SKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thứcSKKN Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của một biểu thức là bài
toán được sử dụng nhiều trong kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Nhưng phần lớn học sinh “không
tự tin” khi “gặp phải” bài toán này vì các em khó định hướng cách giải và đa số giáo viên chưa thực sự chú ý đến việc định hướng tìm lời giải bài toán này mà chỉ chú trọng đến việc đưa ra lời giải
Đã có một số tác giả đề cập đến vấn đề định hướng tìm lời giải bài toán này chẳng hạn như tác giả Trần Phương (Thể hiện qua bài viết “Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng Cô-si” trong tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 7/2004) hoặc tác giả Nguyễn Ngọc Khoa (Thể hiện qua bài viết “Sử dụng bất đẳng Cô-si trong bài toán cực trị” trong tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 7/2004) Tác giả Trần Phương đã đưa ra định hướng tìm lời giải là: dự đoán biểu thức đạt được giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) khi các biến bằng bao nhiêu rồi áp dụng các bất đẳng thức đúng để đánh giá sao cho đẳng thức trong các lần đánh giá đều phải xảy ra khi các biến bằng như dự đoán Còn tác giả Nguyễn Ngọc Khoa đã đưa ra định hướng tìm lời giải là: đưa vào các tham số rồi đánh giá một lần và chọn tham số hợp lí
Nhưng trên thực tế có những bài toán dạng này chúng ta không thể dự đoán được biểu thức đạt được giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) khi các biến bằng bao nhiêu; đồng thời phải đánh giá nhiều lần Khi đó nếu vận dụng các phương pháp đã biết thì rất khó có thể tìm được lời giải
Vì vậy tôi chọn đề tài: “Sử dụng tham số để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của một biểu thức” nhằm trao đổi với các
quý thầy cô giáo và các đồng nghiệp một kinh nghiệm của bản thân
Tuy nhiên, với khả năng có hạn của bản thân, việc khai thác đề tài có thể chưa đầy đủ và còn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các quý thầy
cô giáo và các đồng nghiệp!
B NỘI DUNG
I MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG
1 Bất đẳng thức Cô-si đối với n số không âm (n N*, n 2)
Với n số thực không âm a1,a2, ,a n , ta có
a a
Trang 2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n
Chú ý 1:
n
a a
ii)
n n n
n
a a
a a a
2
2 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với 2n số thực (n N*, n 2)
Với 2n số thực a1,a2, ,a n,b1,b2, ,b n, ta có
2 2 1 1 2 2
2 2 1 2 2
2 2
1 a a n b b b n a b a b a n b n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a b
a b
a
2 2 1
1 (Hai bộ số a1;a2; ;a n và
b1;b2; ;b n tỉ lệ với nhau)
Chú ý 2:
2 2 1 2 2
2 2 1 2
2 1
(**) a b a b a n b n a a a n b b b n
3 Với f(x) = ax2
+ bx + c (a 0), ta có
i) Nếu a > 0 thì hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất là
a
khi x =
a
b
2
ii) Nếu a < 0 thì hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là
a
4
khi x =
a
b
2
II SỬ DỤNG THAM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT (HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT) CỦA MỘT BIỂU THỨC
Bài toán 1 (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT Lê Hồng Phong, Nam
Định, năm học 2009 – 2010)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
4 1
Lời giải:
Điều kiện 1 4xx2 0 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
)
4
2 2
P
Suy ra P 1
0 0
4 1 ) 2 (
2
1
4 1 2
2 1
2
2
x x x
x x x
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1
Trang 3Nhận xét 1.1 Thường thì Giáo viên chỉ dừng lại ở cách giải này mà không dẫn dắt
học sinh tìm cách giải khác Nếu là một người hiểu sâu sắc về bất đẳng thức thì sẽ nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cô – si để đánh giá và tìm được lời giải sau:
Lời giải 2:
Điều kiện 1 4xx2 0 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có
2 2 1 2
4 1 1 ) 4
1 (
1 4
1
2 2
2
x x
x x
x x
2
1 2 2 1 2
2 2
0 0
4 1 1
1
2
x
x x
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1
Nhận xét 1.2 Nếu chúng ta hiểu sâu sắc về bất đẳng thức thì chúng ta phải giải
thích được tại sao trong lời giải 2, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai
số không âm 1 và 1 – 4x – x2
mà không áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
không âm khác, chẳng hạn là 2 và 1 – 4x – x2 Có một cách giải thích là dựa vào lời giải đầu chúng ta đã biết P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = 0 nên ta phải áp dụng bất đẳng thức Cô – si sao cho dấu bằng xảy ra khi x = 0 (Khi x = 0 thì 1 =
1-4x – x2) Nhưng một vấn đề quan trọng đặt ra là: “Nếu chưa dự đoán được P đạt
giá trị nhỏ nhất khi x bằng 0 thì ta có thể giải thích được tại sao lại áp dụng bất đẳng thức Cô – si như vậy hay không?” Câu trả lời như sau: (Đây chính là nội dung quan trọng nhất của đề tài)
“Điều kiện 1 4xx2 0 (*)
Với mọi x thỏa mãn (*), đưa vào tham số thực dương k và áp dụng bất đẳng thức
Cô – si ta có
) 4
1 ( 2
1 ) 4
1 ( 2 2
1 4
k x
x k k x
Suy ra
k
k x k
k x
k x
x k
k x
2
1 )
4 1 ( 2
1
Xét
k
k x k
k x
k x
2
1 )
Vì f(x) là một tam thức bậc hai (ẩn x) có 0
2
1
k
a nên f(x) đạt giá trị lớn nhất
1 2
) 1 (
2
k
Trang 4Do đó f(x) f( 2 k 2 ) (2)
Vậy P f( 2 k 2 )
Ta cần chọn số thực k sao cho đẳng thức ở (1) và (2) đồng thời xảy ra hay là tồn tại
x thỏa mãn
0
1 2
2
4
x
k k
x
x x k
Vậy chọn k = 1 và ta tìm được lời giải 2.”
Đi tìm lời giải của một số bài toán bằng cách làm tương tự:
Bài toán 2 (Đề thi HSG Tỉnh, lớp 12 năm học 2006-2007)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
5
x
2.1.1 Định hướng tìm lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D = 5; 5
Vì hàm số đó là hàm số lẻ trên D nên chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
5
x
y với x D
Đưa vào tham số thực dương k
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2
2 2
2
5 1
9 5
1
3 5
k x
k k
Suy ra
2 2
2
9
x x k
k x
k k
x
9
x x k
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
2
5 2
5 5
2 2 2 2
2 2
k (2)
Do đó
2
5
2 2
k
k
A
Chọn k sao cho tồn tại x D để đẳng thức ở (1) và (2) đồng thời xảy ra hay
2
3 4
3
2
5 3
2 5
5
1
5
3
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
x
k x
k k
k
k x
x x
k
x
k
k
( Vì k > 0 )
Trang 5Do đó chọn k = 3
2.1.2 Lời giải 1:
TXĐ của hàm số là D = 5; 5
Với mọi x D, áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2
5 3 1 3 5
1 3 3 5
8
2 x Suy ra 2
5
x
8 2 8
2x x x x (1.1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
8 8
2 2 2
x x x x (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra y 8 8 y 8
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2
Vậy maxy 8 ; min y 8
D
2.2.1 Định hướng tìm lời giải 2:
Đưa vào tham số thực dương l
Với mọi x D, ta có
5
2 2
1 3 5
2 2
1 3 5
l x x x l l x x
x
y
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
2
5 5
.
.
2 l x x l x x
Suy ra
5 2
1
l x
Hay
l x x l
l
A
2
5 3 2
1 2 2
5 x x
Đặt t x (t 0), khi đó
l t t l
l
t
f
A
2
5 3 2
1 )
2
2
1
2
l
l
thì f(t) là tam thức bậc hai (ẩn t) và đạt được giá trị lớn nhất khi
1
3
2
l
l
t Do đó ta cần chọn số thực dương l sao cho 0
2
1 2
l
l
hay l (0;1) và tồn
tại x thỏa mãn
Trang 6
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
1 9 1 5
1
3
5
l
l x
l x l
l
x
x
x
l
( Vì l (0;1) )
Vì thế chọn l sao cho
2
1 1
9
1
5
) 1
; 0 (
2 2
2
l
l
l
l
Do đó chọn l = 1
2
2.2.2 Lời giải 2:
TXĐ của hàm số đó là D = 5; 5
5 3
5
x
5 4
1
2 x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
2
5 4
1 5
4
1
.
2 x x x x
Suy ra
y x x x
Hay y 8 8 y 8
y= 8 chẳng hạn khi x = 2; y=-8 chẳng hạn khi x = -2
Vậy maxy 8 ; min y 8
D
Nhận xét 2.1
Tổng quát hóa bài toán 2 ta được bài toán 2.1
Bài toán 2.1 (Bài toán tổng quát của bài toán 2)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
( )
f x x a bx , trong đó a
và b là các số thực dương cho trước
(Tương tự cách tìm lời giải bài toán 2 ta tìm được lời giải bài toán 2.1)
Nhận xét 2.2
Đặc biệt hóa bài toán 2.1, chẳng hạn cho a=1993, b=1995 ta được bài toán 2.2
Bài toán 2.2 (Đề thi HSGQG lớp 12 năm 1993)
Trang 7Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
( ) 1993 1995
Bài toán 3 Cho các số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 2
y x
y x
3.1 Định hướng tìm lời giải:
Nếu x + y > 0, Ta đưa vào tham số n, n N*
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2
2 2
2
2 2 1
2 2
2 2 2
2 2 2
n n n x n
y n n
n n n
n x y
x
n số hạng n số hạng
1
2 2
n n
y x n y
x (3)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
n n y x n
n
y
x 1 2 2 1 2
n n y x n
n
y
2
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
n n y x n y
x2 2 2 2 8 1 2 (5)
Khi n > 1 từ (5) suy ra
n n
y x n
y
1 8
1 2
2
1 2 2
Ta cần chọn n N*, n 2 sao cho tồn tại x và y thỏa mãn x + y > 0 để đẳng thức ở
(3) và (4) đồng thời xảy ra hay
n n
n
A
n n y x n
y x y
x
y
x
2 1
8
1
2 1 8
2
2 2
2
Trang 8
3 3 2
2 1 2
2 1
2
2
2
2
n
y x n
n y x
n n
y
x
y n
n
n
n
x
Do đó chọn n = 3
3.2 Lời giải:
Nếu xy 0 thì A 0
Nếu x + y > 0 thì áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
3
2 3
4 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 2
3
6 2 3
2 2
x y x y (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
3
6 2 2
3
6 2
y x y
3
6 2 4
3
6
y x y
(7)
Từ (6) và (7) suy ra
x y xy
9
6 16 2
2 2
2
y x y
x
9
6 16
1 2
2
1
2
2
y x
y x y
x
y
x
9
6 16 2
2 2
2
32
6 3
9
6
16
1
Do đó
32
6 3
32
6
3
A chẳng hạn khi
3
6
y
Trang 9Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là
32
6 3 )
Nhận xét 3.1
Đặt u = -x và v = -y, biểu thức A trở thành
A 2 2 2 2 2 2 2 2
v u
v u v
u
v u
Áp dụng kết quả bài toán 3, ta có: A
32
6 3
32
6 3
A chẳng hạn khi
3
6
v
Do đó
32
6 3
32
6 3
A chẳng hạn khi
3
6
y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là
32
6 3
Từ đó ta có bài toán sau
Bài toán 3.1 Cho các số thực thay đổi x, y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
y x
y x
Nhận xét 3.2
Từ bài toán 1 và bài toán 3.1, ta có bài toán
Bài toán 3.2 Cho các số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2 2 2
y x
y x
Nhận xét 3.3
Tổng quát hóa bài toán 3.2, ta có bài toán 3.3
Bài toán 3.3 Cho các số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
x ay a
y x A
Trong đó a là số thực dương cho trước
Lời giải: (Tương tự cách tìm lời giải bài toán 1, ta có thể tìm được cách giải bài
toán 3.3)
Nếu xy 0 thì A 0
Nếu x + y > 0 thì áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
.
2
Trang 102 3
3 2
3 xy a
a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
3
3 2 2
3
3
y x
a y
3
3 2 4
3
3 2
2
a y x
a y
(2)
Từ (1) và (2) suy ra x y a axy
9
3 8 2
2 2 2
2 8
3 3
9
3
8
1
a
a a
a
3
3 y x
8
3
3
2
a a
a
Tương tự trên dễ dàng chứng minh được 2
8
3 3
a
a
A và
3
3 8
3 3 2
a y
x a
a
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2
8
3 3
a
a ; giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là
2
8
3
3
a
a
Nhận xét 3.4
Đặc biệt hóa bài toán 3.3, chẳng hạn cho a = 3 ta có bài toán 3.4
Bài toán 3.4 Cho các số thực thay đổi x, y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 3 2 3
y x
y x
Bài toán 4 (Sách: Đề thi 0LYMPIC 30-4 lần thứ IX năm 2003 Toán 10)
Cho các số thực dương thay đổi a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c b a
A 1 1 115 2 2 2 7 7 7
4.1 Định hướng tìm lời giải:
Vì vai trò b, c trong biểu thức A như nhau nên ta đưa vào tham số thực dương k và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2 22 2 2 2
c b
Trang 112 2
2 2
2
k
kc kb a c b
Suy ra
c k
k b
k
k a
k c
b a c
b
1 2
15 7
1 2
15 7
1 2
15 7
7 7 15
2 2
2 2
2
2
(1)
1
2
15
k
k
(*)thì lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
k b
k
k a
k
1 1 1 7 1 2
15 7
1 2
15 7
1
2
15
2 2
2
2 2
2
1 2
15 7
1 2
15 7
1
2
15
k
k k
k k
(2)
Suy ra
2 2
2
1 2
15 7
1 2
15 7
1 2
15
k
k k
k k
A
Chọn số thực dương k (thỏa mãn (*)) sao cho tồn tại các số thực dương a, b, c để
đẳng thức ở (1) và (2) đồng thời xảy ra hay
(I)
c
c k
k
b
b k
k
a
a k
k
c k
b a
1
7 1 2 15
1
7 1 2 15
1
7 1 2
15
1
2 2
2
2 2
1 2
15 7
1
2
15
b k
k a
k
ka c b
Thay b = ka từ đẳng thức đầu vào đẳng thức sau ta được
2 2
1 2
15 7
1 2
15
a k k
k a
2 2
1 2
15 7
1
2
15
k k
k
1 2 1 15 0
7
k k k (3)
Ta chứng minh được trên 0 ; phương trình (3) có nghiệm duy nhất k = 2 (thỏa
mãn (*))
Khi k = 2 hệ (I) trở thành
Trang 12a c b c b
a
c b
a
2 3
3
12
2
Vậy chọn k = 2
4.2 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
2 2 22 2 2 2
2 2 2
2
c b
c b a c b
a
c b a c b
a
4 3 7 7 7 2 2 5 7 7 7 15
2 2 3
2 2
2
2 2
2
c b a c b a c b a c
b
1 1 1 15 2 2 2 7 7 7 3 1 1 1 4 (3.1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có
1
1
c c
b b
a a c
b a c
b
Từ (3.1) và (3.2) suy ra A 48
48
A chẳng hạn khi a = 1, b = c = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 48
(Chứng minh trên 0 ; phương trình (3) có nghiệm duy nhất k = 2
Xét f(k) 15k3 7k2 1 2k2 1 15 với k0 ;
Ta có
1 2 2 3 14 1 2 45
784 327
2286
1 2 2 3 14 1 2 45
2 3 196 1 2 2025 2
3 14 1 2 45 1 2
1 2
2 3 14 1 2 45 1 2 2
1 4
1 2 2 7 45
)
(
2 2
2
2 4
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
3 2
2 2
2 2
2
'
k k
k k
k k
k
k k
k k
k k
k k k
k k k
k
k
k k k
k k
k k k
k k
k
f
Dễ thấy phương trình 2286x2 327x 784 0có hai nghiệm , thỏa mãn
1
0
Suy ra
2286 1
2 2 3 14 1 2 45
2286 )
(
2 2
2 2 2
2 2
2 2
'
k k
k k
k k
k k k
k k
k
k k
k k
' k k
Trang 13Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(k) trên 0 ; suy ra phương trình (3) có
nghiệm duy nhất k = 2)
Bài toán 5 (Bài T 3/338 trong tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 10/2009)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y x
P 3 8 trong đó x, y là hai số không âm thỏa mãn
0 9 90 72
17x2 xy y2 (*)
5.1 Định hướng tìm lời giải:
Đưa vào tham số thực k (k 0) và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki,
ta có
x k y
k y
k k x
2
3
8
Lại tiếp tục đưa vào tham số l (l 0) và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta
có
2 4 2
2 2
2
1
.
l
k ly
l
k x y
k
2
4 2
2 4
1
64
l
k k
Từ giả thiết (*), ta có 17x2 72xy 90y2 9
90 72
17x xy y y
l
Mà ( 3 ) 16x2 72xy ( 90 l2)y2 0 (5)
(5) đúng với mọi x, y khi và chỉ khi ' 362 16 ( 90 l2) 0 l2 9 0 (6)
Khi đó từ (3), (4) và (*) suy ra
4
2
4 2
2 2
4 2
2
4
1
64 9 9 1
64
9
9
l
k k
P l
k k
Chọn k, l (k và l thỏa mãn (6) ; k 0; l 0) để tồn tại hai số không âm x, y thỏa mãn (*) sao cho các đẳng thức ở (1), (2) và (5) đồng thời xảy ra hay tồn tại hai số không âm x, y thỏa mãn