2, …vv,đặc biệt nó giúp cho học., 1= an  a1a2  a n  1

Bài 2: Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a3 + 72 b3  18ab2

Giải: Do a, b 0 => 3a3, 9b3, 8b3  0

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 3a3, 9b3, 8b3 Ta đợc:

3a3+ 9b3+ 8b3 3 3 3 3 2

3 3a 9b 8b 18ab

Dấu “=” xảy ra khi 3a3= 9b3= 8b3  a b 0

Bài 3: Cho a>b>0 Chứng minh rằng 1 3

a

b a b



Giải: Ta thấy a=b+ ( a- b) do a > b => a – b > 0

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a – b, 1

b a b ta đợc:

3

Với a>b>0 ta có 1 3

a

b a b

 Dấu “=” xảy ra khi b=a-b= 1

b a b 1

0,5

b a

b a b

  a=2 và b=1 Bài 4: Cho các số a1, a2, …vv,đặc biệt nó giúp cho học., an thỏa mãn điều kiện : 0 <a  ai < b với i = 1, 2, , n

…vv,đặc biệt nó giúp cho học

Chứng minh rằng: ( a1 + a2+…vv,đặc biệt nó giúp cho học.+ an) (

)

2

n

n a b



Giải: Theo giả thiết ta có : 0 <a  ai < b => 2

a  ab a ab với i = 1,2, ,n

…vv,đặc biệt nó giúp cho học